优选课件：人教B版高中数学选择性必修第一册233直线 与圆的位置关系

2.3.3

直线与圆的位置关系核心素养

1.能熟练地解二元方程组,并能运用解方程或方程组来解决直线与圆的位置关系问题.(数学抽象)2.能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系.(逻辑推理)3.掌握求圆的切线方程的方法,并会求与圆有关的最值问题.(数学运算,直观想象)思维脉络激趣诱思知识点拨如图是一个休闲娱乐广场,广场的中心是一块圆形区域的场地,旁边被绿化植物包围,小路贯穿其中,旁边的马路也与广场相望.把圆形区域看成圆面,道路看成直线,人看成点.1.如果一个小孩在广场里玩,他也恰好处在一条小路上,该小路穿越中心圆形区域,你觉得这个小孩在圆形区域内吗?2.如果一个小孩在圆形区域里玩,他也恰好处在一条小路上,该小路穿过圆形区域吗?3.如果一个人在圆形区域里玩(不在圆心),假设此人的坐标为(a,b),圆形区域的方程为x2+y2≤r2,另有一条小路对应的直线方程为ax+by=r2,该小路与圆形区域有何位置关系?激趣诱思知识点拨直线与圆的位置关系直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到直线的距离是d,位置关系几何特征代数特征(方程联立)

公共点个数相离d>r无实数解(Δ<0)0相切d=r一组实数解(Δ=0)1相交d<r两组实数解(Δ>0)2激趣诱思知识点拨微练习直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是(

)A.相切

B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离∴直线与圆x2+y2=1相交,又(0,0)不在y=x+1上,∴直线不过圆心.答案:B激趣诱思知识点拨微思考(1)过圆上一点有几条切线?过圆外一点有几条切线?若点(x0,y0)是圆x2+y2=r2上的点,你能得出过点(x0,y0)的圆的切线方程吗?提示:过圆上一点一定有1条切线,过圆外一点一定有2条切线.过圆上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆C内一点P(不同于圆心)的所有弦中,何时弦最长?何时弦最短?提示:过圆内一点P的所有弦中,当弦经过圆心C时弦最长,等于直径的长;当弦与过点P的直径垂直时弦最短.探究一探究二探究三素养形成当堂检测直线与圆的位置关系的判断例1求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:①相交;②相切;③相离.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(1)(多选)已知ab≠0,O为坐标原点,点P(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,过点P作直线l⊥OP,直线m的方程是ax+by=r2,则下列结论正确的是(

)A.m∥l B.m⊥lC.m与圆相离 D.m与圆相交答案:AD探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.探究一探究二探究三素养形成当堂检测求切线方程例2(1)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为(

)答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求切线的方程.分析先明确点M(2,4)与圆的关系,再利用d=r列式来刻画相切这一条件.本题若使用点斜式设切线方程,一定要检验斜率不存在的情况.解:由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故点M在圆外.当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,所以切线方程为24x-7y-20=0.又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

求圆的切线方程的三种方法(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出切线方程.(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出未知量,若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切线的斜率不存在,可直接写出切线方程.(3)设切点坐标:先利用切线的性质解出切点坐标,再利用直线的两点式写出切线方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究

(1)本例(2)中,若所给点M的坐标是(1,-4),圆的方程不变,求切线方程.(2)本例(2)条件不变,试求切线长.解:(1)由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故点(1,-4)在圆上,又圆心为(1,-3),所以切线斜率为0,所以切线方程为y=-4,即y+4=0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(1)(多选)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是(

)A.1 B.2 C.3 D.4(2)过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程为

.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)P(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,∴过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有两条.当斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,当斜率不存在时,切线方程为x=2.答案:(1)AB

(2)x=2或y=3探究一探究二探究三素养形成当堂检测与圆有关的最值问题

探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

1.与圆有关的最值问题,可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置,再进行计算.有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心,有时注意考虑表达式中字母的几何意义,如两点间距离公式、斜率公式、在y轴上的截距等.2.对于本题而言,解决的关键是理解m和b的几何意义,同时要借助分界线探求参数的取值范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的距离的最小值为(

)答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测思想方法——用代数法和几何法研究弦长问题案例

1过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦长为

.

解析:设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦,探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)求圆C的方程;(2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长;(3)设过点(-1,0)的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测(3)存在直线l满足题意.理由如下,设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意,知OM⊥ON,且OM,ON

的斜率均存在,②当直线l

的斜率存在时,可设直线l

的方程为y=k(x+1),代入(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.若涉及直线和圆相交的问题,除了借助平面几何知识进行分析,还经常利用联立方程,用解方程组的思路来讨论有关弦长和垂直等问题.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9的位置关系为(

)A.相切 B.相交C.相离 D.相离或相切答案:C2.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(

)A.相离 B.相切C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心解析:直线y=kx+1恒过定点(0,1),由定点(0,1)在圆x2+y2=2内,知直线y=kx+1与圆x2+y2=2一定相交.又直线y=kx+1不过圆心(0,0),则位置关系是相交但直线不过圆心,故选C.答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是(

)A.[-3,-1] B.[-1,3]C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.已知直线l:mx+y-3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,则|CD|=

.

解析:圆(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,∵|AB|=4,∴直线l:mx+y-3=0过圆心(1,2),∴m+2-3=0,∴m=1,∴直线l:x+y-3=0,倾斜角为135°,∵过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,探究一探究二