医药数理统计习题答案

*精*精*第一章数据的描述和整理一、学习目的和要求.掌握数据的类型及特性；.掌握定性和定量数据的整理步骤、显示方法；.掌握描述数据分布的集中趋势、离散程度和分布形状的常用统计量；.能理解并熟练掌握样本均值、样本方差的计算；.了解统计图形和统计表的表示及意义；.了解用Excel软件进行统计作图、频数分布表与直方图生成、统计量的计算内容提要（一）数据的分类数据类型定性数据（品质数据）定量数据定类数据（计数数据）定序数据（等级数据）数值数据（计量数据）表现形式类别（无序）类别（后序）数值(+—X+)对应变量定类变量定序变量数值变量（离散变量、连续变量）主要统计方法计算各组频数，进行列联表分析、2检验等非参数方法计算各种统计量，进行参数估计和检验、回归分析、方差分析等参数方法常用统计图形条形图，圆形图（饼图）直方图，折线图，散点图，茎叶图，箱形图（二）常用统计量1、描述集中趋势的统计量

名称公式（原始数据）公式（分组数据）意义均值x—1nx—xini1-1k fx— mifini1反映数据取值的平均水平，是描述数据分布集中趋势的最主要测度值，中位数Mexn1, 当n为可数(—)Me 1—(xnxn),当n为偶数2 (2) (21)中位数所在组：累积频数超过 n/2的那个最低组是典型的位置平均数，不受极端值的影响众数Mo数据中出现次数最多的观察值众数所在组：频数最大的组测度定性数据集中趋势，对于定量数据意义不大2、描述离散程度的统计量名称公式（原始数据）公式（分组数据）意义极差RR=最大值-最小值R"最高组上限值—最低组下限值反映离散程度的最简单测度值，不能反映中间数据的离散性总体方差22 1N _2-(xi x)Ni12 1k 2(mix)fiNi1反映每个总体数据偏离其总体均值的平均程度，是离散程度的最重要测度值，其中标准差具有与观察值数据相同的量纲总体标准差口 JiN/ -、2if-(xx)VNi1厂 11NV (mix)2fiNi1样本力差S22 1n _2S2 . (xi x)2n1i1c 1 k cS n1i1(mi x)fi反映每个样本数据偏离其样本均值的平均程度，是离散程度的最重要测度值，其中标准差具有与观察值数据相同的量纲样本标准差SSJs211n cJd(xix)nn1i1SJs211 k/ -、2,,(mix)fin1i1变异系数CVSCV=3100%|x|反映数据偏离其均值的相对偏差，是无量纲的相对变异性测度样本标准误Sx*'n反映样本均值偏离总体均值的平均程度，在用样本均值估计总体均值时测度偏差

名称公式(原始数据)公式(分组数据)意义偏度Skn(为X)3^Sk o(n1)(n2)S名称公式(原始数据)公式(分组数据)意义偏度Skn(为X)3^Sk o(n1)(n2)S3k一3一(mix)fiSk- 3 nS反映数据分布的非对称性Sk=0时为对称；Sk>0时为正偏或右偏；Sk<0时为负偏或左偏峰度Kun(n1)3X)43[ (xX)2]2(n1)Ku 4(n1)(n2)(n3)S4(原始数据)k(nX)4fiK口 3(分组数据)lxU 4 UnS反映数据分布的平峰或尖峰程度Ku=0时为标准正态；Ku>0时为尖峰分布；KuV0时为扁平分布3、描述分布形状的统计量*在分组数据公式中，m,fi分别为各组的组中值和观察值出现的频数。三、综合例题解析例1.证明：各数据观察值与其均值之差的平方和(称为离差平方和)最小，即对任意常数C,有n(xi1X)2n(xC)2i1由函数极值的求法，对上式求导数,nf(C) 2(Xi1f(C)C)n(XiC)2i1x2nC,f(C)2ni令f(C)=0,得唯一驻点xi=x由于f(X)2n0,故当CX时f(C)y有最小值，其最小值为

n—- —2f(x) (Xix)。i1证二：因为对任意常数C有n n2 2(XX)2n n2 2(XX)2(XiC)22Xi_2nxn(Xi2i1n22CXinC2)i1n

—n

—2 2nX2CXinC

i1n(XC)20n(X22CXC2)故有n(Xi故有n(XiX)2(Xii1C)2四、习题一解答1.四、习题一解答1.在某药合成过程中，测得的转化率(％)如下:94.392.892.293.093.593.692.593.692.792.694.392.892.293.093.593.692.593.692.792.692.992.293.093.093.992.493.392.992.492.293.494.291.893.891.892.492.892.492.893.293.692.193.492.693.992.092.291.892.090.8(1)取组距为(1)取组距为0.5,最低组下限为90.5,试作出频数分布表;(2)作频数直方图和频率折线图;(3)根据频数分布表的分组数据，计算样本均值和样本标准差。解：(2)作频数直方图和频率折线图;(3)根据频数分布表的分组数据，计算样本均值和样本标准差。解：(1)所求频数分布表：转化率分组频数频率累积频率90.5〜10.0250.02591.0〜00.000.02591.5〜30.0750.1092.0〜110.2750.37592.5〜90.2250.60转化率的频数分布表93.0〜70.1750.77593.5〜70.1750.9594.0〜94.520.051.00(2)频数直方图:直方图转化率频率折线图:转化率频率折线图(3)由频数分布表可得转化率分组组中值mi频数90.5〜90.75191.0〜91.25091.5〜91.75392.0〜92.2511

92.5〜92.75993.0〜93.25793.5〜93.75794.0〜94.594.252则x1 8 f一mifini190.75191.25094.252371392.8254040s21 8,(min1i1x)2fi=—[(90.75—92.825)2X1+(91.25—92.825)2刈+…+(94.25—92.825)2>2]39=0.584TOC\o"1-5"\h\zO1 8 2 O或者S (mifi nx)n1ii12 __2_ __2_ 2(90.752191.2520 94.25224092.762)0.58439SJS2=J0.584^0.76422,测得10名接触某种病毒的工人的白细胞(109/L)如下：7.1,6.5,7.4,6.35,6.8,7.25,6.6,7.8,6.0,5.95(1)计算其样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数(2)求出该组数据对应的标准化值;(3)计算其偏度5.9567.75,n=10105.9567.75,n=10解：(1)xi7.16.5i1TOC\o"1-5"\h\z102 _,2 __2 2Xi 7.1 6.5 5.95 462.35i1样本均值X 1 xi 67D5 6.775ni1 10S21 /n2 _2、 1 2(为nx) (462.35106.775)0.371n1ii 9标准差SvS2=J0.371用.609S0.609,

