2023-2023学年高中创新设计物理粤教版必修2：第二章 学案3 习题课：圆周运动

第页学案3习题课：圆周运动[学习目标定位]1.熟练掌握圆周运动各物理量间的关系以及向心力、向心加速度的公式.2.会分析圆锥摆在水平面内的圆周运动.3.会分析轻绳、轻杆模型在竖直面内圆周运动的临界问题．1．描述圆周运动的各物理量之间的关系(1)线速度v、角速度ω以及周期T之间的关系：v＝eq\f(2πr,T)＝ωr.(2)角速度ω与转速n的关系：ω＝2πn(注：n的单位为r/s)2．匀速圆周运动的特点：(1)线速度的大小不变，方向时刻改变．(2)向心力大小不变，方向始终指向圆心．(3)向心加速度大小不变，方向始终指向圆心．3．向心力(1)来源：向心力是根据力的效果命名的，它可以是弹力，可以是摩擦力，也可以是几个力的合力或某个力的分力．(2)大小：F＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝m(eq\f(2π,T))2r4．向心加速度的大小：a＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝(eq\f(2π,T))2r一、描述圆周运动的各物理量间的关系描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率等．它们之间的关系式为：ω＝eq\f(2π,T)＝2πn，v＝ωr＝eq\f(2π,T)r＝2πrn.这些关系不仅在物体做匀速圆周运动中适用，在变速圆周运动中也适用，此时关系中各量是瞬时对应的．图1例1(单项选择)如图1所示，光滑的水平面上固定着一个半径逐渐减小的螺旋形光滑水平轨道，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，以下物理量中数值将减小的是()A．周期 B．线速度C．角速度 D．向心加速度答案A解析轨道对小球的支持力与速度方向垂直，轨道的支持力只改变速度的方向不改变速度的大小，即小球的线速度大小不变，故B错误；根据v＝ωr，线速度大小不变，转动半径减小，故角速度变大，故C错误；根据T＝eq\f(2π,ω)，角速度增大，故周期减小，故A正确；根据a＝eq\f(v2,r)转动半径减小，故向心加速度增大，故D错误．二、水平面内的圆周运动的常见模型——圆锥摆图21.运动特点：如图2所示在水平面内做匀速圆周运动．2．向心力分析：绳的拉力和重力的合力(或者说绳的拉力在水平方向的分力)提供向心力，F＝mgtanθ.3．类似的装置例2(单项选择)如图3所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的选项是()图3A．速度vA＞vBB．角速度ωA＞ωBC．向心力FA＞FBD．向心加速度aA＞aB解析设漏斗的顶角为2θ，那么小球的合力为F合＝eq\f(mg,tanθ)，由F＝F合＝eq\f(mg,tanθ)＝mω2r＝meq\f(v2,r)＝ma，知向心力FA＝FB，向心加速度aA＝aB，选项C、D错误；因rA＞rB，又由于v＝eq\r(\f(gr,tanθ))和ω＝eq\r(\f(g,rtanθ))知vA＞vB、ωA＜ωB，故A对，B错．答案A三、竖直面内的“绳杆模型〞的临界问题1．轻绳模型(如图4)(1)绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力．图4(2)在最高点的动力学方程T＋mg＝meq\f(v2,r).(3)在最高点的临界条件T＝0，此时mg＝meq\f(v2,r)，那么v＝eq\r(gr).①v＝eq\r(gr)时，拉力或压力为零．②v>eq\r(gr)时，小球受向下的拉力或压力．③v<eq\r(gr)时，小球不能(填“能〞或“不能〞)到达最高点．即轻绳的临界速度为v临＝eq\r(gr).2．轻杆模型(如图5)(1)杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力，也能施加向上的支持力．(2)在最高点的动力学方程当v＞eq\r(gr)时，N＋mg＝meq\f(v2,r)，杆对球有向下的拉力，且随v增大而增大．当v＝eq\r(gr)时，mg＝meq\f(v2,r)，杆对球无作用力．当v＜eq\r(gr)时，mg－N＝meq\f(v2,r)，杆对球有向上的支持力．当v＝0时，mg＝N，球恰好能到达最高点．图5(3)杆类的临界速度为v临＝0.图6例3如图6所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1g的小球，试管的开口端与水平轴O连接．试管底与O相距5cm，试管在转轴带动下在竖直平面内做匀速圆周运动．求：(1)转轴的角速度到达多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍？(2)转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况？(g取10m/s2)解析(1)当试管匀速转动时，小球在最高点对试管的压力最小，在最低点对试管的压力最大．在最高点：F1＋mg＝mω2r在最低点：F2－mg＝mω2rF2＝3F1联立以上方程解得ω＝eq\r(\f(2g,r))＝20rad/s(2)小球随试管转到最高点时，当mg＞mω2r时，小球会与试管底脱离，即ω＜eq\r(\f(g,r))＝10eq\r(2)rad/s.答案见解析图71．(圆锥摆类模型)(单项选择)两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图7所示，A运动的半径比B的大，那么()A．