2023学年上海七年级数学下学期重难点讲义第12讲-三角形的有关概念和内角和(含详解)

第12讲三角形的有关概念和内角和

i.理解三角形的有关概念及三角形的分类，体会分类思想：

2.理解三角形内角和定理的是如何推导出来的，能够熟练的运用三角形内角和定理解决一

些常见的计算问题；

3.灵活运用三角形的内角和性质及三角形的外角的性质进行简单的几何推理.

动探索

1.三角形的分类：

按角分类:

按边分类:

2.三角形的主要性质：

(1)三角形的任何两边之和第三边，任何两边之差______第三边；

(2)三角形的内角之和等于;

(3)三角形的一个外角等于和它;

三角形的一个外角______任何一个和它不相邻的内角。

(4)三角形的外角和等于o

小练习：

1.△ABC中，如果/B=NA+/C,那么这个三角形是____________三角形；

2.在已知NB=35。，ZC=55°,则此三角形是_____三角形。

3.在A4BC中，已知NA：ZB：ZC=1：2：3,则最大的一个角度数是度。

4.如果等腰三角形两边长分别为3,7,那么三角形的周长是:

5.△ABC中，AB=9,BC=4,那么AC的取值范围是；

6.等腰三角形周长为16,且边长都为整数，则能构成不同形状的三角形共有（）

（A）1个（8）2个（C）3个（£＞）4个

7.一个三角形的两边长分别为3和8,第三边的长为奇数，那么第三边的长为（

（A）3或5（B）5或7（C）7或9（D）9或11

8.下列说法正确的是（）

（A）直角三角形的高只有一条（B）三角形的角平分线、中线、高都在三角形内部

（C）三角形中至少有一条高在形内（D）直角三角形的三条高不能相交于一点

9.下列说法错误的是（）

（A）三角形的三条中线交于一点（B）三角形的三条角平分线交于一点

（C）三角形的三条高交于一点CD）三角形的三条边的垂直平分线交于一点

10.下列说法正确的个数有（）个

（1）三角形的外角大于它的任何一个内角

（2）外角都是钝角的三角形是锐角三角形

（3）三角形的外角和是指三角形所有外角的和

（4）外角中有一个角为90°的三角形是直角三角形

A1B2C3D4

精讲提升

例1.锐角三角形A8C中，ZC=2ZB,则的范围是（）

A.10°<ZB<20°B.20°<ZB<30°

C.30°<ZB<45°D.45°<ZB<60°

试一试：已知：三角形的一边是另一边的两倍，周长为12o求它的最小边的长取值范围。

例2.已知：如图，在A4BC中，ZC=90°,NEAB、乙钻。是AABC的外角，ARBF

分别平分NEAB及/AB。，求NAFB的度数。

试一试：已知：AA3C中，NBAC=NBCA=a,0点在8c的延长线上，ZB=ZD,

4CAD=b,求a、间的关系。

例3.如图，平面上有六个点A、B、C、D、E、尸构成一个封闭折线图形,

求/A+/8+/C+/O+/E+//的度数。

试一试：如图，求出任意一个五角星的顶角/A+NB+NC+NQ+NE的度数?

达标PK

1.（2021•上海市向东中学七年级期末）如果一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长

可能是（）.

A.3B.4C.7D.10

2.（2021•上海市南洋模范初级中学七年级期中）在长度分别为12厘米、10厘米、5厘米、

4厘米的四条线段中，任选三条线段可以组成三角形的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2。21・上海・九年级专题练习）已知,关于x的不等式组2—至少有三个整数解，

且存在以3,。,5为边的三角形，则a的整数解有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

4.（2021・上海徐汇•七年级期中）其中两条边长分别为近和4,第三条边长为整数的三角形

共有个，

5.（2021•上海市第二初级中学七年级期中）如图，加油站A和商店5在马路MV的同一侧，

A到MN的距离大于B到MN的距离，A8=700米.一个行人?在马路MN上行走，当户到

A的距离与尸到8的距离之差最大时，这个差等于米.