标准aSx— 0.193n.40S 0609变异系数CV=々-100%=--100%=8.99%;|x| 6.775(2)对应的标准化值公式为xiXxi6.775Ui S0.609对应的标准化值为0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683,-1.273,-1.355(3)Skn(XiX)3""3(n1)(n2)S=0.204。3.已知某年某城市居民家庭月人均支出分组数据如下表所示200以下1.5200〜18.2500〜46.825.3800〜8.21000以上合计100―按月人均支出分组（元） 家庭户数占总户数的比例（~%）试计算（1）该市平均每户月人均支出的均值和标准差;（2）并指出其月人均支出的中位数与众数所在组。解：（1）由原分组数据表可得支出分组（元）组中值比例（％）200以下1001.5200〜35018.2500〜65046.890025.3800〜11008.21000以上18.2 11008.2) 687.3TOC\o"1-5"\h\z-1 1/18.2 11008.2) 687.3x- mifi ,(1001.5350nii 1002I, 2「 —2、S (mifinx)n1i12 __2一一2 __2一一-(100 1.5350 18.29952468.39一2一一 一_2、1100 8.25687.3)SVS2J’52468.39229.06；(2)由原分组数据表可得支出分组(元)比例(％)累积比例(%)200以下1.51.5200〜18.219.7500〜46.866.5800〜25.391.81000以上8.2100中位数所在组，即累积比例超过50的那个最低组，即为500〜组。众数所在组是频数即比例最大的组，也是500〜组。4.设X1,X2,,Xn和y1,y2,…，yn为两组样本观察值，它们有下列关系:yixyixia

bi=1,2,f其中a、b为常数且bwQ求样本均值X与y及样本方差S2和S：之间的关系解：yn(yib2n1yiy)(XiXiba)n1 (xan1i1bX)2b2s£。Xixa2bna)

n五、思考与练习1n(XX)2n1i1b（一）填充题.统计数据可以分为数据、数据、数据、据等三类，其中数据、数据属于定性数据。.常用于表示定性数据整理结果的统计图有、;而、、、等是专用于表示定量数据的特征和规律的统计图。.用于数据整理和统计分析的常用统计软件有等。.描述数据集中趋势的常用测度值主要有、、和等，其中最重要的是;描述数据离散程度的常用测度值主要有、、、等，其中最重要的（二）选择题.各样本观察值土”1口同一常数cB（ ）A.样本均值不变，样本标准差改变 B.样本均值改变，样本标准差不变C.两者均不变 D.两者均改变.关于样本标准差，以下哪项是错误的（ ）。A.反映样本观察值的离散程度 B.度量了数据偏离样本均值的大小C.反映了均值代表性的好坏D.不会小于样本均值.比较腰围和体重两组数据变异度大小宜采用（A.变异系数（CV） B.方差（S2）C.极差（R） D.标准差（S）（三）计算题1.在某次实验中，用洋地黄溶液分别注入 10只家鸽内，直至动物死亡。将致死量折算至原来洋地黄叶粉的重量。其数据记录为（单位： mg/kg）97.3,91.3,102,129,92.8,98.4,96.3,99.0,89.2,90.1试计算该组数据的样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。六、思考与练习参考答案（一）填充题.定类，定序，数值，定类，定序.条形图、圆形图；直方图、频数折线图、 茎叶图、箱形图.SAS、SPSSExcel.均值、众数、中位数，均值，极差、方差、标准差、变异系数，方差、标准差（二）选择题1.B;2.D;3.A（三）计算题1.均值98.54、方差132.27、标准差11.501、标准误3.637、变异系数11.67%第二章随机事件与概率一、学习目的和要求.掌握事件等的基本概念及运算关系；.熟练掌握古典概率及计算；.理解统计概率、主观概率和概率的公理化定义；.熟练掌握概率的加法公式、乘法公式及计算；.理解并掌握条件概率与事件独立性的概念并进行计算;.掌握并应用全概率公式和贝叶斯公式进行计算。二、内容提要（一）基本概念概念符号概率论的定义集合论的含义随机试验（试验）E具有以下特征的观测或试验：.试验在相同的条件下可重复地进行.试验的所有结果事先已知，且不止一个.每次试验恰好出现其中之一，但试验前无法预知到底出现哪一个结果。样本空间试验所有可能结果组成的集合，即所有基本事件的全体全集基本事件（样本点）试验的每个不可再分的可能结果，即样本空间的元素TOft随机事件（事件）A试验中可能发生也可能不发生的结果，是由基本事件组成的样本空间的子集子集必然事件在试验中一定发生的事件全集/、可能事件在试验中一定不发生的事件，不含任何基本事件空集

（二）事件间的关系关系符号概率论的定义集合论的含义包含AB事件A的发生必然导致事件 B的发生A是B的子集相等A=BAB而且BAA与B相等和（并）A+B(AUB)事件A与B中至少有一个事件发生A与B的并积（交）AB(AAB)事件A与B同时发生A与B的交差A-B事件A发生同时B不发生A与B的差互不相容AB=事件A与B不可能同时发生A与B不相交对立A事件A不发生A的补集（余集）（三）事件的运算规律运算律公式交换律A+B=B+A,AB=BA结合律(A+B)+C=A+(B+C),(AB)C=A(BC)分配律(A+B)C=AC+BC,A+(BC)=(A+B)(A+C)差积转换律ABABAAB对立律AA=,A+A=Q德・摩根对偶律ABAB,ABAB（四）概率的定义类型定义公式古典概率m A所含的基本事件数P（A）n 基本事件总数统计概率一 nAP(A)=p(-fnA上、n公理化定义（基本f^质）对样本空间中任意事件A对应的一个实数P（A）,满足公理1（非负性）：0WP（A）W1公理2（规范性）：P（）=1,P（）=0公理3（可加性）：若Ai,A2,-An,--,两两互不相容，

P(A1+A2+…+An+…尸P(Al)+P(A2)+…+P(An)+则称P（A）为随机事件A的概率。（五）概率的计算公式名称计算公式加法公式P(A+B尸P(A)+P(B)—P(AB)若A、B互/、相咨(AB=):P(A+B尸P(A)+P(B)对立事件公式P(A)=1—P(A);P(A)=1—P(A)事件之差公式P(A—B)=P(A)—P(AB)若BA,P(A—B)=P(A)—P(B)条件概率公式P(B|A)P(AB),(P(A)>0)P(A)乘法公式若P(A)>0,P(AB尸P(A)P(B|A)若P(B)>0,P(AB尸P(B)P(A|B)当P(AlA2…An-1)>0时，有P(AlA2…An尸P(Al)P(A2|Al)P(A3|AlA2)…P(An|AlA2…An-1)独立事件公式A、B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)A1,A2,…，An相互独立:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)-P(An)全概率公式若A1,A2,…，An为完备事件组*,对事件BnPB P(A)P(B|A)i1逆概率公式（贝叶斯公式）若A1,A2,…，An为完备事件组*,P(B)>0P(Aj)P(B|Aj)P(Aj|B) njP(A)P(B|A)i1*完备事件组{Al,A2,…，An}A1,A2,…，An讨相容且P(A)>0(i=1,2,…，n);A1+A2+…+An=三、综合例题解析例1从某鱼池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池中。现从该池中任意捉来50条鱼，发现其中有两条有记号，问池内大约有多少条鱼?解：设池内大约有n条鱼，令A=｛从池中捉到有记号鱼｝则从池中捉到有记号鱼的概率P(A)=10°

