dvt10小波变换与图像压缩

第10讲小波变换与图像压缩WaveletTransformationAndImageCompression

门爱东教授

2前言：Heisenberg测不准原理不定原理（Heisenberg测不准原理，Heisenberg-Gabor不定原理）：

给定信号x(t)，若，则：当且仅当x(t)为高斯信号，即时等号成立，式中：显然，这是方差的标准定义。通常定义2Δt、2ΔΩ分别是信号的时宽和带宽。定义ΔtΔΩ为信号的时宽－带宽积。3测不准原理是信号处理中的一个重要的基本定理，不可能违背；测不准原理给出了信号时宽-带宽之间的制约关系：对于给定的信号，其时带与带宽的乘积为一个常数。当信号的时宽减少时，其带宽将相应增加，当时宽减到无穷小时，带宽将变成无穷大，如时域的δ函数；反之亦然，如频域Ω处的δ函数，时域为ejΩt=cosΩt+jsinΩt,其在时域的持续时间是-∞～+∞。这就是说，信号的时宽与带宽不可能同时趋于无限小，这一基本关系即是我们将要讨论的时间分辨率和频率分辨率的制约关系。在这一基本关系的制约下，人们在竭力探索既能得到好的时间分辨率（或窄的时宽）又能得到好的频率分辨率（或窄的带宽）的信号分析方法。若信号x(t)的持续时间是有限的，我们称其为是“紧支撑”（CompactSupport）的，其时间的持续区间（如t=t1~t2），称为“支撑范围”；对频率信号，也使用类似的称呼。前言：Heisenberg测不准原理4前言：非平稳信号非平稳的定义：两类说法，出发点不同，无大碍。非平稳随机信号在平稳和非平稳随机信号定义中，前者是指随机信号的一阶和二阶统计特性（均值、方差）不随时间变换，自相关函数与观察的时间起点无关。若信号是平稳的，则满足维纳-辛钦关系，即功率谱密度与自相关函数互为傅立叶变换：非平稳信号频率随时间变化的信号，称为时变信号，或非平稳信号频率不随时间变化的时不变信号，称为平稳信号注意与随机信号中平稳/非平稳定义的区别，说一个信号是平稳信号，要指明是频率不随时间变化，还是平稳随机信号。若信号是非平稳的，则不满足上述关系。5传统的信号分析建立在傅立叶变换的基础之上，使用的是一种全局的变换，因此，无法表达信号的时频局域性质。为了分析和处理非平稳信号，提出了一系列新的信号分析理论，如短时傅立叶变换、小波变换等。小波变换替代短时傅立叶变换，正日益成为主流的数字信号处理方法。

变换编码在图像压缩编码的应用中，有用离散小波变换(DWT)代替离散余弦变换（DCT）的趋势。前言：变换编码6小波变换具有多分辨率分析的特点。在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。是一种窗口大小固定不变，但形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。当某个尺度及时移的小波与信号的相似性大时，变换系数就大，相似性小时，变换系数就小。前言：小波变换7内容提要Outline傅里叶变换的能力及局限性短时傅里叶变换（STFT）连续小波变换CWT及离散小波变换DWT分段近似多分辨率分析（MRA）信号编码离散小波变换系数的计算基于小波变换的压缩编码JPEG2000标准8傅立叶变换的优点多数的信号处理应用中，傅立叶变换仍然是强有力的工具。直观性简洁完美的数学特性线性时不变系统的特征方程具有高效的快速实现算法FFT9傅立叶变换的局限性1807年，傅立叶在论文《OnthePropagationofHeatinSolidBodies》中提出了周期信号傅立叶级数的概念，1822年，傅立叶又在著作《Théorieanalytiquedelachaleurin1822》中提出了非周期信号分解的概念，即傅立叶变换。傅立叶变换不但是重要的数学分支，也是信号分析与信号处理的重要工具。在傅立叶变换应用中，人们早就发现了其不足[Gabor，TheoryofCommunication,IEEE,1946]，体现在三个方面：傅立叶变换在时间和频率定位功能上的局限性；傅立叶变换对于非平稳信号的局限性；傅立叶变换在分辨率上的局限性10傅立叶变换的局限性傅立叶变换的局限性来源于自身的定义：其中，时间变量在积分以后就消失了。傅立叶变换通过在整个时间轴上从负无穷到正无穷积分，给出信号的全局特征。这一点反映在基函数上，它的波形持续在整个时间轴上。11例8.1：设信号x(n)由三个不同频率的正弦所组成:-101Xa(n)Signalintime|X(ejw)|LinearscaleEnergyspectraldensity00.10.20.30.4xa(n)时频分布的二维表示50100150200250300350Time[s]Frequency[π]501001502002503003500xa(n)时频分布的三维表示傅立叶变换的局限性12傅立叶变换的局限性理论上，傅立叶变换可以写成如下的内积形式：表示信号和的内积若x,y是连续的，则内积若x,y是离散的，则内积