6.（2021・上海•华东理工大学附属中学七年级期末）如图，中，ZB=40°,ZC=30°,

点。为边BC上一点，将AAOC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，ZBA£=30°,则/D4C

的度数为.

7.（2021•上海浦东新•七年级期中）不等边三角形的最长边是9,最短边是4,第三边的边长

是奇数，则第三边的长度是

8.（2021•上海民办浦东交中初级中学七年级期末）一个三角形的两边分别是3和7,如果第

三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是—.

9.（2021•上海市西南模范中学七年级期中）如图，E为△A8C的边上一点，。在区4的

延长线上，DE交AC于点F,/8=45。，/C=30。，ZEFC=70%的度数是

10.（2021•上海市文来中学七年级期中）如图，角A等于65度，角B等于75度，将纸片的

一角折叠，使点C落在三角形A8C内，则4+N2的度数.

11.（2021•上海普陀七年级期末）如图，已知AABC中，ZBAC=90,根据下列要求画图

并回答问题

（1）画BC边上的高AO,过点A画直线AE//BC.（不要求写画法和结论）

⑵在（1）的图形中，如果8C=“，点B到直线AC的距离是3,点C到直线48的距离是4,

那么直线AE与间的距离等于.（用含a的代数式表示）

12.（2021•上海市风华初级中学七年级期中）（1）如图1,在AABC中，已知ZA8C和N4CB

的角平分线8。、CE相交于点0,若NA=80。，求NBOC的度数，并说明理由.

A

(2)如图2,在AABC中，ZABC.N4C3的三等分线交于点。।、02,若44=加。，则

NBO2c-NBO、C=°(用含有机的代数式表示，直接写出结果).

13.(2021・上海市风华初级中学七年级期中)在AABC中，G是边8c上一点，D、E分别在

边AB、4c上，DE//BC,M为直线OE上一点，N为直线GD上一点，/DMN=NB.

⑴如图1,当点M在线段OE上，点N在线段DG上时，NBDN与ZMND相等吗,为什么？

(2)当点M在线段即的延长线上，点N在线段GO的延长线上时，请在图2中画出相应的

图形，并直接写出NBZW与的数量关系.

(3)在第(2)题的条件下，直线OG交AC的延长线于点尸，若NA=60。，NMND=75。,则

ZF=°.（直接写结果）

14.（2021・上海金山•七年级期末）如图，已知在AA8C中，NA=20。，ZB=60°,8平分

/ACB交AB于点。，求/CDS的度数.

Q课后作业

15.（2021•上海市第二初级中学七年级期中）下列说法中正确的是（）

A.三角形的三条高交于一点

B.有公共顶点且相等的两个角是对顶角

C.两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等

D.两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直

16.（2021•上海金山七年级期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△A8C的角平分线,

BD与CE交于点、O,如果设/BAC="。（0</<180）,那么NBOE的度数是（）

+-n'C.45°+"°D.180°-”

22

17.（2021•上海市建平实验中学七年级期中）已知“、氏c是三角形的边长，那么代数式

的值是（）

A.小于零B.等于零C.大于零D.大小不确定

18.（2021・上海普陀•七年级期末）如图，AB//CD,ZA=56,NC=27,那么NE=

19.（2021.上海市南洋模范初级中学七年级期中）如图，AB//CD,ZA=30°,NC=50。,

则NE=______度.

20.（2021•上海市向东中学七年级期末）如图，在ABOE中，Z£=90°,AB\\CD,NABE

=22°,则/EDC=.

21.（2021.上海市民办文绮中学七年级期中）已知梯形A8CO的面积是12,AD//BC,且

3c=2AD,点E为8。的中点，则△3EC的面积为.

22.（2021•上海杨浦•七年级期末）如图，在AABC中，A8=AC,NBAC=40。，点。是边A8

上一点，将△BCO沿直线CD翻折，使点8落在点E处，如果ED〃BC,那么ZA8等于

度.

23.（2021.上海市川沙中学南校七年级期末）如图，直线a〃江在RtAABC中，点C在直

线a上，若/1=56。，/2=29。，则NA的度数为度.