n由统计概率的定义知，它近似于捉到有记号鱼的频率 fn(A)=A,即50100 2n50解之得n=2500,故池内大约有2500条鱼。例2口袋里有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求总值超过一角的概率。解一：令人=｛总值超过一角｝,现将从10个硬币中任取5个的每种取法作为每个基本事件，显然本例属于古典概型问题，可利用组合数来解决。所取5个硬币总值超过一角的情形，其币值由大到小可根据其中有2个伍分、有1个伍分和没有伍分来考虑。WJP(A)23122132C2CP(A)23122132C2C8 C2c3c5 C2c3c5510126252=0.5。解二：本例也可以先计算其对立事件A=｛总值不超过一角｝考察5个硬币总值不超过一角的情形，其币值由小到大先根据壹分硬币、贰分硬币的不同个数来计算其有利情形的组合数。则1261——=0.52521261——=0.5252c5c5c5c5(c3c3c2)c5c3P(A)1P(A)1 ———5—5——5~H3——3-^——5-^-c10dc2(c54c；c；) 126或P(A)1P(A)1———J——=1——=0.5C10 252例3将n个人等可能地分配到N(n<N)问房中去，试求下列事件的概率：A=｛某指定的n间房中各有一人｝;B=｛恰有n间房，其中各有一人｝;C=｛某指定的房中恰有m(m&n)个人｝。解：把n个人等可能地分配到N间房中去，由于并没有限定每一间房中的人数，故是一可重复的排列问题，这样的分法共有Nn种。(1)对事件A,对指定的n间房，第一个人可分配到该n间房的任一间，有n种分法；第二个人可分配到余下的n—1间房中的任一间，有n—1种分法，以此类推，得到A共含有n!个基本事件，故n!P(A)七Nn(2)对事件B,因为n问房没有指定，所以可先在N间房中任意选出n间房(共有Cn种选法)，然后对于选出的某n间房，按照上面的分析，可知B共含有Cnn!个基本事件，从而P(B)*(3)对于事件C,由于m个人可从n个人中任意选出，故有Cm种选法，而其余n—m个人可任意地分配到其余的N—1间房中，共有(N—1)n-m种分配法，故C中共含有Cm(N—1)n-m个基本事件，因此Cm(N1)nmm1m1nmP(C)— —cm(-)m(1 )Nn NN注意：可归入上述“分房问题”来处理的古典概型的实际问题非常多，例如：(1)生日问题：n个人的生日的可能情形，这时N=365天(nw365);(2)乘客下车问题：一客车上有n名乘客，它在N个站上都停，乘客下车的各种可能情形；*精*精*0.2670.267(3)印刷错误问题：n个印刷错误在一本有N页的书中的一切可能的分布(n不超过每一页的字符数)；(4)放球问题：将n个球放入N个盒子的可能情形。值得注意的是，在处理这类问题时，要分清什么是“人”，什么是“房”，一般不能颠倒。例4(1994年考研题)设A,B为两事件，且P(A尸p,P(AB尸P(AB),求P(B)。解：由于P(AB)P(AB)1P(AB)1[P(A)P(B)P(AB)],现因为P(AB)=P(AB),则P(AB)1P(A)P(B)P(AB)又P(A)=p,故P(B)1P(A)1po注意：事件运算的德•摩根律及对立事件公式的恰当应用。例5设某地区位于河流甲、乙的交汇处，而任一何流泛滥时，该地区即被淹没。

已知某时期河流甲、乙泛滥的概率分别为 0.2和0.3,又当河流甲泛滥时，“引起”河流乙泛滥的概率为0.4,求(1)当河流乙泛滥时，“引起”河流甲泛滥的概率；(2)该时期内该地区被淹没的概率。解：令A=｛河流甲泛滥｝,B=｛河流乙泛滥｝由题意知P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(B|A)=0.4再由乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=0.2X0.4=0.08,则(1)所求概率为P(A|B)P(B)0.3P(AB)0.08P(A|B)P(B)0.3*精*精*(2)所求概率为P(A+B尸P(A)+P(B)—P(AB)=0.2+0.3—0.08=0.42。例6设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P(A)。解：由题设可知因为A和B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B),再由题设可知1P(AB)P(A)P(B)9P(AB)P(AB)又因为P(AB)P(AB),即 P(A-B)=P(B-A),由事件之差公式得P(A)P(AB)P(B)P(AB)则有P(A)=P(B),从而有P(A)P(B)故有2 1 1(P(A))2 -, P(A)-9 3即 P(A)1P(A)—0例7(1988年考研题)玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0,0.8,0.1和0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求(1)顾客买下该箱的概率a；