信号x(t)的傅立叶变换等效于x(t)和基函数ejΩt

作内积:基函数ejΩt在频域是位于Ω处的δ函数，因此，当用傅立叶变换来分析信号的频域行为时，它具有最好的频率分辨率。但是，ejΩt

在时域对应的是正弦函数（ejΩt=cosΩt+sinΩt），其在时域的持续时间是(-∞,+∞)，因此，在时域有着最坏的时间分辨率。对傅立叶反变换，情况正好相反。13傅立叶变换的局限性实际中，将x(t)乘以矩形窗进行截短，一个宽度为无穷的矩形窗的傅立叶变换为δ函数，反之亦然。当矩形窗为有限宽时，其傅立叶变换为一Sinc函数，即矩形窗宽度和其频谱主瓣宽度（-π/T,+π/T）成反比。若信号在时域取得越短，即保持高的时间分辨率，那么其频谱的主瓣变宽，必然导致频域的频率分辨率下降。这体现了测不准原理的制约关系，也体现了傅立叶变换中时间和频率分辨率所固有的矛盾。-TT0Atx(t)ΩX(Ω)02AT14傅里叶变换图8.3中的乐谱就能够用音符有效地表示乐曲中的瞬时频率，五线谱上的一个音符既表示音乐的音调（频率），又表示了它弹奏的时间位置。概念上，我们希望能够定义一种理想的分析工具，它能给出信号的瞬时傅立叶变换。图8.4中给出了一个典型的简单正弦波，理想的变换应该可以跟踪该信号中的频率变化。15基函数定义一个合适的基函数集合以捕捉信号的瞬时特性。基函数必须包含两个参数——时间τ和频率F

——这样就能够确定瞬时频谱。图8.5是一个典型的基函数：频率为F、波形持续时间窗的中心位于t=τ的正弦波（或者复指数函数）。16基函数的时频变换通常，连续时间信号可以用定义在时间和频率上的基函数离散地或连续地展开：与傅立叶变换类似，右边的表达式定义正变换，左边的表达定义反变换。基信号和它的对偶基共同确定一个变换对。图8.6表达了信号和它的时频变换之间的转换关系。基和它的对偶基是正交的。17时频变换

和代表时频变换，是下面讨论的重点。着重讨论三种常用的时频变换：短时傅立叶变换（STFT）、连续小波变换（CWT）及离散小波变换（DWT）。其中，τ和F分别代表连续时间和连续频率。18内容提要Outline傅里叶变换的能力及局限性短时傅里叶变换（STFT）连续小波变换CWT及离散小波变换DWT分段近似多分辨率分析（MRA）信号编码离散小波变换系数的计算基于小波变换的压缩编码JPEG2000标准19DFT的局限性成为寻找新的信号分析和处理的源动力。1932年，Wigner提出了时间-频率联合分布的概念，并将其用于量子物理；1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换和Gaber变换概念，从而开始了非平稳信号时频联合分析的研究；20世纪80年代，提出了滤波器组理论，为信号的子带分解提供了有力工具；20世纪80年代后期，发展起来了小波变换，它不仅扩展了信号时频联合分析的概念，而且在信号的分辨率方面具有对信号特点的适应性。为了更一般地讨论信号的分解问题，人们提出了框架（Frame）理论。…………..短时傅里叶变换20前面所述的例8.1突出了DFT的缺点：DFT不能区分频率特性随时间变化的非平稳信号和频率特性不随时间变化的平稳信号。