24.（2021•上海市西南模范中学七年级期中）在△ABC中，如果乙4=1=：/C,那么/A,

23

NB,NC分别等于.

25.（2021.上海徐汇•七年级期中）如图，△ABC中，ZfiAC=60°,AD平分NBAC,点E在

AB上，EG//AD,EFLAD,垂足为F.

（1）求/I和/2的度数.

⑵联结OE,若SAADE=S榛形EFDG,猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由.

26.（2021・上海民办建平远翔学校七年级期末）如图，已知NBAC=7O。，。为△ABC的边

BC上的一点，且NC4Z）=NC,Z4DB=6O°.求的度数.

BD

27.（2021•上海市第二初级中学七年级期中）折叠三角形纸片ABC,使点A落在边上的

点尸，且折痕£>E〃8C.若ZB=5O°,求ZBZW的度数，并说明理由.

28.（2021・上海市风华初级中学七年级期末）中，ZA、DB、NC的外角的度数之比

是2:3:4,求NA的度数.

第12讲三角形的有关概念和内角和

学习目标

i.理解三角形的有关概念及三角形的分类，体会分类思想；

2.理解三角形内角和定理的是如何推导出来的，能够熟练的运用三角形内角和定理解决一

些常见的计算问题；

3.灵活运用三角形的内角和性质及三角形的外角的性质进行简单的几何推理.

互动探索

（以提问的形式回顾）

i.三角形的分类：

按角分类：锐角三角形（三个内角都是锐角的三角形）

直角三角形（有一个内角是直角的三角形）

钝角三角形（有一个内角是钝角的三角形）

按边分类：不等边三角形（三边互不相等的三角形）

等腰三角形（有两边相等的三角形）

2.三角形的主要性质：

（1）三角形的任何两边之和第三边，任何两边之差第三边；

（2）三角形的内角之和等于；

（3）三角形的一个外角等于和它;

三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角。

（4）三角形的外角和等于。

（1）大于，小于；（2）180°；（3）不相邻的两个内角和，大于；（4）360°

小练习：

1.△ABC中，如果+那么这个三角形是______________三角形；

2.在A4BB，已知N8=35。，ZC=55°,则此三角形是_____三角形。

3.在A4BC中，已知NA：ZB：ZC=1：2：3,则最大的一个角度数是度。

4.如果等腰三角形两边长分别为3,7,那么三角形的周长是:

5.△ABC中，AB=9,BC=4,那么AC的取值范围是；

6.等腰三角形周长为16,且边长都为整数，则能构成不同形状的三角形共有（）

(A)I个(8)2个(C)3个3)4个

7.一个三角形的两边长分别为3和8,第三边的长为奇数，那么第三边的长为（）

（A）3或5（B）5或7(C)7或9(O)9或11

8.下列说法正确的是（）

（A）直角三角形的高只有一条（8）三角形的角平分线、中线、高都在三角形内部

（C）三角形中至少有一条高在形内（。）直角三角形的三条高不能相交于一点

9.下列说法错误的是（）

（A）三角形的三条中线交于一点（8）三角形的三条角平分线交于一点

（C）三角形的三条高交于一点（£»）三角形的三条边的垂直平分线交于一点

10.下列说法正确的个数有（）个

（1）三角形的外角大于它的任何一个内角

（2）外角都是钝角的三角形是锐角三角形

（3）三角形的外角和是指三角形所有外角的和

（4）外角中有一个角为90°的三角形是直角三角形

A1B2C3D4

参考答案：1、直角：2、直角；3、90；4、17；5、5<AC<13；6、C；7、C；

8、C；9、C；10、B

“精讲提升

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1.锐角三角形ABC中，ZC=2ZB,则N8的范围是（）