(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率B。解：由于玻璃杯箱总共有三类，分别含0,1,2只残次品。而售货员取的那一箱可以是这三类中的任一箱，顾客是在售货员取的一箱中检查的，顾客是否买下这一箱是与售货员取的是哪一类的箱子有关系的，这类问题的概率计算一般可用全概率公式解决，第二问是贝叶斯公式也即条件概率问题。首先令 A=｛顾客买下所查看一箱｝;B=｛售货员取的箱中恰好有i件残次品｝,i=0,1,2。显然，B。，B1,B2构成一组完备事件组。且P(Bo)0.8,P(B" 0.1,P(B2)0.1,4-,P(AB2)4-,P(AB2)54C18 12Cl19P(AB0)1,P(AB1) -49C20(1)由全概率公式，有0.112—0.112—0.9419P(A) P(Bi)P(ABi)0.810.1(2)由逆概率公式，得P(B。A)P(B0P(B。A)P(B0)P(AB0)""P(A)0.80.940.85注意：本题是典型的全概率公式与贝叶斯公式的应用。例8.(小概率事件原理)设随机试验中某事件A发生的概率为e,试证明，不论e＞小口何小，只要不断独立重复地做此试验，事件 A迟早会发生的概率为1。证：令 Ai=｛第i次试验中事件A发生｝,i=1,2,3,…由题意知，事件A1,A2,…An,••相互独立且P(Ai)=,i=1,2,3,…,则在n次试验中事件A发生的概率P(A1A2 An)=1-P(AA2An)=1—P(A1)P(Az)P(An)1(1 )n当n-+g即为事件A迟早会发生的概率P(AiA2 An)=lim1(1 )n=1。n四、习题二解答.考察随机试验：“掷一枚骰子，观察其出现的点数”。如果设i={掷一枚骰子所出现的点数为i}, i=1,2「・,6试用i来表示该试验的基本事件、样本空间Q和事件A={出现奇数点}和事件B={点数至少是4}。解：基本事件：{0},{1},{2},{3},{4},{5},{6}。样本空间Q={0,1,2,3,4,5,6}。事件A={1,3,5};B={4,5,6}。.用事件A、B、C表示下列各事件：A出现，但B、C不出现；A、B出现，但C不出现；三个都出现；三个中至少有一个出现；三个中至少有两个出现；三个都不出现；只有一个出现；不多于一个出现；不多于两个出现。解：(1)ABC(2)ABC(3)ABCABCABCABCABCABCABCABC或A+B+C或ABCABCABCABCABCABC或一(A+B+C)或ABC⑺ABC+ABC+ABCABC+ABC+ABC+ABCABCABCABCABCABCABCABC或一ABC或ABC.从52张扑克牌中，任取4张，求这四张花色不同的概率。解：现将从52张扑克牌中任取4张的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无关，故可用组合数来解决该古典概型问题。Pm或。13日3& 134 01055P 7 0.1055on C52 52515049/4!.在一本标准英语词典中共有55个由两个不同字母组成的单词，现从26个英文字母中任取两个字母排成一个字母对，求它恰是上述字典中单词的概率。解：现将从26个英文字母中任取两个字母件的每种取法作为每个基本事件， 其结果与顺序有关，故可用排列数来解决该古典概型问题。m55 55P—F 0.0846。n A26 2625.某产品共20件，其中有4件次品。从中任取3件，求下列事件的概率。(1)3件中恰有2件次品；(2)3件中至少有1件次品；(3)3件全是次品；(4)3件全是正品。解：现将从20件产品中任取3件的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无关，故可用组合数来解决该古典概型问题。TOC\o"1-5"\h\z2 1P(A)—C^0.0842;n C20而 cAP(B)1P(B)1一1号10.49120.5088n C201「2「2「1 「3「0或P(B)—C4C16C4C16C4C16 0.5088;n C30mC3P(C)—-Cf00035；nC203P(D)m号0.4912。n C20间里有10个人，分别佩戴着1〜10号的纪念章，现等可能地任选三人，记录其纪念章号码，试求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率。解：设A=｛任选三人中最小号码为5｝,B=｛任选三人中最大号码为5｝(1)对事件A,所选的三人只能从5〜10中选取，而且5号必定被选中。12TOC\o"1-5"\h\zmC1C5 1P(A)一一「一0.0833;n C130 12(2)对事件B,所选的三人只能从1〜5中选取，而且5号必定被选中。_1_2mC1C2 1P(B)― 一0.05。nC；0 20大学学生中近视眼学生占22%,色盲学生占2%,其中既是近视眼又是色盲的学生占1%。现从该校学生中随机抽查一人，试求：(1)被抽查的学生是近视眼或色盲的概率；(2)被抽查的学生既非近视眼又非色盲的概率。解：设A=｛被抽查者是近视眼｝,B=｛被抽查者是色盲｝;解：设由题意知，P(A)=0.22,P(B)=0.02,P(AB尸0.01,则(1)利用加法公式，所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.22+0.02—0.01=0.23;(2)所求概率为P(AB尸P(A~B)=1—P(A+B)=1—0.23=0.77。注意：上述计算利用了德・摩根对偶律、对立事件公式和( 1)的结果。P(A)=0.5,P(B)=0.3且P(AB)=0.l。求：(1)P(A+B);(2)P(A+B)0解：(1)P(A+B尸P(A)+P(B)—P(AB)=0.5+0.3—0.1=0.7;P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=[1—P(A)]+P(B)—P(B—A)=1—P(A)+P(B)—[P(B)—P(AB)]=1—P(A)+P(AB)=1-0.5+0.1=0.6o注意：上述计算利用了加法公式、差积转换律、对立事件公式和事件之差公式。

.假设接受一批药品时，检验其中一半，若不合格品不超过 2%,则接收，否则拒收。假设该批药品共100件，其中有5件不合格，试求该批药品被接收的概率。解：设A={50件抽检药品中不合格品不超过1件},据题意，仅当事件A发生时，该批药品才被接收，故所求概率为C50C1C49P(A)mC95C5C950.1811。n Ci5oo.设A,B为任意两个事件，且P(A)>0,P(B)>0。证明：(1)若A与B互不相容，则A和B不独立；(2)若P(B|A尸P(B|A),则A和B相互独立。证明：(1)用反证法。假定A和B独立，因为已知A与B互不相容，则AB=,P(AB)=P()=0P(A)P(B)=P(AB)=0但由已知条件P(A)>0,P(B)>0得P(A)P(B)>0,由此导出矛盾，所以若A与B互不相容，则A和B不独立。(2)由已知P(B|A)=P(B|A),又P(B|A)P(AB)

P(A)P(B|A)P(AB)

P(A)P(B|A)P(AB)

P(A)P(AB)P(AB)

P(A)P(A)P(B|A)=P(B|A)P(AB)

P(A)P(BA)P(AB)P(AB)

P(A)P(A)P(B|A)=P(B|A)P(AB)

P(A)P(BA)1P(A)P(B)P(AB)1P(A)P(BA)P(B)P(AB)1P(A)1P(A)即 P(AB)[1—P(A)]=P(A)[P(B)—P(AB)]P(AB)—P(AB)P(A)=P(A)P(B)—P(A)P(AB)P(AB)=P(A)P(B)这即A和B相互独立(2)又证：由已知P(BA)[1—P(A)]=P(B)-P(AB)P(B|A)—P(B|A)P(A)=P(B)—P(AB)P(BA)—P(AB)=P(B)—P(AB)P(B|A)=P(B)这即A和B相互独立.已知P(A)=0.1,P(B)=0.3,P(A|B)=0.2,求：(1)P(AB);(2)P(A+B);(3)P(BA);(4)P(AB);(5)P(A|B)。解：(1)P(AB)=P(B)P(A|B)=0.30.2=0.06;P(A+B尸P(A)+P(B)—P(AB)=0.1+0.3—0.06=0.34;P(AB)0.06P(B|A)——-——0.6；P(A)0.1P(AB)=P(A-B)=P(A)—P(AB)=0.1—0.06=0.04;P(A|B)空巴P(AB)1P(AB)3340.9429。P(B)1P(B)1P(B)10.3.某种动物活到12岁的概率为0.8,活到20岁的概率为0.4,问现年12岁的这种动物活到20岁的概率为多少？解：设人=｛该动物活到12岁｝,B=｛该动物活到20岁｝;由题意知P(A)=0.8,P(B)=0.4显然该动物“活到20岁”一定要先“活到12岁”，即有BA,且AB=B,则所求概率是条件概率P(AB) P(B)0.4…P(B|A)―—-———0.5。P(A) P(A)0.8.甲、乙、丙三人各自独立地去破译一密码，他们能译出该密码的概率分别是1/5,2/3,1/4,求该密码被破译的概率。解：设 A=｛甲译出该密码｝,B=｛乙译出该密码｝,C=｛内译出该密码｝.由题意知，A,B,C相互独立，而且P(A)=1/5,P(B)=2/3,P(C)=1/4则密码被破译的概率为_ _- - - - 413P(A+B+C)=1—P(ABC)=1—P(A)P(B)P(C)=1一--=0.8534或 P(A+B+C尸P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)—P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)—P(A)P(B)—P(A)P(C)—P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)TOC\o"1-5"\h\z121121121121 4”= -0.8。534535434534 5.有甲乙两批种籽，发芽率分别为0.8和0.7,在两批种籽中各任意抽取一粒，求下列事件的概率：(1)两粒种籽都能发芽；(2)至少有一粒种籽能发芽；(3)恰好有一粒种籽能发芽。解：设A=｛甲种籽能发芽｝,B=｛乙种籽能发芽｝则由题意知,A与B相互独立,且有P(A)=0.8,P(B)=0.7,则所求概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8X0.7=0.56;P(A+B)=1—P(AB)=1—P(AB)=1—P(A)P(B)=1—0.2X0.3=0.96;P(ABAB)=P(A)P(B)P(A)P(B)=0.8X0.3+0.2X0.7=0.38。.设甲、乙两城的通讯线路间有n个相互独立的中继站，每个中继站中断的概率均为p,试求：(1)甲、乙两城间通讯中断的概率；(2)若已知p=0.005,问在甲、乙两城间至多只能设多少个中继站，才能保证两地间通讯不中断的概率不小于 0.95?解：设Ak=｛第k个中继站通讯中断｝,k=1,2,…,n,则Ai,A2,…，An相互独立，而且有P(Ak)=p,k=1,2，…,n。(1)所求概率为P(A1+A2+-+An)=1—P(AA2 An)=1-P(A1A2An)=1-P(Ai)P(a2)P(An)=1—(P(A1))n1-(1-p)n；(2)设甲、乙两城间至多只能设n个中继站，由题意，应满足P(AiA2An)=(1—p)n冷.95,

