人教A版高中数学导学案必修2 第2章 点线面的位置关系

学习目了平面的描述性概念；掌平面的表示方法和基本画法；掌平面的基本性质；能确地用数学语言表示点线平面以及它们之间的关系.学习过一、课前准备（预习教材P~P，找出惑之处）40引入面构成空间几何体的基本要那么什么是平面?平面如何表示呢?平面有哪些性质?※探索新知探究：平的念与示问题：生活中哪些物体给人以平形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新1：平面(plane)平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之.问题通常我们用一条线段表示线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？

问题：直线l与面一个公共点,直线l是在平面内有两个公共点?新4公理如果条线的点一平面内那么条线此面用集合符号表示：Bl,l问题：两点确定一直线，两点能定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？新5公理过在条线的点有只有个面如上图,三点确定平面.问题：把三角板的一个角立在课面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B为什么新：公理3如果两不合平有个共点么它有只一过点公直如下图所示：新：如上图，通常用平行四边形表示平.面可以用希腊字母

表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示如平面平面ABCD平面AC规定①平行四边形锐角画横长等于其邻边长的倍两平面相交时出线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角.问题：点动成线、线动成联集合的观点点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面新：⑴点A在面，记作A；点在平面外记作.⑵P在线l上记作Pl，在线外，记作.⑶线l上所有点都在平面内则线l在面内平经过直线l),记l；否则线就在平面外，记作l探究：平的质

平面与面相于直线l记公理集合符号表示为且,l※例1如用号表示下列图形中点线平面之间的位置关系.1

例2如在正方体ABCD

中，判断下列

学习评※你成本节导学的情况很好较好C.一般较※测时量：5分钟满分：分）计分：命题是否正确，并说明理由：⑴直线AC在面ABCD内⑵设上下底面中心为OA则平面

D

O

下面说法正确的是（）①平面面积为cm个面重合比个面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示.；D线⑶点,定平面；⑷平面ABAC

D

①B.②C.③④下列结论正确的是（）①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个重合.

O

平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面1个2个C.个个※动手试试练用号表示下列语句，并画出相应的图形：

如图在四面体中，若直线EF和相交，则它们的交点一定（）D在线DB上⑴点在面，但点在面外⑵直线a过平面外一点M；⑶直线a在平面内又在平面内

在线AB上EC.在直线CBD.都不对

G

F

H※学习小结平的特征、画法、表示；平的基本性(三个公理；用号表示点、线、面的关※知识拓展平面的三个性质是公不需要证明,直接可以用)是用公理化方法证明命题的基.其中公理可用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用确定一个平面判断两平面重合或证明点共面；公理3用判断两个平相交，证明点共线或者线共点的问题

直线ll相交于点P并且分别与平面交于点AB两号表示为_两个平面不重合在一个面内取4点另一面内取点，这些点最多能够确定平面______个.课后作画出满足下列条件的图形：⑴三个平面：一个水平，一个竖，一个倾斜；⑵,CDAB∥l，∥l.2.图在正方体中是点BC都棱的中点，请作出经过,三的平面与正方体的截.2

新2异面直线的画法有如下几,异)：

试试：请你归纳出空间直线的位关探究：平行理空等定问题：平面内若两条直线都和第条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规?

学习目正确理解异面直线的定义；会判断空间两条直线的位置关系；

观察图2-1在长方体中∥AAB与

掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；会求异面直线所成角的大学习过一、课前准备（预习教材P~P，找出惑之处）44复习面特点是、______________.复习：平面性质(三公理公理1___________________________________；公理2___________________________________；

图2-1新公4(平行公理平于一直线两条线相行问题面上,果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论公理

观察：在2-1中,与

,与※探索新知探究：异直及直间位关问题平面内两条直线要么平行么相交（重合不考虑）空间两条直线呢

平行，这两组角的大小关系如何新定空间如两角两分对平，那这个相或补探究：异面线成角观察：图在长方体中，直线CC系如何？

的位置关

问题：面内两条直线的夹角是如何定义的想想异面直线所成的角该怎么定?图新如,已知条异面直线空间结论：线ACC

既不相交，也不平行.

