教学设计 一元二次方程 全国优质课一等奖

一元二次教案时间：学员姓名：辅导科目：数学教师：课题一元二次方程授课时间：备课时间：教学目标了解一元二次方程的定义，熟练地把一元二次方程整理成一般形式。会解一元二次方程3、能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）。重点、难点一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。一元二次方程的解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法韦达定理实际问题与一元二次方程教学内容一元二次方程知识点：1.一元二次方程的概念：形如：方程中只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：__________________（）,其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义或配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程3.一元二次方程的根的判别式：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根。4.韦达定理对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。应用：整体代入求值。【预习内容】1.一元二次方程的概念一、温故知新：问题1：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？二、新知自学：上述两个整式方程中都只含有______未知数，并且未知数的最高次数是____，这样的方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式：_________________(a、b、c是已知数，且a≠0)。其中叫做________，叫做_______________；叫做_______，叫做__________，叫做_________。三、探究合作：例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。（1）（2）（3）（4）例2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）（2）（x-2）(x+3)=8（3）说明：一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个特征：一：方程的右边为0；二：二次项系数不能为0。例3、方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？例4、已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。练习一、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.2x(x-1)=3(x-5)-4练习二、关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？四、巩固训练：一、判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“√”，不是的，在括号内划“×”）1、5x2+1=0（）2、3x2++1=0（）3、（）4、4x2+y2=0（）5、=2x（）6、=2（）二、填空题1、将方程(x+1)2=2x化成一般形式为__________.2、方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__________，其二次项是_________，一次项是__________，常数项是__________.3、关于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m______时，是一元一次方程.三、选择题1、方程x2－=(－)x化为一般形式，它的各项系数之和是（）A. B.－ C. D.2、若关于x的方程（ax+b）(d－cx)=m(ac≠0)的二次项系数是ac，则常数项为（）A.m B.－bd C.bd－m D.－(bd－m)3、若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是（）A.2 B.－2 C.0 D.不等于24、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则（）A.a+b+c=1 B.a－b+c=0C.a+b+c=0 D.a－b－c=05、关于x2=－2的说法，正确的是（）A.由于x2≥0，故x2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x2=－2是一个一元二次方程D.x2=－2是一个一元二次方程，但不能解2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法、因式分解法教学目标：1、会用直接开平方法解形如（a≠0,ab≥0）的方程；2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。3、合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程。一、温故知新：1、怎样解方程x2=4的？2、因式分解：二、新知自学：例1、解下列方程：（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0.例二、解下列方程：（1）（2）(x－1)2－18＝0三、探究合作：解下列方程（1）（2）（3）四、小结：1、直接开平方法：如果方程能化成或的形式，那么可得，或。2、因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。因式分解法的根据是：如果，那么或。3、用直接开平方法或者因式分解法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程来解。五、巩固训练：1、方程的根是（）A.B.C.D.2、用直接开平方法解方程（x＋h）2=k，方程必须满足的条件是（）A．k≥oB．h≥oC．hk＞oD．k＜o3、已知一元二次方程，若方程有解，则必须（）A、n=0B、n=0或m，n异号C、n是m的整数倍D、n=0或m，n同号4、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）A.(2x－2)(3x－4)=0∴2－2x=0或3x－4=0B.(x+3)(x－1)=1∴x+3=0或x－1=1C.(x－2)(x－3)=2×3∴x－2=2或x－3=3D.x(x+2)=0∴x+2=05、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）A.化为x+1=1B.化为（x+1）（x+1-1）=0C.化为x2+3x+2=0D.化为x+1=06、用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程、求解。7、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c=，该方程的另一根为，该方程可化为（x-1）（x）=0。8、解下列方程：(1）(x－1)2－18＝0(2)(2x＋3)2－25＝0.(3)(4)x（x-3）+x-3=0(5)x2-6x-16=0；(6)4x2-3x=03.一元二次方程的解法（2）配方法学习目标:1、掌握用配方法解数字系数的一般一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。教学过程：一、温故知新：填上适当的数，使下列等式成立：(1)x2+6x+=(x+)2；(2)x2-2x+=(x-)2；(3)x2-5x+=(x-)2；(4)x2+x+=(x+)2；(5)－x＋_____＝（x－____）2(6)x2+px+=(x+)2；由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：二、新知自学：解下列方程：x2＋2x＝5；(2)x2－4x＋3＝0.思考：能否经过适当变形，将它们转化为2＝a的形式，应用直接开方法求解？解：（1）原方程化为x2＋2x＋1＝5＋1，_____________________,_____________________,_____________________.（2）原方程化为x2－4x＋4＝－3＋4_____________________,_____________________,_____________________.我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的____________式，右边是一个_______。这样，就能应用直接开平方的方法求解。这种解一元二次方程的方法叫做配方法。三、探究合作：1、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（）A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9C.(x-8)2=16D.(x+8)2=572、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x-)2=的形式，则q的值为（）A.B.C.D.-3、用配方法解下列方程：（1）＋3x＋1＝0.（2）四、归纳总结：1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。2、配方是为了降次，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。3、方程的二次项系数不是1时，方程的各项除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1。4、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：①、移项，把常数项移到方程右边；②、配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；③、利用直接开平方法解之。五、巩固训练：1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么q的值是（）A.9B.7C.2D.-22、用配方法解方程x2-x+1=0，正确的解法是（）.A.(x-)2=,x=±B.(x-)2=-,方程无解C.(x-)2=,x=D.(x-)2=1,x1=;x2=-3、下列配方有错误的是（）A、B、C、D、4、用配方法解下列方程：(1)x2+5x－1=0(2)2x2－4x－1=0(3)x2－6x+3=04.一元二次方程解法（3）公式法教学目标：1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系。教学过程：一、温故知新：1、用配方法解下列方程4x2－12x－4＝02、方程中，，，。二、新知自学：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).解：因为a≠0，方程两边都除以a，得_____________________＝0.移项，得x2＋x＝________，配方，得x2＋x＋______＝______－,即(____________)2＝___________因为a≠0，所以4a2＞0，当b2－4ac≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x＝_______________________即x＝_________________________由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式：xx＝(b2－4ac≥0)利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。归纳：一元二次方程：当____时，方程有实数根______________________________；当____时，方程有实数根______________________________；当____时，方程没有实数根。△=叫一元二次方程根的判别式。三、探究合作例1：解下列方程:(1)2x2＋x－6＝0；(2)4x2＋4x＋10＝1－8x.例2：当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根．四、巩固训练：1、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不等的实数根B.有一个实数根C.没有实数根D.有两个相等的实数根2、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b2-4ac＞0B.b2-4ac＜0C.b2-4ac≤0D.b2-4ac≥03、用公式法解方程：(1)(2)4、不解方程，判断下列方程实数根的情况：(1)(2)(3)x2+5=2x.5、