(1—0.005)n2€.950.995n冷.95nWlog9950.95=ln0.95/ln0.995=10.233故n=10,即甲、乙两城间至多只能设10个中继站。.在一定条件下，每发射一发炮弹击中飞机的概率是 0.6,现有若干门这样的炮独立地同时发射一发炮弹，问欲以 99%的把握击中飞机，至少需要配置多少门这样的炮？解：设至少需要配置n门炮。再设人卜=｛第k门炮击中飞机｝,k=1,2,…,n,则Al,A2,…,An相互独立,而且有P(Ak)=0.6,k=1,2,…,n。由题意，应有P(A1+A2+…+An)=1-P(AiA2An)=1—P(Ai)P(A2)P(An)=1-(P(A))n1—0.4n冷.99即 0.4n磷.01,则有n>log0.40.01=ln0.01/ln0.4=5.026故n=6,因此至少需要配置6门炮。.甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球；乙袋中10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。解：设以Ai、A2、A3分别表示从甲袋中任取一球为白球、红球、黑球；以Bi、B2、B3分别表示从乙袋中任取一球为白球、红球、黑球。则所求两球颜色相同的概率为P(AiBi+A2B2+A3B3)=P(Ai)P(Bi)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)3102525工且生旦252525253102525工且生旦252525252076250.3312。.在某地供应的某药品中，甲、乙两厂的药品各占 65%、35%,且甲、乙两厂的该药品合格率分别为90%、80%,现用Ai、A2分别表示甲、乙两厂的药品，B表示合格品，试求：P(Ai)、P(A2)、P(B|Ai)、P(B|A2)、P(AiB)和P(B)。解：由题中已知条件可得P(Ai)=0.65,P(A2)=0.35,P(B|Ai)=0.9,P(B|A2)=0.8,P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai)=0.6509=0.585,

P(B)=P(Ai)P(BAi)+P(A2)P(BA2)=0.6509+0.3508=0.865。.某地为甲种疾病多发区，其所辖的三个小区Ai,A2,A3的人口比例为9：7：4,据统计资料，甲种疾病在这三个小区的发病率依次为 4%。,2%0,5%0,求该地甲种疾病的发病率。解：设以Ai、A2、A3表示病人分别来自小区Ai、A2、A3,以B表示患甲种疾病。则由题意知TOC\o"1-5"\h\z_ 9 7 4P(A1)=--,P(A2)=—，P(A3)=工；，20 20 20P(B|Ai)=0.004,P(B|A2)=0.002,P(B|A3)=0.005,则该地甲种疾病的发病概率为P(B)=P(Ai)P(B|Ai)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(BA3)9 7 4二一 0.004 —— 0.002 —— 0.0050.0035=3.5%。20 20 20.若某地成年人中肥胖者(Ai)占有i0%,中等者(A2)占82%,瘦小者(A3)占8%,又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为 20%,i0%,5%。(i)求该地成年人患高血压的概率；(2)若知某人患高血压病，他最可能属于哪种体型？解：设B=｛该地成年人患高血压｝,则由题意知P(Ai)=0.i0,P(A2)=0.82,P(A3)=0.08,P(B|Ai)=0.20,P(B|A2)=0.i0,P(B|A3)=0.05,(i)该地成年人患高血压的概率为P(B)=P(Ai)P(B|Ai)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(BA3)=0.i0.20.820.i0.080.05=0.i06;(2)若已知某人患高血压病，他属于肥胖者(Ai)、中等者(A2)、瘦小者(A3)

体型的概率分别为0.18870.77360.03770.6和0.7。若一人射中，敌0.6;若三人射中，则敌机P(Ai旧尸P(Ai)0.18870.77360.03770.6和0.7。若一人射中，敌0.6;若三人射中，则敌机TOC\o"1-5"\h\zP(B) 0.106P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)0.820.1P(B) 0.106P(A3)P(B1A3)0.080.05P(A3|B) P(B) 0.106因为 P(A2|B)>P(A1|B)>P(A3|B)故若知某人患高血压病，他最可能属于中等体型。.三个射手向一敌机射击，射中概率分别为 0.4,机被击落的概率为0.2;若两人射中，敌机被击落的概率为必被击落。(1)求敌机被击落的概率；(2)已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。解：设A1、A2、A3分别表示第一个射手、第二个射手、第三个射手射中敌机；B0、B1、B2、B3分别表示无人射中、一人射中、两人射中、三人射中敌机；C表示敌机被击落。则A1、A2、A3相互独立，且由题意可得P(A1)=0.4,P(A2)=0.6,P(A3)=0.7P(B0)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.604处.3=0.072P(B1)=P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)=P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(a2)P(A3)=+0.6060.3+0.6040.7=0.324P(B2)=P(A1A2A3々A2A3々A2A3)=P(AA2A3)P(AA2A3)P(2A2A3)=P(A)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(AJP(a2)P(A3)=+0.6060.7+=0.436P(B3)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.4060.7=0.168P(C|B0)=0,P(C|B1)=0.2,P(C|B2)=0.6,P(C|B3)=1(1)敌机被击落的概率为

P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3)=0X0.072+0.20324+0.60.436+10.168=0.4944;(2)所求概率为P(B3c尸P(BP(B3c尸P(B3)P(C|B3)