任一点直线a

∥a,b

∥

与b

所成的新1：像直线ACC同任何个面的条线做面线lines).试试请在上图的长方体中再找出对异面直线问题作图时，怎样才能表示两直线是异面的？

锐角(或角)叫异直b所成角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作ab反思：思考下列问题.⑴作面直线夹角时，夹角的大小与点O的置有关吗点O的位置怎样取才比较简?⑵异直线所成的角的范围是多3

⑶两互相垂直的直线一定在同一平面上?⑷异直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思?※典型例题例如,G,分别为空间四边形各边,BCCD,的中点，若对角线BD2,

异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线平面内不经过该点的直线是异面直AC，EG

HF

的值为多少(性质平行四

如图，ABa则线与线边形的对角线的平方和等于四条边的平方)

是面学习评※你成本节导学的情况很好

较好C.一般较图例2如在正方体中下列异面直线所成的角⑴BA⑵B图2-4

※测时量：5分钟满分：分）计分：a,b为条直线果cbc则ab的置关系必定是（）相B.平行异D.以上答都不对已是面直线，直线c平于直线a，么c与b（）一是异面直线一是相交直线C.不可能是平行直线不能是相交直线已知,a,b是面线，那么直线l（）至与中一条相交至与a,b中一条相交C.与a,b都交D.至少与中一条平行※动手试试练正体ABCD直线与

的棱长为a求异面

的十二条棱中，与直线正方体ABCDA是异面直线关系的有__________.AC长方体ABCDA中ABBC=1面线AC与A所角的余弦值是_课后作已E

是正方体AC

棱AD，

的中点，求证：

※学习小结异直线的定义、夹角的定义及求法；

如图在三棱PABC中PA，E、空直线的位置关系；平公理及空间等角定

F分别是PC和上点，且

AF，设FBEF与PA、BC所的角分别为

※知识拓展

求证：°4

图学习目掌直线与平面之间的位置关系直线在平面外的概念会判断直线与平面的位置关系；掌两平面之间的位置关系相交平面的图形.学习过一、课前准备（预习教材P~P，找出惑之处）48复习：空间任意两条直线的位关系_、_______三.复习：异面直线是指的两条直线它的夹角可以通过的方式作出其范围复习：平行公理________________；间等角定理※探索新知

⑴直在面—⑵直线与平面相—⑶直线与平面平—其中，⑵、⑶两种情况统称直线平外反思：⑴从交点个数方面来分析，上述三种关系对应的交点有多少个？请把结果写新知1的——号后面⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来，并想想用符号语言该怎么描述.探究：平面平的置系问题：平面与平面的位置关系有种？你试着拿两个作业本比画比.观察：还是在长方体中，如图，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几?图新知：两个平面的位置关系只有两种：探究：空直与平的置系⑴两个平面平——有公共点问题铅表示一条直线业本表示一个平面，⑵两个平面相交—有条公共直线你试着比画，它们之间有几种位置关?试试：请你试着把平面的两种关用图形以及符号观察：如图直线B长方体的六个面有几种位置关系

语言表示出来.图新知：直线与平面位置关系只三种：5

※典型例题例1下命题中正确的个数是（）①若直线l上无数个点不在平面内则l.②若直线l平面平，则l与面内任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平.④若直线l平面平，则l与面内任意一条直线都没有公共.1C.3

※直线与平面、平面与平面的位置关系；位置关系用图形语言、符号语言如何表示；长方体作为模型研究空间问题的重要※求类似确定空间的部分、平面的个数、交线的条数、交点的个数问都应对相应的点、线的位置关系进行分类讨论到不重不漏.分类讨论是数学中常用的重要数学思想方法，可以使问题化难例2已平面

直且∥，

为易、化繁为简.b，直直线具怎样的位置关

学习评※自评你成本节导学案的情况很好

较好C.一般较※当检（时量：分满：10分计分：直线l平面外，则（）l∥l与至有一个公共点l

AD.l与至多有一个共点※练若直线a不行于平面且则下列结论成立的是（）A.内所有直线与异内不在与a平的直线C.内在唯一直线与a平行D.内的直线与都相交

已知a∥，，（）∥a和相C.a和b异D.a与b平行或异面四棱柱的的六个面中，平行平面有（）A.1对对2对对或或对D.0对对或或对过直线外一点与这条直线平行的直线___；过直线外一点与这条直线平行的平面____个.若在两个平面内各有一条直线这两条直线互相平行么两个平面的位置系一定_课后作已知直线及平面满足:a∥,b∥,则直线a的位置关系如?画图表示.练已知,c为条不重合的直线个不重合的平面：①∥c,∥c∥；