确定信号中局部时间τ上的频率特性，最简单的方法是：在时间τ

附近给信号加窗，使得信号的频率特性在每个窗内可以近似视为平稳的，然后再计算它的傅立叶变换。信号的短时傅立叶变换定义为：其中窗函数w(t-τ)的中心位于时间变量τ。注意区分两个时间变量：信号的时间变量t和时频展开信号X(τ,F)的时间变量τ。短时傅里叶变换21将傅立叶变换展开，得到：信号在任何给定时刻附近区域的频率成分由给出。整个过程如图8.7所示。

短时傅里叶变换22设窗口是具有单位能量的实函数，即

由傅立叶变换的性质可知，信号可以以

为基函数集合展开。这个基集是正交的，即基函数相互正交，且具有单位能量。

因此，基和对偶基相等

短时傅里叶变换23由STFT重建信号x(t)表示为：例8.2设具有良好时域局部性的信号，则：

得到幅度谱短时傅里叶变换如图所示，冲激函数的STFT在所有频率上都恒等于移位到时间t0

的窗函数。24例8.3令，则：其中

得到幅度谱

短时傅里叶变换如图所示，复指数函数的STFT在所有时间上都是恒等于窗函数的傅立叶变换。25在前面的两个例子中，如果要确定脉冲何时发生（时间局部化），或者要确定信号中的某个频率（频率局部化），其精度总是有限的。分辨率的损失由窗口w(t)的时域宽度及其傅立叶变换的频域宽度决定。STFTx(τ,F)的意义实际上是用w(τ)沿着t轴滑动，截取一段一段的信号x(τ)，然后对其作傅立叶变换，得到（τ,F)平面上二维函数STFTx(τ,F)。w(τ)的作用是保持时域为有限长（一般称作“有限支撑或紧支撑”），其宽度越小，则时域分辨率越好。使用不同的基函数可得到不同的分辨率效果。短时傅立叶变换STFT是最简单、最直观的时频联合分析，但STFTx(τ,F)中变量τ、F仍是单独取值，它并不是严格意义上的时频联合分析。短时傅里叶变换26可以证明，STFT的基函数eτ,F(t)在时频平面上具有如下的分辨“细胞”：其中心在(τ,F)处，大小为ΔτΔν，不管τ,F取何值（即移到何处），该“细胞”的面积始终保持不变。该面积的大小即是STFT的时频分辨率。短时傅里叶变换STFT时间和频率分辨率的自适应性快变信号对应的是高频信号，快变信号需要好的时间分辨率，以观察其快变部分（如尖脉冲等），即观察的时间宽度要小，由测不准原理（时宽－带宽积）知道，该信号频域的分辨率必定要下降。反之，慢变信号对应低频信号，可以降低时域的分辨率，从而在低频处获得好的频率分辨率。希望时频分析算法能自动适应这一要求，显然STFT的ΔτΔν不随τ,F变化，因而STFT不具备自动调节能力。后面讲的小波变换具备这一能力。27内容提要Outline傅里叶变换的能力及局限性短时傅里叶变换（STFT）连续小波变换CWT及离散小波变换DWT分段近似多分辨率分析（MRA）信号编码离散小波变换系数的计算基于小波变换的压缩编码JPEG2000标准28STFT将信号用基函数展开，基函数是加窗的指数函数。定长窗口限制了时间分辨率和频率分辨率。要解决这个问题，对高频成分用窄时间窗解析，而低频成分用宽时间窗解析。例如令其中参数s大于等于0，决定了窗口的宽度和频率称为尺度。

更一般化，可定义基函数为：s-0.5

因子的作用是使所有的基函数具有相同的能量，即，对于一切和。定义基函数29定义基函数尺度：尺度因子a的作用是把ψ(t)作伸缩。由傅立叶变换的性质可知，若ψ(t)的傅立叶变换是Ψ(Ω)，则ψ(t/s)的傅立叶变换是sΨ(sΩ)。若s>1，则ψ(t/s)表示将ψ(t)在时间轴上展宽，而将Ψ(Ω)在频率轴上压缩;若s<1，ψ(t/s)表示将ψ(t)在时间轴上压缩，将Ψ(jΩ)在频率轴上展开。若把ψ(t)看成一窗函数，ψ(t/s)的宽度将随着s的不同而不同，这也同时影响到频域，即Ψ(sΩ)，由此可得到不同的时域分辨率和频域分辨率。位移：参数τ是沿着时间轴的位移，确定对信号x(t)分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子s和位移τ

