初中八年级数学竞赛培优讲义专题17等腰三角形的判定-答案

专题17等腰三角形的判断例1延伸MF，BA交于E，延伸FM至点P，使MP=MF，连BP，则△BMP≌△CMF，∴BP=CF.AD平分∠BAC，AD∥FM，∠BAD=∠DAC=∠MFC=∠AFE=∠E=∠P，∴AE=AF，BE=BP，即+=+=+-=，∴=1(+)=1(7+11)=9.22例2D例3提示：△为等腰直角三角形，连AM，易证：△≌△.∴=，EMCADEBACADAB又∠DAB=90°.又∵M为BD中点，∴AM⊥DB且DM=BM=AM.又∵∠MDE=∠MAC=105°，∴△EDM≌△CAM.∴EM=MC，∠DME=∠AMC，∴∠DME+∠EMA=∠AMC+∠EMA=90°.∴△EMC为等腰直角三角形.例4延伸AD至G，使DG=AD，连结BG.由△ADC≌△GDB，得AC=BG，AC∥BG.BE=AC，∴BE=BG，得∠BED=∠BGD，∴∠FAE=∠BGD=∠BED=∠AEF，故AF=EF.AFEBDCG例5提示：联合图1，给出解答过程.由图形的轴对称性知：△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO=10°，∴∠ABO=∠ACO=20°，∴∠AOB=∠AOC=150°.又∵BO=BC=CO=AD，∴△ACD≌△CAO，∴∠AOC=∠CDA=150°，故∠BDC=30°.A级1.90°或75°或15°2.72°3.24.37提示：将三式相加7.D8.C⑴先证△ACD≌△CBF，∴∠CAD=∠BCF.又∵∠CAD+∠CDG=∠BCF+∠CDG=90°，∴∠CGD=90°，∴AD⊥CF.⑵△ACF为等腰三角形.10.提示：延伸DB至E，使BE=AB，连结AE，证明∠E=∠C，AC=AE.1提示：证明△DCA≌△ECB、△DCM≌△ECN，∠NCM=60°.⑴提示：先证明∠CEF=∠CFE.⑵作EG⊥AC于G，证明△CEG≌△BE′D′，可得CE=BE′，又CF=CE，BE′=CF.B级1.2:12.110°3.104.D5.C提示：在五边形内作等边三角形，则、、C在一条直线上.ABFEF6.B7.提示：⑴23⑵在BB′上取点P，使∠BPC=120°，再在PB′上取点E使PE=PC，连结CE.则由△PCE为等边三角形，可得：PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB′=120°∵△为正三角形，∴可证：△≌△.∴∠=∠=120°，=.ACB′ACPB′CEAPCB′ECPAEB′∴∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，∴P为△ABC的费马点.BB′过△ABC的P，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC.提示：延伸AB至M，使BM=BP，连结PM，则AB+BP=AM，可证明BQ=QC.AQ+QB=AQ+QC=AC，又由△AMP≌△ACP得AM=AC，故AB+BP=AQ+BQ.提示：延伸FM至P，使PM=FM，连结BP，则△BMP≌△CMF，AE=AF，BE=BP.提示：当D为BC的端点，显见△AED是等边三角形；当D为BC边的中点，取AC的中点F，连结DF，易证△CDF为等边三角形，又△ADF≌△EDC，故△ADE为等边三角形．猜想：当D为BC上随意点时，△ADE也为等边三角形．11．（1）y1x4；2（2）过点C作CH⊥y轴于H，证明△AOB≌△BHC即可；（3）切合条件的P点共有5个，分别为4,12,4,8,4,8,4,4,4,4．312．提示：（1）B(8，0)；yAyAESOxCFOTSBxMCGDH图a图b2）如图a，过A作AS⊥OB于S，过D作DT⊥x轴于T．∵△OAB为等腰直角三角形，∴OS=AS=BS，再由△ASC≌△CTD，可得：AS=CT，SC=TD．2CT=AS=OS，∴OT=CS=TD．∴∠TOD=45°，则∠AOD=90°；（3）等式建立，原因以下：如图b，在AM上截取AS=OF，连ES，可证△EAS≌△EOF，可得：ES=EF，∠AES=∠