三②∥

b

a；③a∥c∥∥；④∥

∥∥

；⑤aba∥ba∥.其中正确的命题是（）①①②C.②④③⑤

两个不重合的平面以将空间划为几个部分？三个呢？试画图加以说明.6

例1如ABC在面外PQ，

，证：Q,三共线.§2.1空学习目理和掌握平面的性质定理，能合理运用；掌直线与直线直与平面平与平面的位置关系；会断异面直线，掌握异面直线的求法；会图形语言、符号语言表示点、线位关系.学习过一、课前准备（预习教材P~P，找出惑之处）40复习：概念与性质⑴平面的特征和平面的性(三公)⑵平行公理、等角定理；

图小结：证明点共线的基本方法有种⑴找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面的公共点，由公理3可知这些点都交线上，即证若干点共线.⑵选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也都在这条直线上.例如图4-2,间四边形ABCD中E,分是上点，GH分是CD和上点，且FG相于点求：EH,条直线相交于同一.⑶直线与直线的位置关系

图面内⑷直线与平面的位置关系交⑸平面与平面的位置关系

小结：证明三线共点的基本方法：先确定待证的三线中的两条相交于一点再明此点是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理3得这三线共.复习：异面直线夹角的求：平移线段作角，解三角形求角复习：图形语言、符号语言表点、线、面的位置关系⑴点与线、点与面的关系；⑵线与线、线与面的关系；⑶面与面的关系.※典型例题

例3如如果两条异面直线称作“一对么在正方体的条棱中，共异面直线多少图7

反思：析清楚几何特点是避免重复计数的关键，计数问题必须避免盲目乱数，分类时要不重不.※动手试试练如图4-4,是正方体的平面展图则在这个正方体中：①BM与平行②CN与BE是异面直线③与BM成60角④DM与是异面直线其中正确命题的序号是（）①②③B.②④C.D.②③④

※平面及平面基本性质的应用；点、线、面的位置关系；异面直线的判定及夹角问题※异面直线的判定方法：①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面②定理法：利用异面直线的判定定理说③反证法常用：假两条直线不面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后根据题设条件推出矛盾.学习评※你成本节导学的情况很好

较好C.一般较练如图正方体中,F分为ABAA的中点，求证：CEDDA三线交于一点.图练由条直线和这条直线外不共线的三,确定平面的个数为多少

※测时量：5分钟满分：分）计分：直线l∥l,l上个点，在l上取2个，由这个点确定的平面个数为（）A.1个个D.9个下列推理错误的是（）Al,Bl,lC.l,lAA,C,且BC不线ab是面直线b,c是面直线,c的置关系是（）相、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一平面___________.垂直于同一条直线的两条直线位置关系_；条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直______.课后作如图在正方体中MN分是ABDD

的中点，求异面直线B

所的角.小结：类讨论的数学思想图8

如4-7,已知不共面的直线,b相于点M,P点直两点，N,Q分是直线上一点求证：MN和PQ是面直线.a

图5-2

M

Q

结论：上述两个问题中的直线l与应平面都是平行的.图直学习目

探究：直线平平的定理为什么会和对应的问题究两实例中的直线l平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一结论表示出来吗？新知：直与面行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行直线与此平面平如5-3所a∥.通生活中的实际情况建立几何模型了直线与平面平行的背景；理和掌握直线与平面平行的判定定理会用其证明线面平行.学习过一、课前准备（预习教材P~P，找出惑之处）54复习：直线与平面的位置关系_____________，_________________.讨论：直线和平面的位置关系中平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？※探新探究：直与面平的景析实例如一墙上有一扇门门的两边是平行当门扇绕着墙上的一边转动时门扇转动的一边l与所的平面位置关系如何？

图反思：思考下列问题⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思想？⑶如果要证明这个定理，该如何证明呢？※典例例1有块木料如图5-4所，P为面内一点，要求过点P在面BCEF内一条直线与平面平行，应该如何画线？图实例如将本书平放在桌面上翻书的封面，观察封面边缘所在直线l与面所在的平面具有怎样的位置关系？

图例2如，空间四边形ABCD中F分是9

AB,AD的中点，求证：EF∥面图※动手试试练正方形ABCD与方形交分为AC和BF上的点AMFN图5-6所示求证：MN∥平面BEC.C

※学小直与平面平行判定定理及其应用其心是线线平行线面平行；转化思想的运用：空间问题转化为平面问.※知拓判定直线与平面平行通常有三种方法：⑴利用定义明线与平面没公共但直接证明是困难的，往往借助于反正法来证.⑵利用判定定理关键是证明线平证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等.⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到学习评※自评你成本节导学案的情况很好较C.一般较※当检（时量：分满：10分计分：若直线与平面平行这条直线与这个平面内的（）D