联合起来确定了对x(t)分析的中心位置和分析的时间宽度。30尺度eτ,s(t)的尺度s及位移τ对分析范围的控制：(a)基本小波；（b）τ>0，s=1；(c)τ不变，s=2；(d)分析范围。(a)(b)(c)(d)尺度s的物理概念类似于地图上的尺度，小尺度显示细节（高频），大尺度显示宏观特征（低频）。尺度和频率成反比。31因为，所以如果频谱的中心位于F0、带宽为ΔF，则尺度为s的ψ(t/s)的频谱Ψ(sF)中心位于F0/s、带宽为ΔF/s，如图8.14所示。若ψ(t)的时间中心是τ0，时宽是Δτ，则ψ(t/s)的时间中心变为sτ0，时宽变成sΔτ

；ψ(t/s)的时宽－带宽积仍是ΔτΔF，与尺度s无关。这一方面说明小波变换WTx(s,τ)的时频关系也受测不准原理制约，但另一方面也揭示了小波变换的一个重要性质，即恒Q性质。

尺度CWT32恒Q性质小波变换的恒Q性质ψ(t)的Q值：ψ(t/s)的Q值保持不变：不论s为何值(s>0)，ψ(t/s)始终和ψ(t)具有相同的品质因数Q。恒Q性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型变换且被广泛应用的一个重要原因。下图说明了Ψ(Ω)和Ψ(sΩ)的带宽及中心频率随s变化的情况。s=1s=2s=1/2＝带宽/中心频率33时频区间时频区间由上页图，当s变小时，对x(t)的时域观察范围变窄，但对X(Ω)的频率观察范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动。反之，当s变大时，对x(t)的时域观察范围变宽，频域观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动。

在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图：由于恒Q性质，因此在不同尺度下，小波变换的三个时、频分析区间（即三个矩形）的面积保持不变，但提供了一个在时、频平面上长度可调的分析窗口。该分析窗口在高频端的频率分辨率不好（矩形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的s值下，分析窗的面积保持不变，也即时频分辨率可以随分析任务的需要作出调整。34对信号的自适应性基函数对信号的自适应性小波变换可以自动满足客观实际信号的需要信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好，以适应快变成份间隔短的需要；对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。当用较小的s对信号作高频分析时，实际上是用高频小波对信号作时间上的细致观察，当用较大的s对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作时间上概貌观察。小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。35小波变换的容许条件并不是时域的任一函数ψ(t)∈L2(R)都可以充当小波，其可以作为小波的必要条件是其傅里叶变换Ψ(Ω)满足下述容许(存在)条件：要保证积分在F=0是非奇异的，则必须Ψ(0)=0，否则cψ

必趋于无穷（分母Ω=0）；此外可以令Ψ(∞)=0，使基函数具有有限能量，保证收敛性。这两个限制条件表明，小波函数ψ(t)是带通函数；由于Ψ(0)=0，因此必有，ψ(t)的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。上述描绘了小波函数的大致特征，即是一带通函数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时－频定位的角度，希望是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。小波（wavelet）：时域有限长，且是振荡的一类函数。由ψ(t)构成的基函数，其与对偶基是正交的，满足36有了正交基函数集合就可以定义连续小波变换（CWT）和它的逆变换（ICWT）：其中，是基和对偶基。后面将看到在离散时间域中基和对偶基是不同的。值得注意的是，对于尺度s的任意取值，变换都可以写成卷积的形式：

其中，是带通滤波器的冲激响应。

连续小波变换37小波变换将信号从一维的时间轴变换到尺度和时间的二维平面上。s和τ连续取值时，得到连续小波变换（CWT）。显然，连续的小波分解存在很大的冗余度，对s和τ合理的离散化，可以降低冗余度。原始信号可以由的离散形式完全表示。通常，用二进制网格对其抽样，即，，。这样处理的好处是便于计算机的运算处理，可以利用许多的高效算法。其中，m是尺度标号，n是时移标号，因子保证s所有尺度的小波能量相等。这个等式生成小波族中的所有小波基函数，并且生成的小波基函数之间相互独立，因而DWT比CWT的冗余度低，编码效率高。注意：时间t仍是连续的！离散小波变换38得到离散小波变换(DWT)和它的逆变换(IDWT)：