P(c0.16810.49440.3398。五、思考与练习（一）填充题.若P(A)=0.3,P(B)=0.6,则(1)若A和B独立，则P(A+B)=,P(B-A)=;(2)若A和B互不相容，贝UP(A+B)=,P(B-A)=(3)若A B,则P(A+B)=,P(B-A)=。.如果A与B相互独立，且P(A)=P(B)=0.7,则P(AB)=。一. 65 3在4次独立重复试验中，事件Aii少出现1次的概率为81，则在每次试验中事件A出现的概率是（二）选择题.下列说法正确的是（ ）A.任一事件的概率总在（0,1）之内 B.不可能事件的概率不一定为0C.必然事件的概率一定为1 D.以上均不对。.以A表示事件甲种药品畅销，乙种药品滞销”，则其A的对立事件为（A.甲，乙两种药品均畅销 B.甲种药品滞销，乙种药品畅销C.甲种药品滞销” D.甲种药品滞销或乙种药品畅销.有100张从1到100号的卡片，从中任取一张，取到卡号是7的倍数的概率为

7A.507A.507C.48B.-zt10015

D.100.设A和B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的是(A.P(B|A)>0C.P(A|B)=0A.P(B|A)>0C.P(A|B)=0D.P(AB)=P(A)P(B)(三)计算题.设Q={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4},B={3,4,5}。试求下列事件:(1)AB;(2)A+B0.某城市的电话号话由0,1,2,…,9这10个数字中任意8个数字组成，试求下列电话号码出现的概率：(1)数字各不相同的电话号码(事件A);(2)不含2和7的电话号码(事件B);3)5恰好出现两次的电话号码(事件C)。.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在两边；(2)第一卷及第五卷出现在两边；(3)第一卷或第五卷出现在两边；(4)第三卷正好在正中。.电路由电池A与两个并联的电池B、C串联而成，设电池A、B、C是否损坏相互独立，且它们损坏的概率依次为0.3,0.2,0.2,求电路发生间断的概率。.设一医院药房中的某种药品是由三个不同的药厂生产的，其中一厂、二厂、三厂生产的药品分别占1/4、1/4、1/2。已知一厂、二厂、三厂生产药品的次品率分别是7%,5%,4%。现从中任取一药品，试求(1)该药品是次品的概率；（2）若已知任取的药品是次品，求该次品是由三厂生产的概率。.盒中放有12个乒乓球，其中有9个球是新球。第一次比赛从盘中任取3个来用，比赛后仍放回盒中；第二次比赛时又从盒中任取3个。（1）求第二次取出的球都是新球的概率；（2）若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取到的都是新球的概率。六、思考与练习参考答案（一）填充题(1)0.72,0.42;(2)0.9,0.6;(3)0.6,0.30.09-3(二)选择题C;2.D;3.A;4.C(三)计算题A={1,5,6,7},B={1,2,6,7},则AB={1,6,7};(2)A+B={1,3,4,5,6,7}TOC\o"1-5"\h\z2(1)「八10987—543纯0.018148 810 10一、 88PB -870.167810C2 96PCC8—9-0.1488108(1)PCA£2=0.4;(2)P&A~—=0.1;A5 5 ， A55 102c2A4A；A； 7 A2A3 7P -=0.7;或P1———=0.7;A5 10 A5 102c2c3A3A2A 7或P 5 -=0.7A5 10A41PA1=0.2A5.已知P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(C)=0.2且A、B、C相互独立则所求概率p(ABc)=p(A)+p(Bc)-p(abc)=p(A)+p(B)p(c)-p(A)p(B)p(c)

=0.3+0.2X0.2-0.3X0.2X0.2=0.328.令人=｛该药品是次品｝;Bk=｛药品是由k厂生产的｝,k=1,2,3由题意知 P(Bi)=0.25,P(B2)=0.25,P(B3)=0.5,P(A|Bi)=0.07,P(A|B2)=0.05,P(A|B3)=0.04,P(A)=P(A|Bi)P(Bi)+P(A|P2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.07X0.25+0.05X0.25+0.04X0.50=0.05P(B3|A)P(A|Bi)P(Bi)P(B3|A)P(A|Bi)P(Bi)P(A|B2)P(B2)P(A|B3)P(B3)0.040.5 0.02 八 0.400.070.250.050.250.040.50.05Ak=｛第一次比赛任取3球中有k个新球｝,k=0,1,2,3;B=｛第二次取出的球都是新球｝由题意得P(Ak)=3kkC3 C9Ci32c3P(B|Ak尸意，C12k=0,1,2,3。(1)PB(1)PB0.1463 P(Ak)P(B|Ak)P(Ak)P(B|Ak)k0C3 C9C9k° c32葭(2)P(A3|B)P(A3)P(B|A3)3P(Ai)P(B|Ai)i0P(A3)P(B|A3)

P(B)c9Ci32*0.146=0.238Ci32第三章随机变量及其分布一、学习目的和要求.理解随机变量及其分布函数的概念；.熟练掌握离散型、连续型随机变量的分布及性质；.熟练掌握常用数字特征：数学期望E(X)和方差D(X)及其性质；.熟练掌握二项分布、泊松分布、正态分布等的性质及概率计算；.了解随机变量函数的分布；.了解随机向量及分布函数的概念、性质；.掌握离散型随机向量和连续型随机向量及其分布；.掌握二维随机向量的数字特征；.了解契比晓雪夫不等式和大数定律及其意义；.掌握中心极限定理及其应用；.了解用Excel计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用分布的概率。二、内容提要(一)随机变量及常用分布.离散型随机变量及常用分布名称定义性质或背景备注分布律P{XXP=xk}=pk,k=1,2,…或X1X2 … xk•••p1p2… pk…pk>0,k=1,2,…pk1k10-1分布P{X=XP:1}=p,P{X=0}=q,或0 1q p二项分布n=1的特例：B(1,p)(一重贝努里试验)EX=pD(X)=pq二项分布B(n,P)一♦、. .、 —kknkP{X=k}=Cnpq，k=0,1,…,nX为n重贝努里试验中 A事件发生的次数EX=npD(X)=npq

泊松分布P()kP{X=k}=_e,k!k=0,1,2,…>0是常数二项分布泊松近似公式kC；pkqnk—e( nP)k!(n很大，p较小)EX=D(X)=超几何分布「k「nkP{X=k}=CMCNM-Cnk=1,2,…，minM,n)无放回产品抽样试验当N一+8时，Mp时，Npkpnk..CNCNM kknkNlim rn CnPqCNEX=2MNnM(Nn)(NM)D(X) 2N2(N1).连续型随机变量及常用分布名称定义性质或背景备注密度函数f(x)对任意a<b有bP{a<Xwb}=af(x)dxf(x)>0f(x)dx1对任思,常数a,有P{X=a}=0等价定义：对X的分布函数有xF(x)=f(t)dt,—8Vx<+OO正态分布N(,2)(x)2f(x)=-^e22万—OO<x<+ooP{a<Xwb}=b a( )( )E(X)=D(X)=2标准正态分布N(0,1)(x)= /—e2<2—OO<x<+oo(—x)=1—(x)(x)可查表计算其中(x)是分布函数E(X)=0D(X)=1指数分布E()x -f(x) e,x00, x0常用作寿命”分布>0为常数E(X)=1/D(X)=1/2均匀分布U[a,b]1 .f/、一,axbf(x)ba0, 其它，直线上几何概率模型的分布描述E(X)=(a+b)/2D(X)=(b-a)2/12对数正态分布LN(,2)f(x)=(lnx)2। -e ,x0v2 x0, x0若X服从对数正态分布LN(,2),则lnX~N(,2)2E(X)e"2 2 2D(X)(e 1)e2