A.10°<ZB<20°B.20°<ZB<30°

C.30°<ZB<45°D.45°<ZB<60°

解析：因为AABC为锐角三角形，所以0°<N3<90°

又NC=2/8,.•.0°<2NB<9()°

.1.0°<ZB<45°

又；N4为锐角，,NA=180°-(NB+NC)=180-3ZC为锐角

.'.0<180-3Zfi<90

二30</3<60,

综上.♦.300<NB<45°,故选择C

试一试：已知：三角形的一边是另一边的两倍，周长为12。求它的最小边的长取值范围。

分析：首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以

证明。

解：如图，设A4BC的三边为“、b、c,其中a=2c,

\-a-c<b<a+c,a-2c

:.c<b<3c

因此，C,是最小边，h^n-a-c=n-3c

所以：c<12-3c<3c,

解不等式得，2<C<3

例2.己知：如图，在A4BC中，NC=90°,NEAB、。是AABC的外角，A尸、BF

分别平分/E4B及/ABO,求尸8的度数。

F

E

A

C

解：,：ZEAB^ZABC+ZC

ZABD^ZCAB+ZC

NA8C+NC+NCA8=180°,ZC=90°

/EAB+/ABD=ZABC+ZC+ZCAB+ZC=180。+90。=270°

：AF、BF分别平分NE45及NA8D

/./FAB+ZFBA=g(/EAB+ZABD)=；x270°=135°

在AABb中，ZAFB=180°-(ZFAB+ZFBA)=45°

试一试：已知：A46C中，NBAC=NBCA=a,。点在BC的延长线上，ZB=ZD,

NCAD=b，求。、匕间的关系。

解析：

a=/D+b

NB=/D=a-b

NB+ZBCA+ABAC=180n,ZBCA=ZBAC=a

3a-/?=18O°

例3.如图，平面上有六个点A、B、C、。、E、F构成一个封闭折线图形,

求/A+/8+/C+/O+/E+/F的度数。

参考答案：360°

试一试：如图，求出任意一个五角星的顶角/4+/B+/C+/O+/E的度数?

参考答案:180°

I.（2021.上海市向东中学七年级期末）如果一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长

可能是（）.

A.3B.4C.7D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形三边之间的关系即可判定.

【详解】

解：设第三边长为X,则4<x<10,所以选项中符合条件的整数只有7.

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形三边关系，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三

边.

2.（2021•上海市南洋模范初级中学七年级期中）在长度分别为12厘米、10厘米、5厘米、

4厘米的四条线段中，任选三条线段可以组成三角形的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】

从4条线段里任取3条线段组合，分4种情况讨论，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍

去即可.

【详解】

根据两边之和大于第三边才能组成三角形，可知能组成两个三角形，分别为：12厘米，10

厘米，5厘米；12厘米，10厘米，4厘米.

故选：B

【点睛】

本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键.

fx—2a<0

3.（2021・上海•九年级专题练习）已知，关于X的不等式组.，，至少有三个整数解，

[2X-1..7

且存在以3,为边的三角形，则a的整数解有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】B

【解析】

【分析】

依据不等式组至少有三个整数解，即可得到”>3,再根据存在以3,a

，5为边的三角形，可得2<“<8,进而得出〃的取值范围是3<“<8,即可得到〃的整数

解有4个.

【详解】

卜-2a<0①

[x—L：②

解不等式①，可得x<2a,

解不等式②，可得后4,

•.•不等式组至少有三个整数解，

又•.•存在以3,&5为边的三角形，

：.2<a<8,

->a的取值范围是3<a<8,

的整数解有4、5、6、7共4个，

故选：B.

【点睛】

此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵

循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

4.（2021・上海徐汇・七年级期中）其中两条边长分别为4和4,第三条边长为整数的三角形

共有个，

【答案】5

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三条边长为整数，即可求解.

【详解】

解：设第三条边长为x

•••三角形的两条边长分别为近和4,

A4->/7<x<4+>/7

•••第三条边长为整数，

.'.A=2或3或4或5或6.

.••第三条边长为整数的三角形共有5个.

故答案为：5.

【点睛】

此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.也考

查了无理数的估算，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.

5.（2021•上海市第二初级中学七年级期中）如图，加油站A和商店8在马路的同一侧，

A到的距离大于8到的距离，4?=700米.一个行人户在马路上行走，当户到

A的距离与尸到B的距离之差最大时，这个差等于米.