A所需的向心力比B的大B．B所需的向心力比A的大C．A的角速度比B的大D．B的角速度比A的大答案A解析小球的重力和绳子的拉力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为θ，那么F＝mgtanθ＝mω2lsinθ，θ越大，向心力F越大，所以A对，B错；而ω2＝eq\f(g,lcosθ)＝eq\f(g,h).故两者的角速度相同，C、D错．图82．(轻杆模型)(双选)如图8所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长0.5m，小球质量为3kg，现给小球一初速度使它做圆周运动，假设小球通过轨道最低点a的速度为va＝4m/s，通过轨道最高点b的速度为vb＝2m/s，取g＝10m/s2，那么小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是()A．在a处为拉力，方向竖直向下，大小为126NB．在a处为压力，方向竖直向上，大小为126NC．在b处为拉力，方向竖直向上，大小为6ND．在b处为压力，方向竖直向下，大小为6N答案AD解析小球对细杆的作用力大小等于细杆对小球的作用力．在a点设细杆对球的作用力为Fa，那么有Fa－mg＝eq\f(mv\o\al(2,a),r)，所以Fa＝mg＋eq\f(mv\o\al(2,a),r)＝(30＋eq\f(3×42,0.5))N＝126N，故小球对细杆的拉力为126N，方向竖直向下，A正确，B错误．在b点设细杆对球的作用力向上，大小为Fb，那么有mg－Fb＝eq\f(mv\o\al(2,b),r)，所以Fb＝mg－eq\f(mv\o\al(2,b),r)＝30N－eq\f(3×22,0.5)N＝6N，故小球对细杆的作用力为压力，方向竖直向下，大小为6N，C错误，D正确．图93.(轻绳模型)如图9所示，一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住，在竖直平面内做圆周运动，求：(1)当小球在圆周最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？(2)当小球在圆周最低点速度为6m/s时，细线的拉力是多少？(3)假设绳子能承受的最大拉力为130N，那么小球运动到最低点时速度最大是多少？(g取10m/s2)答案(1)15N(2)50N(3)10m/s解析(1)设细线的拉力为F1，那么F1＋mg＝meq\f(v\o\al(2,1),l)得：F1＝meq\f(v\o\al(2,1),l)－mg＝15N(2)设小球在最低点时，细线的拉力为F2，那么有：F2－mg＝meq\f(v\o\al(2,2),l)，得：F2＝mg＋meq\f(v\o\al(2,2),l)＝50N(3)由F3－mg＝meq\f(v\o\al(2,3),l)，代入数据解得：v3＝10m/s.题组一圆周运动的各物理量的关系1．(单项选择)关于匀速圆周运动，以下说法正确的选项是()A．由a＝eq\f(v2,r)可知，a与r成反比B．由a＝ω2r可知，a与r成正比C．由v＝ωr可知，ω与r成反比D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比答案D解析物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关．但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比．对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论．正确选项为D.图12.(双选)如图1所示，一小物块以大小为a＝4m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1m，那么以下说法正确的选项是()A．小物块运动的角速度为2rad/sB．小物块做圆周运动的周期为πsC．小物块在eq\f(π,4)s内通过的位移大小为eq\f(π,20)mD．小物块在πs内通过的路程为零答案AB解析因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝eq\r(\f(a,R))＝2rad/s，周期T＝eq\f(2π,ω)＝πs，选项A、B正确；小物块在eq\f(π,4)s内转过eq\f(π,2)，通过的位移为eq\r(2)m，在πs内转过一周，通过的路程为2πm，选项C、D错误．3．(单项选择)A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min.那么两球的向心加速度之比为()A．1∶1B．2∶1C．4∶1D．8∶1答案D解析由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωeq\o\al(2,A)RA∶ωeq\o\al(2,B)RB＝8∶1，D正确．图24.(双选)如图2所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点的()A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶eq\r(2)C．线速度之比vA∶vB＝eq\r(2)∶1D．线速度之比vA∶vB＝1∶eq\r(2)答案AD解析板上A、B两点绕同一个转轴转动，所以具有相同的角速度．