韦布尔分布W(m,,)f(x尸(x)mm/ \m-1—(x-)e ,x0, xm=1且=0时为指数分布；m=3.5时近似于正态分布分布四数为(x)mF(x)=1e ,(x>).随机变量的分布函数类型定义性质备注通用定义F(x)=P{XWx},1.0<F(x)<1;P{a<X<b}=F(b)—F(a)—8Vx<+OO2.F(-00)=0,F(+oo)=1离散型F(x)=Pi，3.F(x)对x单调不减PkP{XxjXxix4.F(x)为右连续F(xk)F(xk0)—8Vx<+OO连续型xF(x)=f(t)dt,f(x)=F(x)X—8Vx<+OObP{a<X<b}=f(x)dxa(二)随机变量的数字特征类型定义性质备注数学期望E(X)离散型E(X)=xkPkk1E(C)=C(C为常数)E(CX)=CE(X)E(X±Y)=E(X)±E(Y)若X、丫相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)描述随机变量所有可能取值的平均水平连续型E(X)= xfxdx力差D(X)D(X)=E[(X—E(X))2]D(C)=0(C为常数)D(CX)=C2D(X)若X、丫相互独立，则D(X±Y)=D(X)+D(Y)D(X)=E(X2)-(EX)2描述随机变量取值相对于均值的平均离散程度标准差(X)X<DXJE[(XEX)2]协力差cov(X,Y)Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)Cov(X1+X2,Y)描述X与Y的偏差的关联程

=E(XY)—E(X)E(Y)=Cov(Xi,Y)+Cov(X2,Y)X与丫独立Cov(X,Y)=0D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,丫度相关系数XYCovX,YXY<DXJDY|XY|W1；|xy|=1存在常数a、b使得P{Y=aX+b}=1;X与Y独立X与Y不相关，反之不一定成立。描述X与Y间线性相关程度；XY=0,称X与Y不相关；(三)随机变量函数的分布类型X的分布函数Y=g(X)的分布数学期望公式离散型XX的分布律P{X=Xk}=pk,k=1,2,…Y的分布律为P{Y=g(xk)}=pk,k=1,2,…。若后某些g(xi)相等，则对其作适当的并项，即对应概率相加E(Y)E[g(X)]gM)Pkk1连续型XX的密度为fx(x)分布函数法：FY(y尸P{YWy}=P{g(X)Wy} vfx(x)dx{x：g(x)y}Y=g(X)的密度：fY(y尸FY(y)E(Y)E[g(X)]g(x)f(x)dx.定理公式法：若y=g(x)在fx(x)非零区间上严格单调，h(y)是y=g(x)的反函数… fx[h(y)]|h'(y)|,yfY(y) 0, 其它(四)二维随机向量及分布.二维离散型随机向量名称定义性质或试验背景备注

联合分布律PXXi,Yyj pj,i,j1,2,Pj>0,i,j=1,2，…，Pij 1t1j1联合分布律的列表结构(概率分布表)X的边缘分布PXXi pjPi.,jii1,2,随机变量X的分布律由联合分布律“行值相加”Y的边缘分布PYyj pjp.j,i1j1,2,.随机变量Y的分布律由联合分布律“列值相加”独立性X与Y相互独立Pij PiPj,i,j1,2,.X、Y的边缘分布完全确定其联合分布律按定义验证独立性，实用中由试验独立性得.二维连续型随机向量名称定义性质或试验背景备注联合密度f(x,y)对平囿上的区域DP((X,Y)D)f(x,y)dxdyDf(x,y)>0f(x,y)dxdy1Px1 Xx2,y1Yy2x2；2f(x,y)dxdyX的边缘密度fX(x) f(x,y)dy随机变量X的密度fX(x)=FX(x)Y的边缘密度fY(x) f(x,y)dx随机变量Y的密度fY(y)=FY(y)独立性X与丫相互独立f(x,y) fX(x)fy(y)X、Y的边缘分布完全确定其联合分布律按定义验证独立性；实用中由试验独立性得二维正态分布(X,Y)〜M/ 2 2 \N(!!1,!!2,1,2,)2X~N(1,1)2Y~N(2,2)X与Y相互独立 =0;是X与丫的相关系数.二维随机向量的分布函数名称定义性质或试验背景备注联合分布函数定义F(x,y)=P{XWx,Y<y}—8Vx,y<+°01.0<F(x,y)w1；2.F(-8,y)=0,F(x,-oo)=0,F(-oo,-00)=0,F(+oo,+00)=1;F(x,y)可以描述任意类型(X,Y)的分布离散型F(x,y) Pijxixyjy

(X,Y)—8Vx,yv+0°F(x,y)对x,y均为右连续；F(x,y)对x和y单调不减；一、2F(x,y)f(x,y) xy连续型(X,Y)F(x,y)xyf(u,v)dudv—8Vx,y<+ooX的边缘分布函数Fx(x)ylimF(x,y)F(x,)Fx(x)为X的分布函数由F(x,y)可确定Fx(x)与FY(y),反之未必Y的边缘分布函数Fy(x)xlimF(x,y)F(,y)FY(y)为Y的分布函数(五)大数定律和中心极限定理名称条件结论备注契贝晓夫不等式X的E(X)、D(X)对任意>0,有P|XE(X)| D_X2或P|XE(X)| 1-D-X-在已知X的均值和方差时，估计X与其均值E(X)的偏差大(小)于的概率均存在后限切比雪夫大数定律设｛Xk｝为相互独立且服从同一分布的随机变量序列，又E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,对任意＞0,有当n足够大时，1nx八knk1将依概率收敛于其均值limPn1nXk 0nk11n P即二Xknk1…)均存在后限贝努里大数定律设n〜B(n,p);(或n为n重贝努里试验中事件A发生的次数，P(A尸p)对任意£二limPn即A发生>0,有-np 0onp的频率_JLpn以严格数学形式描述“频率的稳定性”。在试验次数很大时，用事件A的频率作为其概率的近似值勒维-林德贝格中心极限定理(独立同分布中心极限定理)设｛Xk｝为相互独立且服从同一分布的随机变量序列，又E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,nXkn令Y k1「 ,则1n ■ ,VnlimPYn x (x)n即n很大时，Yn〜N(0,1)(近似)nn足够大时， Xk近似k1服从N(n,n2)…)均存在有限德莫佛-拉普拉设n〜B(n,p);令Yn nnp,则当n很大(n>30)时，有斯中心极限定理(或n为n重贝，npqPanb(贝努里情形中努里试验中事件limPYn x (x)n(7)(产，npq Jnpq心极限定理)A发生的次数，即n很大时，Yn〜N(0,1)(近似)，P(A)=P)或n〜N(np,npq)(近似)三、综合例题解析例1(1991年考研题)一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的概率分布。解：首先，由题设可知，X的可能值为0,1,2,3。现设Ai={汽车在第i个路口首次遇到红灯},i=1,2,3,则事件A1,A2,A3相互独立，且1P(Ai)P(Ai)- (i=1,2,3),2故有 P{X=0}=P(A1)=」，2P{X1}P(A)P(A2)-21P{X2}P(AA2A3)P(A)P(A2)P(A3)了1P{X3}P(AA2A3)P(A1)P(A2)P(A3)^3所以，X的分布律为X01231111P一~2-3-~322232注意：利用性质： Pi1,可检查离散型概率分布律的正确与否。同时，若Xi的某个取值X0的概率较难计算，而其他所有取值的概率已算出时，则也可以利用上述性质得到：P{Xxo}1 pio”x0比如本例中：， 、 1P{X3}1P{X0}P{X1}P{X2}丁