MPN

【答案】700

【解析】

【分析】

当A、B、P构成三角形时，吩与8尸的差小于第三边A3,所以A、B、P在同一直线

上时，A尸与8P的差最大，算出这个最大值即可.

【详解】

当A、5、尸三点不在同•直线上时，此时三点构成三角形.

•两边”与8P的差小于第三边AB,

：.A,B、P在同一直线上，尸到A的距离与尸到B的距离之差最大，

:此时，PA-PB=AB

・当P到A的距离与尸到B的距离之差最大时，这个差等于700米

故答案为:700.

【点睛】

本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题.解题关键是弄清楚当三点共线时

距离之差最大.

6.（2021.上海•华东理工大学附属中学七年级期末）如图，AABC中，N8=40。，NC=30。，

点。为边BC上一点，将AADC沿直线AE＞折叠后，点C落到点E处，NBAE=3O°,则ND4C

的度数为.

A

【答案】40°##40度

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理，可得的C=110。，可得NE4C=8O。，再根据折叠的性质，即可

求得

【详解】

解：V^ABC'V，ZB=40°,ZC=30°,

ZfiAC=1800-ZB-ZC=180o-40o-30o=110°,

ZBAE=30°,

ZEAC=ABAC-NBAE=110°-30°=80°,

由折叠性质可知ND4C=NEAD=|zE4C=40°.

故答案为：40°.

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，根据折叠的性质，得到

/D4C=/E4£»=；NE4C=是解决本题的关键.

7.（2021.上海浦东新.七年级期中）不等边三角形的最长边是9,最短边是4,第三边的边长

是奇数，则第三边的长度是-.

【答案】7

【解析】

【分析】

由题意根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而由不等边三角形和奇数的定义确

定第三边的长度.

【详解】

解：设第三边长是c,则9-4<c<9+4,

即5<c<13,

又•.•第三边的长是奇数，不等边三角形的最长边为9,最短边为4,

故答案为：7.

【点睛】

本题考查三角形的三边关系，注意掌握已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于己知的

两边的差，而小于两边的和.

8.（2021•上海民办浦东交中初级中学七年级期末）一个三角形的两边分别是3和7,如果第

三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是一.

【答案】9

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系”第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围：

再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值.

【详解】

解：设第三边为m

根据三角形的三边关系，得：7-3VaV3+7,

即4<a<10,

••力为整数，

•••”的最大值为9.

故答案为：9.

【点睛】

此题考查了三角形的三边关系.注意第三边是整数的已知条件.

9.（2021•上海市西南模范中学七年级期中）如图，E为AABC的边BC上一点，。在BA的

延长线上，DE交AC于点、F,/8=45。，/C=30。，NEFC=70。,的度数是

【答案】35。

【解析】

【分析】

根据三角形的外角性质可得ND4尸=N8+NC,根据对顶角相等可得NAFD=NEFC,进而

根据三角形内角和定理可得ND=180。-ND4F-NA产。，即可求得NZ）的度数.

【详解】

ZDAF=N8+NC=75°,4AFD=NEFC=70°,

.­.ZD=180°-ZDAF-ZAFD=\80°-75°-70°=35°,

故答案为：35。

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，掌握以上知识是解题的关

键.

10.（2021•上海市文来中学七年级期中）如图，角A等于65度，角B等于75度，将纸片的

一角折叠，使点C落在三角形A8C内，则N1+N2的度数.

【答案】80。

【解析】

【分析】

利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得.

【详解】

解：NA+NB+NC=180°,NC=180°-/A-NB=180°-65°-75°=40°①，

ZC+ZCED+ZCDE=180°,ZCED+ZCDE=180°-ZC=l80°-40°=140°②,

ZB+ZA+ZCED+NCDE+Z1+/2=360°③，

把①②分别代入③得75。+65。+140。+N1+N2=360。，

解得Nl+N2=80。

故填80°.

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理及四边形的内角和为360。，是中学阶段的基本题目.