M

一直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无条直线不相交下列结论正确的是（）

F

平于同一平面的两直线平行直l与平面不交则l∥面图练2.已,D,E别为的点，沿DE将ADE折起使到A设M是A的中点，求证：∥平面

C.,是平面外点，CD是面内点，若ACBD，则平面D.同时与两条异面直线平行的平面有无数个如果BC是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线的置关系是（）.平相交此平面内平或相交在方体ABCDABC的个面和六个对角面中，与棱AB平行的面有________.若直线,b相，且a∥，与面的置关系是_____________.课后作如图，在正方体中，为DD的点，判断BD与平面的置关系，并说明理.图10

则面AABB如，在空间四边形ABCD，、Q分是ABC和的重心.求证：∥平面图6-1⑵如图，AA，D面D

，则面A

∥面D

吗？图2学习目能助于长方体模型讨论直线与平面与平面的平行问题；理和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；进步体会转化的数学思学习过一、课前准备（预习教材P~P，找出惑之处）56复习1线平面平行的判定定理是

图6-2⑶如图线A都和平面ABCD平行(为什么则面平面ABCD吗图反思：由以上个题，你得到了什么结论？复习两平面的位置关系种分别为___和_讨论两个平面平行的定义是两平面没有公共,新：两个平平的定理一平面内的两怎样证明两个平面没有公共点?你觉得好证?※探新探究：两平平的定理问题：平面可以看作是由直线成.一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？结论两个平面平行的问题可以化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问.问题：个平面内所有直都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？试试：在长方体中，回答下列问⑴如图，

条相交直线与另一个平面平行两个平面平.如图6-4所示，∥.图反思：⑴定理的实质是什么⑵用符号语言把定理表示出来.⑶如果要证明定理，该怎么证明呢？11

MM※典例例1已正方体ABCDAB6-5：平面D∥CBD图例2如知两条异面直线面a，平，平面b与平，求证：平面∥平面

※学小平面与平面平行的判定定理及应用；转化思想的运.※知拓判定平面与平面平行通常有方法⑴根据两平面平行的定义(常用证法)；⑵根据两平面平行的判定定理；⑶垂直于同一条直线的两个平面平(以后学习)⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行的传递性；⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线两平面平判定定理的推论学习评※自评你成本节导学案的情况

很好

较好C.一般较

※当检（时量：分满：10分计分：平面与面行条件可以是（）A.内有无多条直线都与行图

直

都平行，且不在小结证明面面平行，只需证明线平行，而且这两条直线必须是相交直线.

C.直线直线b,b∥内的任何直线都与平行经过平面外一条直线且平面平行的平面（）有只有一个B.存在C.至多有一个D.至少有个设有不同的直线a,，不同的平面、给出的三个命题中正确命题的个数是（）.※动手试试练.如方中MNEF别是棱A面∥平面EFDBDFAE

，

①若∥,∥,则a∥②a∥,∥则a∥若a∥则∥A.0个C.2D.3个如果两个平面分别经过两条平行线中的一条这两个平面的位置关系是若个平面都平行于两条异面直线中的每一条,则这两平面的位置关系是

D图6-7

课后作如图6-8在几何体ABC°°,求证：平面∥平面A12

图如，、PCA、的重.求证：面A.

图问题我知道两条平行线可以确定一个平(为什)，在中直线确定的平面画出来，并且表示为.问题你画出的图面是经过直线a的平面，显然它和平面是交的，并且直线是两个平面的交线，而直线和是平行.因此，你能得到什么结把它用符号语言写在下问题过直线a再另外一个平面

与图直学习目掌直线和平面平行的性质定理；能活运用线面平行的判定定理和性质定理握“线线面”平行的转化学习过一、课前准备（预习教材P~P，找出惑之处）58复习：两个平面平行的判定定______________________________________；它的实质是__________行推出__________平行.复习2线平面平行的判定定理是讨论果直线a平面平和面内的直线具有什么样的关系呢？※探新探究：直与面行性定理问题1：如图，直线a与平平.请在图中的平面内出一条直线平行的直线b.

