刚体定轴转动定律

第(Di)六章刚体定轴转动第一页，共三十六页。复(Fu)习质点的角动量力矩角动量定理角动量守恒定律若第二页，共三十六页。本章主要(Yao)内容1刚体的运动2刚体的角动量3刚体受到的力矩4刚体定轴转动定律5刚体的动能定理6刚体的角动量守恒定律第三页，共三十六页。6.1刚体的运动与描(Miao)述质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够的。刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（rigidbody）。刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。第四页，共三十六页。一、刚体的运(Yun)动固联在刚体上的任一条直线，在各个时刻的位置始终保持彼此平行的运动，叫做刚体的平动。1.平动刚才的动画演示了一个圆柱体的平动。在运动过程中，我们看到，刚体中所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都相同。这时我们可以选取刚体上任一点的运动来代表刚体的运动。第五页，共三十六页。2.转(Zhuan)动如果刚体上所有各点绕同一直线（转轴）作圆周运动，则称为刚体的转动。

转动时，轴外各点在同一时间间隔内走过的弧长虽然不一样，但角位移全同。第六页，共三十六页。固(Gu)定转轴：转轴不随时间变化——刚体定轴转动瞬时转轴：转轴随时间变化——一般转动第七页，共三十六页。3.刚(Gang)体的一般运动例如，一个车轮的滚动，可以分解为车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为质心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心轴的转动（应用转动定律）。第八页，共三十六页。一个汽车轮子在地上的滚(Gun)动A、B、C、…各点的运动都不相同绕过o轴的转动oABCoo轮子的平动ABCoABCoABABCCo刚体的运动＝平动＋转动平动：刚体上所有点运动状态都相同转动：各质元均作圆周运动第九页，共三十六页。二.刚体平动(Dong)的描述

刚体的平动可用质心运动来代表整体的运动1。质心的位矢设N个质点m1,m2,,mN，对应的位矢定义：质心的位矢质心重心第十页，共三十六页。2。质心运动定(Ding)理质心的速度：质心的加速度：设mi受力则：对所有质点求和：0——质心运动定理即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点，所受的力是质点系受的所有外力。注：质心上可能既无质量，又未受力。2第十一页，共三十六页。角(Jiao)位置θ角速度ω角加速度α·pro转动平面三.刚体（定轴）转动的角量描述第十二页，共三十六页。6.2刚体(Ti)的定轴转动定律一.刚体定轴转动所受力矩力矩一般定义：此处即可是对某点也可是对某轴而言当刚体作定轴转动时，力矩就可以用标量来表示。oo习惯上把定轴用z表示力矩表示为第十三页，共三十六页。oo.P1）在垂直oo的平面内2）不在垂直oo的平面内oo.P对刚体绕oo轴转动(Dong)无贡献计算力矩时只需考虑的力矩

总可分解成两个分量：5合外力矩第十四页，共三十六页。oo1。一个质点的情(Qing)况

法向力对轴的矩为零切向力对轴的矩二.刚体定轴转动定律见右下平面图第十五页，共三十六页。（刚体类似于多质点(Dian)系）设某刚体绕固定轴—Z轴转动Zmi取质量元mi，其到转轴的距离ri受力如图示，根据牛顿定律：各质元加速度不同，但角加速度相同用ri乘以上式：将所有质元相加：fifj0ro2。连续质量分布刚体的情况第十六页，共三十六页。定(Ding)义——刚体对定轴（z轴）的转动惯量则有——定轴转动定律由与牛顿定律比较：或Jmm反映质点的平动惯性J反映刚体的转动惯性第十七页，共三十六页。3。理解(Jie)注意是合外力矩这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因而不能改变刚体的角速度。这是角动量定理在刚体定轴转动情形下的特例（1）（2）（3）第十八页，共三十六页。

质量连续(Xu)分布质量离散分布对刚体定义—转动惯量单质点单位：kg∙m2─质量元─第i个质点的质量─到转轴的距离─到转轴的距离三.转动惯量及计算第十九页，共三十六页。质量为线(Xian)分布质量为面分布质量为体分布、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布面分布只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量。第二十页，共三十六页。如图套两个质点的细杆(Gan)长l，杆绕空端转动，分析整个系统绕o点的转动惯量。将两质点换位再作计算。解：普通物理学教案例题1：

o2m

m

由om2m结论：第二十一页，共三十六页。J与刚体的质量分布有关J与转轴(Zhou)的位置有关因为质量分布是对转轴而言的，上例也可看作质心离转轴越远转动惯量越大。形状和转轴确定后，J与刚体的质量有关AlFe讨论影响转动惯量的因素第二十二页，共三十六页。求长(Chang)为L、质量为m的均匀细棒对端点轴和中垂轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题2：ABL/2L/2Cx取如图坐标取质量元ABLx第二十三页，共三十六页。求质量为m、半(Ban)径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：普通物理学教案例题3：取质量元Odm第二十四页，共三十六页。求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂(Chui)直并通过盘心。解：普通物理学教案例题4：这样的一个圆盘可以视为半径不等的有宽度的圆环拼接而成。任取其中一环利用前例环的转动惯量结果Rrdr第二十五页，共三十六页。内半径为R1外半径为R2质量为m的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动(Dong)惯量。解：普通物理学教案例题5：第二十六页，共三十六页。质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心轴的转动(Dong)惯量。解：普通物理学教案例题6：在球面取一圆环带，半径第二十七页，共三十六页。质(Zhi)量为m半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题7：把球体看作无数个同心薄球壳的组合

第二十八页，共三十六页。如图所示，滑轮半径为r。（设绳与滑轮间无相对滑动）①若m2与桌面间的摩擦系数为μ，求(Qiu)系统的加速度a及张力T1与T2；②若桌面光滑，再求。解：普通物理学教案例题8：力和力矩分析、方法1按隔离法建坐标对质点用牛顿定律对刚体用转动定律限制性条件第二十九页，共三十六页。解(Jie)得：若桌面光滑，摩擦力矩为零第三十页，共三十六页。解(Jie)法2由系统角动量定理取m1、m2、J为系统外力矩系统的角动量（任一时刻）（对滑轮转轴）第三十一页，共三十六页。由(You)角动量定理由解得：再由牛顿定律可得张力。这也是定轴转动定律(整体分析方法)第三十二页，共三十六页。一根均质细杆（m、L），一端可在(Zai)竖直平面内自由转动。杆最初静止在(Zai)水平位置，由此下摆角求角加速度和角速度。解：普通物理学教案例题9：odm∙gdm下摆过程重力矩做功以杆为对象取质元当杆处在下摆角时，该质量元所受重力对o点的矩为重力对整个棒的合力矩为：第三十三页，共三十六页。代入转动定律(Lv)，可得：代入转动动能定理第三十四页，共三十六页。匀质圆盘的质量为m，半径为R，在水平桌面上绕