11.（2021•上海普陀•七年级期末）如图,已知中,ABAC=90,根据下列要求画图

并回答问题

（1）画BC边上的高4D,过点A画直线AE//8C.（不要求写画法和结论）

（2）在（1）的图形中，如果3C=a,点B到直线AC的距离是3,点C到直线A8的距离是4,

那么直线AE与8c间的距离等于.（用含a的代数式表示）

【答案】（D画图见解析：

a

【解析】

【分析】

（1）根据题意画出图形即可；

（2）根据等面积法求解即可.

（1）

按照题意画图如下图所示：

BDC

⑵

AABC中/3AC=90。，即AB_LAC,

又点8到直线AC的距离是3,即AB=3；

点C到直线48的距离是4,即AC=4

又AABC的面积ABx4C+2=8C*A£>+2,BC=a

12

所以49=二，

a

因为A£//BC,ADLBC

12

所以直线AE与3c之间的距离等于亍

12

故答案为：-

a

【点睛】

本题考查了三角形的高，点到直线的距离，等面积法求三角形的高，掌握三角形的高的意义

是解题的关键.

12.（2021・上海市风华初级中学七年级期中）（1）如图1,在中，已知ZABC和ZACB

的角平分线8。、CE相交于点O,若NA=80。，求NBOC的度数，并说明理由.

（2）如图2,在AABC中，ZABC.ZACB的三等分线交于点。।、02,若/4=济，则

ZBO2C-ZBO,C=。（用含有机的代数式表示，直接写出结果）.

【解析】

【分析】

(1)先根据三角形内角和定理算出N/WC+NAGS=100。，根据角平分线的定义得出

NCBO+NBCO=50。,根据三角形内角和定理算出N80C的度数即可；

(2)先根据NA=m。，结合三角形内角和定理，用m表示出NBQC和NB&C,算出

NBOQ-NBO。斗180-m)。即可.

【详解】

(1):在AABC中，ZA=80°,

:.ZABC+ZACB=100°,

：8。平分/48(7,CE平分ZACB,

NCBO+ZBCO=g(ZABC+NACB)=50°,

在ABOC中，ZBOC=180°-ZCBO-NBCO=180°-50°=130°,

故NBOC=130。.

(2)在“ABC中，'：ZA=m0,

：.ZABC+ZACB=(180-/n)°,

•••BO-80?为NA8C的三等分线，CO,,CO?为ZACB的三等分线，

22

/.NCBO\+NBCOi=-(ZABC+ZACB)=-(180-/n)°,

NCBQ+NBCO?=；(NABC+NAC8)=g(180-,〃)。，

2

/.NBOC=l80。-ZCBO「NBCq=180。-§(180-⑼°,

NBO2c=180°-ZCBO,-ZBCO2=180-g(180°°,

I21

000

ZB02C-ZBOlC=180°--(180-/M)-180+-(180-w)°=-(180-m),

故NBQC-NBOC=g(180-〃?)。.

【点睛】

本题主要考查了三角形内角和定理，根据角的等分线的性质结合三角形内角和定理找出规律

是解决本题的关键.

13.(2021・上海市风华初级中学七年级期中)在AABC中，G是边BC上一点，D、E分别在

边AB、4c上，DE//BC,朋为直线DE上一点，N为直线GO上一点，4DMN=4B.

(1)如图1,当点M在线段OE上，点N在线段OG上时，NBON与NMNO相等吗，为什么？

(2)当点M在线段EO的延长线上，点N在线段GO的延长线上时，请在图2中画出相应的

图形，并直接写出NBZW与的数量关系.

⑶在第(2)题的条件下，直线OG交AC的延长线于点/，若NA=60。，ZMND=15°,则

NF=°,(直接写结果)

【答案】(1)相等，证明见解析

(2)ABDN+ZMND=180°

⑶15

【解析】

【分析】

(1)根据可得NB=NA£>E,从而得到NAOE=NZWN,进而得到AB〃MN,即

可求解；

(2)根据。E〃8C,可得NB=N40E,从而得到NAD£=/OWN,进而得到即

可求解；

(3)由(2)可得：AB//MN,从而得到N/W?V£)=NA£W=75。，再由三角形外角的性质可

得ZA+NF=ZADN=75。,即可求解.