平面相，交线为线ac平行吗和上面得出的结论相符能不能从理论上加以证明图新知直与面行性定一直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.反思：定理的实质是什么？※典例例如所示的一块木料中，棱BC平于面A⑴要经过面AP和BC将料锯开,应怎样画线⑵所画的线与平面是么位置关系13

那么这条直线和它们的交线平.图例2如，知直线，面，且∥b，∥，都平面外求证：ba图小结运用线面平行的性质定理题，应把握以下三个条件①线面平行，即a∥；面面相交，即b；线在面内，即b

※学小直线和平面平行的性质定理运用；体会线线平行与线面平行之间的关系.※知拓在证明线线或线面平行的时候，直线和平面平行的判定定理和性质定理在解题时往往交替使用，相互转换，即线面平行问题往往转化为线线平行问题，线线平行问题又转化为线面平行问题，反复运用，直到得出结.学习评※自评你成本节导学案的情况很好

较好

C.一般

较※动手试试练如图所，已知a∥b，a，，，求证：∥b∥l.图练求证：如果条直线和两个相交平面平行，14

※当检（时量：分满：10分计分：、b、c表示线，M表平面，可以确定∥条件是（∥M,M∥c,∥bC.a∥M,MD.b和c的夹角相等下列命题中正确的个数有（）.①若两个平面不相交，则它们平行；②若一个平面内有无数条直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平A.0个C.2个D.3个平行四边形EFGH的个顶点F、、H分别在空间四边形的条边ABCD、AD上又∥FG，（）.EH∥BDBD平行于FGFG，不行于BDC.∥BDFG∥D.以上都不对

和b是面直线过b可个面与直线平异直线a,b都平面平且们和平面内的同一条直线的夹角分别是°和60°则和的夹角

※探新探究平与面行性定问题：如图8-1，平面和平行，.请在图中的平面内画一条直线b和a平课后作如7-6，在ABC所平面外有一点P，D、别是与AB上的点，D,作平面平行于

BC，画出这个平面与其它各面的交线，并说明画法的依据图已异面直线AB都行于平面，、CD两，若ACBD与面相于M、NAMBN两点，求证：.平学习目掌两个平面平行的性质定理；灵运用面面平行的判定定理和性质定理“线线、线面、面面”平行的转学习过一、课前准备（预习教材P~P，找出疑惑之处）2复习1线平面平行的性质定理是复习2面平面平行的判定定理是讨论：如平面和面行,那平面内直线与另一个平面内的直线具有什么位置关?15

图8-1问题在8-1中把行直线,所定的平面作出来，并且表示为问题：在你所画的图中，平面平、相交平面，直线ab分是交线，并且它们是平行的.据以上的论述能得出什么结论？请把它用符号语言写在下.问题：在图中任意再作一个平面与相交，得到的两条交线平行吗？和你上面得出的结论相符吗？你能从理论上证明吗？图新知两平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平反思：定理的实质是什?※典例例1如ABCDA，求证：ABCD

D图例2已平面∥面,夹

之间，,C，D,F分为,的点，求证：∥，EF∥提：注意AB,的关系)

※学小平面与平面平行的性质定理及应用；直线与直线直线与平面平与平面平行的相互转换.※知拓两个平面平行，还有如下结论：⑴如果两个平面平行，则一个平面内的任何直线都平行于另外一个平面；⑵夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都相等；⑶如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平.⑷如果一条直线和两个平行平面中的一个相交那么它和另一个也相交.学习评※自评你成本节导学案的情况很好

较好

C.一般

较小结：应用两个平面平行的性质理关键要找到和这两个面相交的平面.

※当检（时量：分满：10分计分：下列命题错误的是（）平于同一条直线的两个平面平行或相交平于同一个平面的两个平面平行C.平行于同一条直线的两条直线行D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交,n是重的直线，

是不重合的平面：※动手试试练.已平面平面A,C，BD直线AB与CD交点AS⑴当S在之间时，CS长少？⑵当S不间时，长又是多少？

①，n则∥②，m∥则∥③，m∥n，m∥且m∥上面结论正确的有（）A.0个个个D.3个平面把空间分成6个分，则（.三面共线B.平面两两相交C.有两平面平行且都与第三平面交三面共线或者有两平面平行且都与第三平面16

相交直与两个平行平面中的一个平行它与另一平面_______________.一平面上有两点到另一个平面的距离相等这两个平面________________.课后作若∥面面面求：∥

面面平行※典例例1如正体中,,H分为，CC

的中点求证：⑴HD

；设Q是单位正方体AC的面DD、面111ABC的中心，如图8-4，证明：⑴PQ∥面11AAB；面PQ∥面C.1图§2.2直平面平行的判定及其性质()学习目熟掌握直线与平面面平面平行的判定定理和性质定理能合理选用其证明平行关系；熟掌握线线面面之间的相互转化关.

