大学文科数学复习

一、选择题（每小题3分，共15分）.下列函数为初等函数的是（B）(A).7sinx-2(B).y=22-cosx(C).y=<.当x-0时，与sinx等价的无穷小是（A）(A)x2+x(B)xsinx(C)3tanx(D)2x.设尸(0)存在，则limf(0)一fl)=(D)xf0 x(A)一/(0) (B)一2/(0) (C)2f'(0) (D)/(0).物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的(D)(A)函数值(B)极限(C)积分 (D)导数.若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为(C)(A)1+cosx(B)x+sinx(C) x-sinx (D)1-8sx填空题（每小题3分，共15分）cosx,x<0.设函数f(x)=\ 、八在x=0点连续，则a= -1Ix一a,x>0.设f(x)=x2,则Uf'[f(x)]= 2x23．sinxlim3．xf+8x.曲线y=1在点（1,1）处的法线方程为x.j(1-cosx)dx=x-sinx+c三、计算题（每小题5分，共40分）.求函数f(x)=ln(2x-1)+J2的定义域.

n l—T LLr、I一1L^ 1LJ\、，I31解：9-X2>0且2x-1>0,所以函数f(x)=ln(2x-1)+ 的定乂域：—<x<3J9-X2 2.设y=ln(2-X)，求其反函数解：由ey=2-x得x=2+ey所以函数y=ln(2-x)的反函数是：y=2+ex,xe(-8,+s).求极限lim空二1)x-0sin2x解：limx(ex_1)=limxlimex~-二1"lim&=1x-0sin2x x-0sinxx-0x x-01.求极限limtanx-xx-0 x3解：tanx-x解：tanx-x sec2x-1lim -lim x-0 x3 x-0 3x21-cos2xsin2x=lim =lim x-03x2cos2xx-03x2.已矢口y=ln(x2+1)-lnx，求dy解：因为y'=工-1所以dy=上二Ldxx2+1x x(x2+1).求y=e2xcosx的微分y解：y=2e2xcosx-e2xsinx=e2x(2cosx-sinx).求不定积分J1-xdxx2解：J3dx=J

解：J3dx=J

x21-1dx二x2xJ—dx-

x2J1dx=-

x--ln|x|+Cx.求定积分Jex2lnxdx1解：Jex解：Jex2lnxdx=1x3lnx3x3■?=1(2e3+1)91四、综合应用题(每小题10分，共30分)1.证明方程x.2x-1=0至少有一个小于1的正实数根.解：令f(x)=x.2x-1,f(0)=-1<0,f(D=1>0,f(x)闭区间［0,1］上连续，由根的存在性定理，有&e(0,1)，使得fG)=0，即x.2x-1=0至少有一个小于1的正实数根.欲做一个体积为72立方厘米的带盖箱子，其底面长方形的两边成一比二的关系，怎样做法所用的材料最省？解：设底面长方形的两边的边长为X厘米，2X厘米，则高为二=36厘米x.2xx2表面积S=(x.2x).2+(x.36).2+(2x.36).2=4x2+216X2 X2 X求导S,=8x-216=0x2所以在区间(0,+8)上只有唯一的驻点x=3又因为在实际问题中存在最值，所以驻点X=3就是所求的最值点。即当底面边长为3厘米，6厘米，高为4厘米时所用的材料最省。.求由曲线y=1与直线y二4x及X二2所围成的平面图形的面积.x解：由曲线y=1与直线y=4X得到交点