(1)

解：相等，理由如下：

,JDE//BC,

ZB=ZADE,

,：ZDMN=NB,

,ZADE=NDMN,

：.AB//MNf

：.ZBDN=ZMND.

(2)

解：画图如下，

，ZB=ZADE,

•:/DMN=/B,

:•ZADE=ADMN,

:・AB〃MN,

：.NBDN+/MND=180°,

故答案为：ZJ2N+ZMM9=18()。.

(3)

解：如图，

由(2)得：AB//MN,

：.4MND=ZADN=Q5。,

：.ZA+ZF=ZADN=75°,

•/ZA=60°,

・•・ZF=15°.

故答案是：15.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和判定，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定定

理，三角形的外角性质定理是解题的关键.

14.（2021•上海金山•七年级期末）如图，已知在AA8C中，/A=20。，NB=60。,CD平分

/ACB交A8于点D,求/CCB的度数.

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理求出NC的度数，根据角平分线的性质求出NAC。的度数，再根据

三角形的外角性质求得答案.

【详解】

解：在AABC中，ZA=20°,ZB=60°,

ZACS=180°-ZA-ZB=1（X）°,

；C£）平分乙4C8,

ZACD=-ZACB=50°,

2

，NCDB=ZACD+ZACB=70°.

【点睛】

此题考查了三角形的内角和定理，角平分线定理，外角定理，熟记各定理并熟练应用是解题

的关键.

课后作业

15.（2021•上海市第二初级中学七年级期中）下列说法中正确的是（）

A.三角形的三条高交于一点

B.有公共顶点且相等的两个角是对顶角

C.两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等

D.两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直

【答案】D

【解析】

【分析】

分别对每个选项进行分析，即可解题.

【详解】

A选项：三角形的三条高所在直线交于一点，所以本选项不符合题意，故A错误；

B选项：有公共顶点且两边互为反向延长线两个角是对顶角，所以本选项不符合题意，故B

错误；

C选项：两条平行直线被第三条直线所截，所得的内错角相等，所以本选项不符合题意，故

C错误；

D选项：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直，本选项符合题

意，故D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角形的高线所在直线交于一点，时顶角的定义，平行线内错角相等、同旁内角

互补的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键.

16.（2021•上海金山七年级期末）如图，己知△A8C中，8£>、CE分别是△ABC的角平分线，

与CE交于点O,如果设NBAC="。（0<〃<180）,那么NBOE的度数是（）

A

A.90°--n°B.90°+-n°C.45°+"°D.180°-〃°

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根据BD、CE分别是△ABC的角平分线和三角形的外角，得至IJNB0E=g(NABC+NAC8),

再利用三角形的内角和，得至l」NABC+NACB=180°—NBAC=180°—〃°,代入数据即可求解.

【详解】

解：CE分别是△ABC的角平分线，

AZDBC=-ZABC,NECB=-ZACB,

22

，NBOE=ZDBC+NECB

=-ZABC+-ZACB

22

=；(NA8C+NACB),

ZABC+ZACB=\8O°-ABAC=180°—〃°,

/.ZBOE=；(/ABC+ZACB)=；x(180°-〃。)=90°一；.

故答案选：A.

【点睛】

本题考查三角形的内角和定理和外角的性质.涉及角平分线的性质.三角形的内角和定理:

三角形的内角和等于180。.三角形的•个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

17.(2021•上海市建平实验中学七年级期中)已知小尻c是三角形的边长，那么代数式

(a-4-'?的值是()

A.小于零B.等于零C.大于零D.大小不确定

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角形三边的关系可以得至Ua+c>b,a<b+c,HP<z+c-fe>0,a-b-c<0,再根据

(a-/?)2-c2=(a-b+c)(a-6-c)求解即可.

【详解】

解：•.%、b、c是三角形的边长,

a+c>b,a<b+c,

•・。+。―>0,a—h—c<0,

(a-ft)2-c2=(a-Z»+c)(a-Z>-c)<0>

故选A.

【点睛】

本题主要考查了三角形三边的关系，平方差公式，解题的关键在于能熟练掌握相关知识进行

求解.