⑵EG∥平B⑶平面DF∥平B图例2如四锥ABCD中ABCD是菱形，M为的中点，为的中点，证明：直线MN平面CDOM

学习过一、课前准备（预习教材P~P6，找出疑惑之处）543复习：直线与平面、平面平面平行的判定定理和性质定理分别是什么？复习：线线平行、线面平、面面平行相互之间的转化图为：

图

线线平行

判定定理

线面平行性质定理

小结判某一平行的过程就是一平行关系出发性质判定定理

理定质理性定定判

17

不断转化的过程.通常经历线线平行到线面平行面平行到面面平行后回到线线平行这一过归根结底还是线线平.※动手试试练如图线

相交于点OAO=

O，CO求证：平面ABC∥面A

图图9-3练如图右的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在中间和

※学小左边画出（单位：cm）所直观图中连结

，

线面平行、面面平行判定定理和性质定理的熟练⑴证明：

面EFG；求多面体体积.

运用；平行关系的熟练转.EA

DGFD

B

C

图

※知拓在立体几何中，证明图形的存在性或唯一性时，常常运用反证法和同一法.反法先提出和原命题中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果，这样就否定了原来的假定而肯定原命题同法欲证图形有某种特性时，可另作一个具有同样特征的图形，再证明所作图形和已知条件中的图形是同一个如果不是同一个与公理或定理相矛盾.学习评※自评你成本节导学案的情况很好

较好

C.一般

较练如图∥线ab别交,点A,和DEF，证：.EF

※当检（时量：分满：10分计分：下列条件能推出平面∥面是）.存一条直线，∥，a∥B.存在一条直线，a，∥C.存在两条平行直线ab，ba，∥D.存两条异面直线a,baa∥，设a,b为条直线，为两个平，下列三个结论正确的有（）个.18

①若a,b与所成的角相等，则a∥②若a∥，∥，∥则ab③若a∥，∥A.0

复习2如图10-1，直线a请你任意作出至少3和a直的直线，并感觉作出的直线中有和平面垂的直线吗？间的两条异面线和是在平行平面段，EF分是它们的中点，则EF和.A.平相垂直不确定在正方体棱的中点组成的直线中正方体的

一个对角面平行的直线有______条.试横线上写出条件，使∥b____________________________________课后作如，四边形是形，EF是AB、PD的点，求证：AF∥PCE.

图※探新探究：直线平垂的念问题：如图10-2将三角板直立起来，并且让它的一条直角边在桌面上，观察AB边桌面的位置关系呈什么状态？绕着AB边动三角板，边BC始垂直吗？在转动的过程中BC看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？图

如，在正三棱柱中，是的AC中，

图10-2求证：

∥面

新知：如果直线l与面内意一直都垂直，就直l与平互相直记做l.l叫做垂线，叫面，它们的交点叫足如图10-3所.图直线学习目理直线与平面垂直的定义；掌直线与平面垂直的判定定理及其应用；理直线与平面所成的角的概念直线与平面所成的角学习过一、课前准备（预习教材P~P，找出惑之处）64复习：当两条直线的夹角_____，这两条直线互相垂直；它们的位置关系是或

图10-3反思：⑴如果直线与平面内无数直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？探究：直线平垂的定理问题：如图，一块三角形纸片沿痕AD折起，将折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,与桌面触观察折痕与面的位置关系.何翻折才能使折痕AD桌面垂直呢？图结论当且仅当折痕AD是边的时，所在的直线与桌面所在的平面垂.如下图所示19

图10-5反思：⑴折痕与面上的一条直线垂直时，判断AD垂于桌面吗⑵如图10-5当痕AD时翻后AD,即,ADBD由此你能得出什么结?新知2直线和面直判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂探究：直与面所的新知3：如图，线和面相交但不垂直，叫平面斜线，PA和面的交点叫斜足，AO叫做斜线在面的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直和面所的.

※练1.如，在三棱锥中，VAAB，求证：VB图10-9练如10-10在RtBMC中斜边BM，其射影AB60°求MC平面所成角的正弦值.图

O图10-6直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°角.※典例例1如10-7已知a∥，求：b.图例2如10-8在正方体中，求直线A面A的角DA

※学小直线与平面垂直的定义判定线垂直与线面垂直的转化；直线与平面所成的角的定义及求※知拓求直线与平面所成的角关键是作出斜线上一点到平面的垂线到这点的射影—垂足的位.定点的射影位置的方法有①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上②一个点到一个角的两边距离相等，则这个点的射影在这个角的角平分线上③若两个面垂直，则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线.学习评※自评你成本节导学案的情况很好较C.一般较※当检（时量：分满：10分计分：