23例2设连续型随机变量X的分布函数为XF(x) ABe万，x00, x0求：(1)常数A、B;(2)概率密度函数f(x)。解：(1)由分布函数的性质F(+°°)=1得xF(+oo)=iim(ABe2)a1,

x再由分布函数的连续性知其右极限 F(0+0)=F(0)，即xF(0+0)=Jimo(ABe2)AB0联立上述两式，解之得：A=1,B=-1o则分布函数为xF(x)1e2,x00,x0(2)所求密度函数为1 1vcf(x)F(x) 2 , 。0,例3(1989年考研题)设随机变量在区间［1,6］上服从均匀分布，求方程x2+x+1=0有实根的概率。解：易知方程x2+x+1=0有实根当且仅当A=2-4>0,即||>2o故所求问题转化为：已知〜U［1,6］,求P{||}2}现因在［1,6］上服从均匀分布，则的概率密度为f(x)5,10,x6,其他.方程X2+现因在［1,6］上服从均匀分布，则的概率密度为f(x)5,10,x6,其他.方程X2+Ex+1=0有实根的充要条件是A2-4>0,即||>2,故P{|2}1P{2}1P{2 2}2 11 2f(x)dx1(Odx21 1dx)1一15 5例4已知X〜N(2,2),P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}。解：由于X〜N(2,2),故P{2X4}(U)(沁P{2X4}(U)(沁(-)(0)0.3，一1一，由于(0)一,可知2P{X0}(0)0.30.8,(-P{X0}(0)0.30.8,(-)10.80.20注意：在正态分布的概率计算中，首先要将它标准化，转化为利用标准正态分布的公式求解即可。例5(1989年考研题)设随机变量X和Y独立，且X服从均值为1,标准差为正的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数。解：由于X和Y相互独立且都服从正态分布，所以Z作为X,Y的线性组合也服从正态分布，故只需求E(Z)和D(Z)就可确定Z的概率密度函数了。由题设知，X〜N(1,2),Y〜N(0,1)。则由期望和方差的性质得E(Z)=E(2X—Y+3)=2E(X)—E(Y)+3=5,

D(Z)=D(2X—Y+3)=22D(X)+D(Y)=9.又因X,Y是相互独立的正态随机变量，Z是X,Y的线性函数，故Z也为正态随机变量，即Z〜N(,2),且=E(Z)=5,2=D(Z)=9。则Z的概率密度为1 "fZ(z) —=e29,z。3,2注意：本题主要考察的性质是：一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；二是正态分布N(,2)完全由其期望和方差2决定。例6已知随机变量X的概率分布律为P{X=k}=1/2k,k=1,2,…，试求丫sin(—X)的概率分布律。2解:对随机变量Ysin(-X)，当X取1,2,…，n,…时，Y的取值为1,0,-1,0,…即X12 34567…Ysin(-X)10-1010-1…1111111二 _2 _3 _4 _5 _6 ~72 2 2 2 2 2 2则Ysin(aX)只以-1,0,1为其取值，其取值概率为P{Y=-1}=P{X=3}+P{X=7}+P{X=11}+…工工工 1 1 22327211 8[1 15'1_

16P{Y=0}=P{X=2}+P{X=4}+P{X=6}+…111 111———— —,222426 4.13?1——4P{Y=1}=P{X=1}+P{X=5}+P{X=9}+…TOC\o"1-5"\h\z工工 1 1 82529 2d1 151-1621 8(或P{Y=1}=1—P{X=-1}—P{X=0}=1——一)15315故Y的分布律为Y-101218P———15315例7设（X,Y）的联合分布律为XY-1011/41/421/6a31 31求：（1）吊数a；（2）联合分布函数在点（-/2）处的值F（2,-）解：（1）由联合分布律的性质Pij1彳 1 1 1知 1i上pij 74石a,1求得a-3

31 （2）（X，Y）的联合分布函数F（x,y）在点（-,-）处的值应为31,31、， . ， 、 1 1 1F(一,一)P{X—,Y—}P{X1,Y 1}P{X1,Y0}———。22 2 2 442注：求联合分布函数F（x,y）的值时，只需把取值满足xWx,yj&y的点（xi,yj）的概率pij找出来，然后求和就可以了。例8例8设(X,Y)~N(），则X与Y相互独立的充分必要条件是 =00证：（充分性）由于（X,Y）证：（充分性）由于（X,Y）~N（），则其X与Y的边缘密度分别为当=0时，有fX当=0时，有fX(x)fY(y)(x1)2.ek1(x2)222f(x,y)1 exp(-1)21,2(x2f(x,y)1 exp(-1)21,2(x2-e11 21)221(y2-e212)222一)22fX(x)fY(y),故X与Y相互独立。（必要性）若已知X（必要性）若已知X与Y相互独立，则对任意x,y,有f(x,y)fX(x)fy(y),特别地，取x1,y2,上式变为1 12 121 2 2 12'从而有=00例9（2001年考研题）一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用

中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977。((2)=0.977,其中(x)是标准正态分布函数)。解：设Xi是汽车装运的第i箱的重量(千克)，n为最多可以装的箱数，则Xi,X2,…,Xn可视为n个相互独立而且服从同分布的随机变量，再设X为n箱的总重量，则有nX Xi,且i1E(Xi)50, =.D(Xi)5,而由列维-林德贝格中心极限定理，X近似服从正态分布N(n,n0.9997710.99954.(2)X为n次独立试验中事件0.9997710.99954.(2)X为n次独立试验中事件A发生的次数，因此，n次试验中，A发生的频率为X,其中X〜B(n,0.7),E(X)=0.7n,D(X)=0.21n,依题意，n应使nPX50005000nPX50005000n,n(500050n)0.9775.n因(2)=0.977,则有100010n解之得n<98.02，即最多可以装98箱例10设在n重伯努利试验中，每次试验事件A发生的概率都是0.7。(1)设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数，用中心极限定理计算P{650<X<750};(2)要使在n次试验中，A发生的频率在0.68