18.(2021•上海普陀•七年级期末)如图，AB//CD,NA=56,ZC=27,那么NE=

【答案】29

【解析】

【分析】

由平行线的性质可得HE=NA，NDFE是ACE/的外角，根据外角的性质即可得到答案.

【详解】

解：VAB//CD,

VNC=27°,

/•NE=ZDFE-ZA=56-27=29.

故答案为：29

【点睛】

本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，准确把握各个角之间的关系是解题的关键.

19.（2021.上海市南洋模范初级中学七年级期中）如图，AB//CD,ZA=30°,NC=50。，

则NE=度.

【答案】20

【解析】

【分析】

由48〃。。得到/£7为=/。=50。，再利用三角形的外角定理可以求出ZE.

【详解】

AB//CD,

：.ZC=ZEFB,

；/C=50。，

ZEFB=50°,

又：/£尸8=/4+/£,而/4=30。，

.•./E=/EF8-/A=50°-30°=20°,

故答案为：20.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理，利用外角定理得到NE=NEFB—NA是解

题关键.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

20.（2021•上海市向东中学七年级期末）如图，在ABOE中，Z£=90°,AB\\CD,ZABE

=22°,则NEOC=.

AB

E

【答案】68°##68度

【解析】

【分析】

根据直角三角形两锐角互余可得/EBQ+NEQB=90。，再根据两直线平行，同旁内角互补列

式计算即可得解.

【详解】

解：，/Z£=90°,

NEBD+NEDB=9G0,

AB//CD,

：.NA8Q+NCO8=180°,

ZEDC=180°-（ZEBD+ZEDB）-NABE=180o-90°-22o=68°

故答案为:68°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关

键.

21.（2021•上海市民办文绮中学七年级期中）已知梯形A2CZ）的面积是12,AD//BC,且

3c=2AD,点E为80的中点，则△3EC的面积为.

【答案】4

【解析】

【分析】

利用平行线间的距离处处相等，结合3c=2A3得到S△..ngs4e，再由

S四边形ABC。=S&AKD+SNBCD=12解题即可.

【详解】

解：VAD//BC.BC=2AD,

,•S^ABD=/S&BCD•

又♦S四边形AfiCD=S&ABD+S&BCD=12,

,,S^BCD=8

,:BE=DE,

故答案为：4.

【点睛】

本题考查平行线间的距离，涉及三角形面积等知识,是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

22.（2021•上海杨浦•七年级期末）如图，在AABC中，AB=AC,Nfi4C=40°,点。是边A8

上一点，将△38沿直线C。翻折，使点B落在点E处，如果即〃3C,那么NAC£）等于

【答案】15

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180。求出NB=NACB=70。，由折叠可得

ZBDC=ZEDC,由DE〃AC可得NEDC=NBCD,在等腰三角形BDC中求出/BCD的度

数，根据角度关系可求NACD的度数.

【详解】

解：如图,

B

AB=AC,ZBAC=40

:.ZB=ZACB=10°,

由折叠可知=ZEDC,

-.■DE//BC,

2BCD=ZEDC=ABDC,

•.•ZB=7()。，

:.NBCD=NBDC=55。,

:.ZACD=ZACB-/BCD=70°-55°=15°.

故答案为：15

【点睛】

本题考查了折叠问题，涉及到平行线的性质和等腰三角形的性质，熟练运用折叠的性质是解

决本题的关键.

23.(2021•上海市川沙中学南校七年级期末)如图，直线a〃乩在RsA8C中，点C在直

线a上，若Nl=56。，Z2=29°,则/A的度数为度.

【答案】27

【解析】

【分析】

如图，Z3=Z1,由/3=/2+乙4计算求解即可.

【详解】

解：如图

'：a//b,Zl=56°

Z3=Z1=56°

VZ3=Z2+ZA,Z2=29°

/.ZA=Z3-Z2=56°-29°=27°

故答案为：27.

【点睛】

本题考查了平行线性质中的同位角，三角形的外角等知识.解题的关键在于正确的表示角的

数量关系.

24.（2021.上海市西南模范中学七