D图10-8

直l和平面内条直线都垂直，则l平面的置关系是（）垂B.平行C.交但不垂直D.有可能已知直线和平面，下列错误的是

ab

a

//b

b20

aba//C.∥或aa∥ba,b是面直线,么经过b所有平.A.只一个平面与平有数平面与平C.只有一个平面与垂D.有无数个平面与垂两直线和一个平面所成的角相等这两条直线的位置关系是_若面∥面直a,与_____课后作过所平面外点，作PO，足为O接PAPBPCAPC，PCPA，点在的么位置？

一、课前准备（预习教材P~P，找出疑惑之处）6769复习若直线垂直平面条平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为复习：⑴什么是直线与平面所成的⑵直线与平面所成的角的范围_______________.※探新探究：二面的关念如图，在正方体中，O底面的中心，BH为足，求证：BADD

图11-1问题：上图中，水坝面与水平面卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这个度的共同特征是什么新知：从一条直线出发的两半平所组成的图形叫做二角这条直线二角棱，这两个半平面叫二面角的.11-2中二面角可记作：二A

面角ABPABHD

l

O

图10-11平面学习目理二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；熟线线垂直、线面垂直的转化学习过21

图问题：二面角的大小怎么确定呢新知如图11-3二面角棱l任取一点以O垂足在平面和内别作垂直于棱l的射线射线OA和构的AOB做二面的面平角是直角的二面角直面图反思：两个平面相交，构成几个二面角?它们平面角的大小有什么关系？

⑵你觉的二面角的大小范围是多少？⑶二面角平面角的大小和的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？探究：平与面垂的定问题教室的墙给人以垂直于地的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？新知：两个平面所成二面是直二面角，则两个面相直如11-4垂作

小结：求二面角的关键是作出二角的平面※练如，在空间四边形中=9°，60°，SC，⑴求证：平面ASC面⑵求二面角SAB的面角的正弦值.

图11-4问题除了定义，你还能想出什方法判定两个平面垂直呢？新知：两平垂的定理一个平过另一个平面的垂线，则这两个平面垂反思：定理的实质是什?※典例例1如是的径PA垂于⊙所在的平面，C是周上不同于B的意一点，求证：平面平面.图11-5

图11-7※学小二面角的有关概念，二面角的求法；两个平面垂直的判定定理及应※知拓二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面内点A于再作l于，连接OA，即为所平面.为什么)例2如，正方体中，求面A所成二面角的大小（取锐角

学习评A

D

※自评你成本节导学案的情况很好较C.一般较※当检（时量：分满：10分计分：以下四个命题，正确的是（）.

D图11-6

C

两平面所成的二面角只有一个两相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中线所成的角中最小的一个二角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置22

无关对于直线,,平面件是（）.

能出的个条

一、课前准备（预习教材P~P，找出疑惑之处）7071复习①什么是二面角？什么是二面角的平面,m//n/,,C.//n,nmm//n,mn在方体ACD中，过A,C,D的面与过BB的面位置关系是（）.A.相不垂直交成0°角C.互相垂直互平行二角的大小范围若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系______.课作如BCDBDCD=，CBD，，证：cos

角？②当两个平面所成的二面_时这两个平面互相垂直.复习：两个平面垂直的判定定理_复习3：①垂直于同一直线的两条直线的位置关是；垂直于一平面的两个平面的位置关系是_※探新探究直与面直性定问题1：东升汇景酒店门口竖着三根旗杆，它们地面的位置关系如何？你感觉它们之间的位置关系又是什么样的？问题：如图12-1，长方体的四条棱AA

、

、CC

和DD

与底面是么关系它们之间又是什么关系？图11-8如，正方体，EF是的中点，求面与所成二面角的正切值.（取锐角）

图12-1反思：由以上两个问题，你得出什么结论？自己能试着证明吗？和其它同学讨论讨论，看看难在哪里？图11-8直线学习目理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用；了反证法证题的思路和步骤；掌平行与垂直关系的转学习过

※典例例如，已知直线a面直线平面，证：a∥23

图

图12-3小结：由于无法直接运用平行直的判定知识来证

练2.如，AB是异面直线ab的公线（与b都直交的直线，求证：AB∥.明∥,我们假设a不行进而出“经过直线上同一点有两条直线与该直线垂直”的错误结论，说明假设不正确，即原命题正确：a∥这种

证明命题的方法叫做“反证法.

