（全国卷Ⅰ）2023高考数学压轴卷文

PAGE12-2022全国卷Ⅰ高考压轴卷文科数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。总分值150分.考试时间为120分钟考前须知： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目〞与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第一卷每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第二卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.假设在试题卷上作答，答案无效。 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第一卷一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。〕1.集合，，那么〔〕A．B．C．D．2.复数的共轭复数为，假设||＝4，那么·＝()〔A〕4 〔B〕2〔C〕16 〔D〕±23．数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，那么数列的前项和为〔〕

A．B．C．D．4齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，那么田忌马获胜的概率为()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5.函数，那么以下不等式中正确的选项是〔〕A． B． C．D．6.执行如以下图所示的程序框图，如果输入t＝0.1，那么输出的n＝〔〕A．2 B．3 C．4 D．57.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的选项是()A．①③B.②③C.②③④D①③④8.设变量，满足那么点所在区域的面积为〔〕A．2B．1C．D．9.锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足，假设，那么的取值范围是〔〕A．B．C.D．10.为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，那么的最大值为〔〕A． B． C． D．11.设数列的前项和为，且，为常数列，那么A. B.C. D.12．函数f〔x〕＝－ax有两个零点x1＜x2，那么以下说法错误的选项是A．a＞eB．x1＋x2＞2C．x1x2＞1D．有极小值点，且x1＋x2＜2x0第二卷〔非选择题，共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.13，〔〕，那么在方向上的投影为14.中国古代数学名著?九章算术?中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如下图(单位：寸)，假设π取3，其体积为12.6(立方寸)，那么图中的x为15抛物线的焦点为,动点在上,圆的半径为,过点的直线与圆切于点,那么的最小值为．16设直线与曲线有三个不同的交点A、B、C,且|AB|=|BC|=EQ\r(,10),那么直线的方程为三.解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。〔17〕〔本小题总分值12分〕在右图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=120°，∠BAC=60°,AC=2,记∠ABC=θ。(I)求用含θ的代数式表示DC;(II)求△BCD面积S的最小值．18.〔本小题总分值12分〕某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间，数据如下表〔单位：小时〕．高一年级77.588.59高二年级78910111213高三年级66.578.51113.51718.5〔1〕试估计该校高三年级的教师人数；〔2〕从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级班选出的人记为乙，假设所有教师的备课时间相对独立，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；〔3〕再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是8,9,10〔单位：小时〕，这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小〔结论不要求证明〕．19.〔本小题总分值12分〕如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且.〔1〕求证：；〔2〕设的中点为，求三棱锥的体积与多面体的体积之比的值.20.〔本小题总分值12分〕椭圆和抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点〔其中点在第四象限内〕．〔1〕假设，求直线的方程；〔2〕假设坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值．21.〔本小题总分值12分〕函数，假设曲线在点处的切线与直线垂直〔其中为自然对数的底数〕.〔1〕假设在上存在极值，求实数的取值范围；〔2〕求证：当时，.请考生在〔22〕、〔23〕题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，那么按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.(本小题总分值10分)选修4-4：坐标系与参数方程曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．〔1〕求曲线C的普通方程；〔2〕A、B为曲线C上两个点，假设OA⊥OB，求的值．23.(本小题总分值10分)选修4—5：不等式选讲，函数的最小值为1.〔1〕求证：；〔2〕假设恒成立，求实数的最大值.2022全国卷Ⅰ高考压轴卷文科数学题号123456789101112答案DACADCBBCBDC局部题目解析及命题分析3.解析：此题考查等比数列的通项公式与前项和公式．，，∴,,∴,，数列的前项和为，选C．4.设田忌的上，中，下三个等次马分别为，，，齐王田忌的上，中，下三个等次马分别为，从双方的马匹中随机的选一匹比赛的所有可能有共9种，田忌马获胜有3种，田忌马获胜的概率为.5解析：得，，从而，．6.由题意得，根据给定的程序框图可知：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第三次循环：，此时跳出循环，所以输出的结果为n＝4，应选C．7.8.将几何体展开图复原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．10.解：设双曲线的两个焦点分别是F1〔－5，0〕与F2〔5，0〕，那么这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝〔|PF1|－2〕－〔|PF2|－1〕＝10－1＝9，应选B。11.D由题意知，，当时，，从而，有，当时上式成立，所以..12．①当时恒成立R上单增，不符题意②当时由得当时，当时，极小值==得故A正确又故B正确由得C,D两项互斥。由得令得图：不妨取，只需比拟与的大小又故C不正确13.由知即，又，所以，得，即在方向上的投影为，应选D.14.由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·(eq\f(1,2))2x＝12.6，x=1.615..由抛物线的定义知：为点到准线的距离,易知,抛物线的顶点到准线的距离最短,.16．提示：曲线关于〔0,1〕中心对称.〔17〕解：〔Ⅰ〕在△ADC中，∠ADC＝360°－90°－120°－θ＝150°－θ，

由正弦定理可得eq\f(DC,sin∠DAC)＝eq\f(AC,sin∠ADC)，即eq\f(DC,sin30°)＝eq\f(2,sin(150°－θ))，

于是：DC＝eq\f(1,sin(150°－θ))． …5分〔=2\*ROMANⅡ〕在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AC,sinθ)＝eq\f(BC,sin60°)，即BC＝eq\f(\r(3),sinθ)，由〔Ⅰ〕知：DC＝eq\f(1,sin(150°－θ))，那么S＝eq\f(3,4sinθ·sin(150°－θ))＝eq\f(3,2sinθcosθ＋2\r(3)sin2θ)＝eq\f(3,\r(3)＋2sin(2θ－60°))，故θ＝75°时，S取得最小值6－3eq\r(3)． …12分18.〔1〕抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方法，高三年级的教师共有〔人〕〔2〕设事件为“甲是现有样本中高一年级中的第个教师〞，，事件“乙是现有样本中高二年级中的第个教师〞，，由题意知：，，设事件为“该周甲的备课时间比乙的备课时间长〞，由题意知，所故；〔3〕，，三组总平均值，新参加的三个数的平均数为9，比小，故拉低了平均值，∴．19.〔1〕证明：∵矩形所在的平面和平面互相垂直，且，∴，又，所以，又为圆的直径，得，，∴.……4分〔2〕解：设的中点为，连接，那么∴，又∵，∴，∴为平行四边形，，又∵，∴.……6分显然，四边形为等腰梯形，，因此为边长是1的正三角形.三棱锥的体积；………………9分多面体的体积可分成三棱锥与四棱锥的体积之和，计算得两底间的距离.所以，,所以，∴.………………12分20.解：〔1〕解法一:由题意得抛物线方程为SKIPIF1<0.设直线的方程为SKIPIF1<0.令，，SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0.联立，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.(2)设SKIPIF1<0,直线，SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0直线的斜率存在,SKIPIF1<0关于直线对称,所以SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0代入抛物线SKIPIF1<0，可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.直线的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.设椭圆为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.联立直线和椭圆,消去整理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.那么，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的长轴长的最小值为SKIPIF1<021.解：〔1〕∵由∴得………2分∴当为增函数；当时，，为减函数。∴是函数的极大值点………4分又在上存在极值∴即故实数的取值范围是………5分即为………6分令那么再令那么∵∴∴在上是增函数∴∴∴在上是增函数∴时，故………9分令那么∵∴∴即上是减函数∴时，