-新教材高中数学第一章预备知识1.1第2课时集合的表示学案北师大版必修第一册

PAGEPAGE7第2课时集合的表示语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐”，用繁体中文为“生日快樂”，英文为“HappyBirthday”……[问题]对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？知识点一列举法把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}．eq\a\vs4\al()用列举法表示集合时的注意点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是明确的；(3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素可以是任何事物．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．()(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.()答案：(1)×(2)×2．不等式x－3<2且x∈N＋的解集用列举法可表示为____________．答案：{1，2，3，4}知识点二描述法通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．eq\a\vs4\al()用描述法表示集合的注意点(1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如满足的方程、不等式、函数或几何图形等；(3)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确；(4)“{}”有“所有”“全体”的含义，因此自然数集可以表示为{x|x为自然数}或N，但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}．1．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是()A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}解析：选C该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，故选C.2．用描述法表示不等式4x－5＜7的解集为________．解析：用描述法可表示为{x|x＜3}．答案：{x|x＜3}知识点三集合的分类1．有限集：含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．3．空集：不含任何元素的集合，记作eq\a\vs4\al(∅)．{0}与∅相同吗？提示：不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}与∅不相同．1．下列集合中，是空集的为________．(填序号)①{0}；②{x|x>8，且x<5}；③{x∈N|x2＋1＝0}；④{x|x>4}；⑤{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}．答案：②③2．下列集合中________是有限集，________是无限集．(填序号)①由小于8的正奇数组成的集合；②由大于5且小于20的实数组成的集合；③由小于1的自然数组成的集合．解析：①因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集．②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集．③因为小于1的自然数为0，所以其组成的集合是有限集．答案：①③②知识点四区间及相关概念1．区间的概念及记法设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2．无穷大实数集R可以表示为(－∞，＋∞)，符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3．特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)eq\a\vs4\al()理解区间概念时的注意点(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；(2)区间表示实数集的三个原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；(3)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数，以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2＜x≤3}＝________；(3){x|－1<x<2}＝________．答案：(1)[1，＋∞)(2)(2，3](3)(－1，2)用列举法表示集合[例1](链接教科书第3页例1)用列举法表示下列集合：(1)方程x2－1＝0的解组成的集合；(2)单词“see”中的字母组成的集合；(3)所有正整数组成的集合；(4)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．[解](1)方程x2－1＝0的解为x＝－1或x＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}．(2)单词“see”中有两个互不相同的字母，分别为“s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}．(3)正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}．(4)方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝2x－1))的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所求集合用列举法表示为{(1，1)}．eq\a\vs4\al()列举法表示集合的步骤及注意点分清元素列举法表示集合，要分清是数集还是点集书写集合列元素时要做到不重复、不遗漏[提醒]二元方程组的解集、函数的图象、点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．[跟踪训练]把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列举法表示为()A．{1，3} B．{(1，3)}C．{x2－4x＋3＝0} D．{x＝1，x＝3}解析：选A解方程x2－4x＋3＝0得x＝1或x＝3，用列举法表示解集为{1，3}．用描述法表示集合[例2](链接教科书第3页例2)用描述法表示下列集合：(1)函数y＝－x的图象上的点组成的集合；(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；(3)不等式x－2＜3的解组成的集合．[解](1){(x，y)|y＝－x}．(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|＞3}．(3)不等式x－2＜3的解是x＜5，则不等式x－2＜3的解组成的集合用描述法表示为{x|x＜5}．eq\a\vs4\al()描述法表示集合的2个步骤[跟踪训练]方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解集不能表示为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))))))C．{1，2}D．{(x，y)|x＝1，y＝2}解析：选C二元一次方程组的解是一个有序实数对，故C错．用区间表示集合[例3](链接教科书第5页练习4题)用区间表示下列集合：(1){x|x＞－1}＝________；(2){x|2＜x≤5}＝________；(3){x|x≤－3}＝________；(4){x|2≤x≤4}＝________．[解析](1)集合{x|x＞－1}可用开区间表示为(－1，＋∞)；(2)集合{x|2＜x≤5}可用半开半闭区间表示为(2，5]；(3)集合{x|x≤－3}可用半开半闭区间表示为(－∞，－3]；(4)集合{x|2≤x≤4}可用闭区间表示为[2，4]．[答案](1)(－1，＋∞)(2)(2，5](3)(－∞，－3](4)[2，4]eq\a\vs4\al()用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．[跟踪训练]1．区间(－3，2]用集合可表示为()A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3＜x＜2}C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－3≤x≤2}解析：选C由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－3＜x≤2}，故选C.2．已知区间(4p－1，2p＋1)为一确定区间，则p的取值范围为________．解析：由题意，得4p－1<2p＋1，所以p<1.答案：(－∞，1)集合表示法的应用[例4]若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.[解]当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}．当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实数根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．[母题探究]1．(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值集合．解：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝（－8）2－4×k×16>0，))解得k<1，且k≠0.故实数k的取值集合为{k|k<1，且k≠0}．2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值集合．解：①当集合A中含有1个元素时，由例题知，k＝0或k＝1；②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝（－8）2－4×k×16<0，))解得k>1.综上，实数k的取值集合为{k|k＝0或k≥1}．eq\a\vs4\al()集合与方程的综合问题的解题策略(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根；(2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论；(3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性．[跟踪训练]已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值．解：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝b，))因此a＝5，b＝6.1．(2021·北京育才学校月考)集合{x∈N＋|x＜6}的另一种表示方法是()A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}解析：选D易知集合化简为{1，2，3，4，5}．故选D.2．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,2)，\f(7,3)，\f(9,4)，…))用描述法可表示为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,2n)，n∈N＋))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋3,n)，n∈N＋))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n－1,n)，n∈N＋))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,n)，n∈N＋))))解析：选D由3，eq\f(5,2)，eq\f(7,3)，eq\f(9,4)，即eq\f(3,1)，eq\f(5,2)，eq\f(7,3)，eq\f(9,4)，从中发现规律，x＝eq\f(2n＋1,n)，n∈N＋，故可用描述法表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,n)，n∈N＋)))).3．(多选)M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中的元素有()A．(0，0) B．(0，1)C．(1，0) D．(2，－1)解析：选ABC∵M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，))∴M＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}．4．若(a，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围是________．解析：∵(a，3a－1]为一确定区间，∴a＜3a－1