新知直与面直性定垂于同一个平面的两条直线平行.反思：个定理揭示了什?例2判下列命题是否正确，并说理⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条

图12-4

也垂直于这个平面；⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平

※学小直线与平面垂直的性质定理及应用；“平行”与“垂直”关系的相互转化.※知拓设a和l是线垂直还有下列性质：

平面则线与平面lll；(2)m//l

ll

//

小结：会“平行”与“垂直”之间的转※动手试试练如图12-3，CA于点，CB于点B，，a，且a，证：∥l.C

你能把它们用图形表示出来吗？学习评※自评你成本节导学案的情况很好较C.一般较※当检（时量：分满：10分计分：

下列四个命题中错误的是（）.∥B.a∥bbC.ababD.ab∥l

平面外共线的三点B,到的离都相24

等，则正确的结论是（）A.平必平行于B.面必直于C.平面必与相D.存在ABC的条中位线平于或内已知平面和面相交,a是内条直线，则有（）.A.在内必存在与平的直线在必存在垂的直线C.在不存在与a平的直线D.在不一定存在与a垂的直线直，线b，且∥，则a

一、课前准备（预习教材P~P，找出疑惑之处）7172复习线平面垂直的性质定理复习线平面垂直的判定定理复习：两个平面垂直的定义是什※探新设直线

b

分别在正方体

ABCD''

探究平与面直性中两个不同的平面内

ab

a

应满足____

问题：如图13-1，黑板所在平面与地面所在平至少写出2个同答案)课后作已a，b，b，证：∥.

垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？黑板地面图13-1问题：如图13-2，在长方体中，面A

与面ABCD垂直，AD是其交线，则直线AA

与AD关系如何？直线AA

与面ABCD呢如12-5，在棱锥中，，ABBC，若是的中点，试确定上的置，使得MN图13-2反思以两个问题有什么共性你得出了什么结论？请用图形和符号语言把它描述在下面，并试着证明这个结论.图12-5平学习目理和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；进步理解线线垂直面垂直面面垂直的相互转化及转化的数学思想.学习过25

新知：平与面直性质理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.反思：个定理实现了什么关系的转?※典例例1如13-3已知平面直线a满足，，证：∥.

练2.如，平面面，AB，a∥，a求证：

图例如锥的面是个矩形，AB2,BC2，面是边三角形，且侧

图13-5面PAB垂于底面ABCD.⑴证明：侧面面；⑵求侧棱底面所成的

※学小两个平面垂直的性质定理及应用证明线面垂直、线线垂直、线在面内及求直二面角；判定定理和性质定理的交替运用种垂直关系的相互转化

D

※知拓两个平面垂直的性质还有：图13-4※动手试试练平面面过平面垂线a，证：a.

⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直,在这个平面内；⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面；⑶三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂你能试着用图形和符号语言描述它们?学习评※自评你成本节导学案的情况很好较C.一般较※当检（时量：分满：10分计分：下列命题错误的是（）A.内有直线都垂直于内定存在直线平行于26

C.不直内存在直线垂直D.不垂直内定在直线平行于已下命题正确个数有（）①的已知直线必垂直于内任意直线②内的已内无数条直线③内任一直线必垂直于A.3已，ab是的线，，则a的位置关系是（）∥B.a与相交不垂直C.不确定若平面，直线，则与的位置关系_直、平面、足n，则n和的位置关系为_课后作

的互化掌“行与垂直”关系的相互转换；能求直线与平面所成的角及简单的二面角的平面角大小学习过一、课前准备（预习教材P~P，找出疑惑之处）6472复习：直线与平面垂直的有关结论⑴如果一条直线，这条直线和这个平面垂直；⑵线面垂直的判定定理是；⑶两条平行线中的一条垂直于一个平面，______；⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个，____；⑸面面垂直的性质定理是如13-6，平面，求证：l

，平面

复习：平面与平面垂直的有关结论⑴两个平面垂直的定义是；⑵两个面垂直的判定定理_____________________________________________________________.复习斜和平面所成的角怎么线和平面所成的角的范围；图13-6如13-7CE,EF，FEC90°求证：面

⑵二面角的定义是怎样的？它的平面角又是怎么作※典例例1如所，在正方体中，P、QR、

D

分别为棱ABB求证：平面

的中点F图

直学习目熟掌握直线与平面面平面垂直的判定和性质定理，能够灵活运用；掌垂直关系中线线垂直线面垂直面面垂直

图14-127

小结面垂直通常转化为线面关键找到一个面内垂直于另一个面的线)面垂直又转化为线线垂直，线线垂直往往又用到线面垂直的定例2如所示，设a、为面直线，垂直于a、b，与、b别交于、B两点.⑴为面，若∥,求：AB；⑵若，，求证：AB∥c

※练1.在方体ABCDAACC

中，求证：平面

图（）

图14-2（）

练2.