高考数学复习备忘录（十四）统计与计数原理

高考数学备忘录（十四）统计与计数原理统计与统计案例【知识要点】1.抽样方法：三种抽样方法包括：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．类别共同点各自特点相互关系适用范围简单的随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取。在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取。分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成。【说明】(1)系统抽样的最基本特征是“等距性”，每组抽取样本的号码依次构成一个以第一组抽取的号码m为首项，组距d为公差的等差数列{an}，第k组抽取样本的号码ak＝m＋(k－1)d．(2)分层抽样的关键是根据样本特征差异进行分层，实质是等比例抽样，则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与抽样比的乘积．2．统计图表(1)在频率分布直方图中：①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝eq\f(频率,组距)；②各小矩形面积之和等于1；③中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．【说明】众数、中位数、平均数与方差频率分布直方图的关系(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标乘以该组频率之和。(4)方差等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标减去均值的平方乘以该组频率之和。(2)茎叶图：①茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．②茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．3．样本的数字特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；(2)样本平均数eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i；(3)样本方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2；或(4)样本标准差：s＝eq\r(\f(1,n)[(x1－\x\to(x))2＋(x2－\x\to(x))2＋…＋(xn－\x\to(x))2])＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)．【说明】(1)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．（2）若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为.4．变量间的相关关系(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系．(2)用最小二乘法求回归直线的方程设线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则．【说明】回归直线一定经过样本的中心点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，据此性质可以解决有关的计算问题．5．回归分析：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\o(x,\s\up6(－)))(yi－\o(y,\s\up6(－))),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\o(x,\s\up6(－)))2\i\su(i＝1,n,)(yi－\o(y,\s\up6(－)))2))，叫做相关系数．相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低．6．独立性检验：假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d则K2＝eq\f((a＋b＋c＋d)(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，第一步：提出假设检验问题H；第二步：根据公式求观测值;第三步：查表得出结论P(k2>k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081..3232.0722.7063.845.0246.6357.87910..83【易错提醒】1.直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，条形图的纵坐标为频数或频率，二者不能混为一谈；2.通过频率分布直方图估计众数，中位数，平均数和方差有其特有规则，要与有具体数据的计算区别开来.【高考热点预测】(1)频率分布直方图、茎叶图的绘制及应用．(2)数字特征的求解及应用．(3)线性回归方程的求解及应用．【过关题】1.从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为______.2.下列说法错误的是()A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好3．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－0.25.由以上信息，得到下表中c的值为___.天数t(天)34567繁殖个数y(千个)2.5344.5c（答：76，B，6）计数原理与二项式定理【知识要点】（1）排列数公式:Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(这里，m，n∈N*，且m≤n)．当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;⑵组合数公式：（m≤n）,；⑶组合数性质：；⑷二项式定理：①通项：②注意二项式系数与系数的区别；⑸二项式系数的性质：①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第＋1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和＋1项）二项式系数最大；③(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。【易错提醒】1．分类标准不明确，有重复或遗漏．混淆排列问题与组合问题的差异．2．混淆二项展开式中某项的系数与二项式系数．3．在求展开式的各项系数之和时，忽略了赋值法的应用．【高考热点预测】(1)以实际生活为背景的排列、组合问题．(2)求二项展开式的指定项(系数)、二项展开式的各项的系数和问题．【过关题】1.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是()A．20种B．19种C．10种D．9种2.某校高三年级六个班，现从外地转入4名学生安排在其中两个班，每班2名，则不同的安排方案种数为()A．6B