即角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，故A正确，B错误．根据几何关系得板上A、B的轨道半径之比为1∶eq\r(2)所以线速度之比vA∶vB＝1∶eq\r(2)，故C错误，D正确．题组二对向心加速度的理解及其计算5．(单项选择)质量为m的飞机，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于()A．meq\r(g2＋\f(v4,R2))B．meq\f(v2,R)C．meq\r(\f(v4,R2)－g2)D．mg答案A解析空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动．对飞机的受力情况进行分析，如下图．飞机受到重力mg、空气对飞机的作用力F升，两力的合力为F，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg与F垂直，故F升＝eq\r(m2g2＋F2)，又F＝meq\f(v2,R)，联立解得F升＝meq\r(g2＋\f(v4,R2)).6．(双选)如图3所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止．那么后一种情况与原来相比拟，下面的判断中正确的选项是()图3A．小球P运动的周期变大B．小球P运动的线速度变大C．小球P运动的角速度变大D．Q受到桌面的支持力变大答案BC解析对小球受力分析知，小球的合力为F合＝mgtanθ，因为mgtanθ＝mω2lsinθ，所以ω＝eq\r(\f(g,lcosθ))，当小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动时θ变大，那么ω变大，又因为T＝eq\f(2π,ω)，所以周期变小，故A错，C对．在更高的水平面上运动时，小球的运动半径变大，由v＝ωr知v变大，B正确；绳子的拉力在竖直方向的分力总等于小球P的重力，故Q受到桌面的支持力总等于P、Q的重力和，D错误．图47.(单项选择)质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图4所示，那么杆的上端受到的作用力大小为()A．mω2RB.eq\r(m2g2－m2ω4R2)C.eq\r(m2g2＋m2ω4R2)D．不能确定答案C解析小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动．这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如下图．用力的合成法可得杆对球的作用力：N＝eq\r(mg2＋F2)＝eq\r(m2g2＋m2ω4R2)，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力N′＝N，C正确．题组三竖直面内的圆周运动问题8．(单项选择)如图5所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，假设轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，那么过山车在最高点时的速度大小为()图5A．0B.eq\r(gR)C.eq\r(2gR)D.eq\r(3gR)答案C解析由题意知F＋mg＝2mg＝meq\f(v2,R)，故速度大小v＝eq\r(2gR)，C正确．图69.(单项选择)半径为R的光滑半圆球固定在水平面上(如图6所示)，顶部有一小物体A，今给它一个水平初速度v0＝eq\r(Rg)，那么物体将()A．沿球面下滑至M点B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动C．沿半径大于R的新圆弧轨道做圆周运动D．立即离开半圆球做平抛运动答案D解析当v0＝eq\r(gR)时，所需向心力F＝meq\f(v\o\al(2,0),R)＝mg，此时，物体与半球面顶部接触但无弹力作用，物体只受重力作用，故做平抛运动．图710.(双选)如图7所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，以下说法中正确的选项是()A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下B．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力一定向下D．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力答案AD图811.(单项选择)杂技演员表演“水流星〞，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图8所示，假设“水流星〞通过最高点时的速率为4m/s，那么以下说法正确的选项是(g＝10m/s2)()A．“水流星〞通过最高点时，有水沉着器中流出B．“水流星〞通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C．“水流星〞通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D．“水流星〞通过最高点时，绳子的拉力大小为5N答案B解析水流星在最高点的临界速度v＝eq\r(gL)＝4m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出．应选B.图912.如图9所示，质量