式中，称为小波分解的系数。

问题：s、τ、t都是离散值的小波变换，以及快速算法在实际中非常必要，如何做？Mayer和Mallat提出多分辨率理论在方面方面起到了关键作用。多分辨率分解是连续小波变换和离散小波变换之间的联系纽带，并且为设计满足要求特性的正交小波提供了一种系统的方法。多分辨率理论和多取样率中的滤波器组、图像中的金字塔编码等结合起来，构成了小波分析的重要工具。

离散小波变换39内容提要Outline傅里叶变换的能力及局限性短时傅里叶变换（STFT）连续小波变换CWT及离散小波变换DWT分段近似多分辨率分析（MRA）信号编码离散小波变换系数的计算基于小波变换的压缩编码JPEG2000标准40分段近似最简单的多分辨率分解——分段近似基本思想：用分段恒值函数(柱状图)来逼近连续的波形图

6.15(b)

和

(f)

显示了

一个给定的函数x(t)由

两个不同的尺度来近似。

显然，图

6.15(b)

中的

曲线能够用分段恒值函

数的位移φ(t-n)来逼近，

其中图

6.15(a)

是φ(t)

的波形，

信号可近似表示为：其中

c0,n

表示函数

φ(t-n)

的权值41当m趋于正无穷，这一近似收敛于

x(t)。

因子

2m/2

保证函数2m/2φ(2mt-n)

具有单位能量。当

m趋于负无穷，基函数2m/2φ(2mt-n)

收敛于

0，将无x(t)的信息。分段近似类似地，图

6.15(f)

中描述的近似可以由分段恒值函数φ(2t)的位移来表示如图6.15(e)，即

其中,φ(2t)

是φ(t)

的压缩形式因为

φ(2t)

的波形持续时间是φ(t)

的一半，所以图

6.15(f)

描述的分段近似比图

6.15(b)

的误差小（或者说分辨率高）推广至右式，当分段恒值函数

2m/2φ(2mt)

的波形间距愈来愈小时，分辨率则愈来愈高。42分段近似图6.15也说明，图6.15(a)中的函数φ(t)

能够用图6.15(e)中的φ(2t)

来表示，即，该式说明，低分辨率基函数φ(t)完全能够由高分辨率基函数φ(2t)来确定。用

Vm

表示由位移基函数

φ(2mt-n)的集合生成的空间，则上式又可以被理解为(V1

包含V0，V0

是V1

的子集）（低分辨率的空间V0

应包含在高分辨率的空间V1

中）43分段近似移位的函数

ψ(t-n)，其中

对比，低分辨率基函数φ(t)完全能够由高分辨率基函数φ(2t)来确定。同样地，

高分辨率基函数φ(2t)可以由低分辨率基函数φ(t)

完全表示，即

函数

φ(t-n)的集合保留信号x(t)中的粗略信息，而函数ψ(t-n)的集合提供信号x(n)中的细节信息。x(t)重写为：44分段近似若

W0

表示由函数

ψ(t-n)的集合生成的空间，则

又可以理解为其中

V0

表示由移位函数φ(t-n)的集合生成的空间，

V1

表示由移位函数√2φ(2t-n)的集合生成的空间。

子空间W0

被称为

V0

在V1中的正交补空间。继续上式的分解，得到：一幅图像=最低分辨率下图像+不同细节空间的细节信息

=系数×尺度基+系数×细节空间基表示空间的直和，令S1，S2是空间S的子空间，若S1∩S2=0，且S1∪S2=S，则称S是S1和S2的直和。∩表示交集，∪表示并集。45由空间W0

包含缩放、移位的函数2m/2ψ(2mt-n)。如前所述，当m趋于负无穷时2m/2φ(2mt-n)收敛于0。换言之，当m趋于负无穷时，Vm

将成为0空间。因此，可改写为进一步推广，得到：

另一方面，函数2m/2φ(2mt)的间距减小（m增大），则近似的精度将随之改善。最后，它覆盖整个信号空间：分段近似46分段近似等式

表明，分段近似是在一系列嵌套的线性矢量空间中对信号进行逼近。在

m

趋于正无穷的方向上，这些连续的集合

2m/2ψ(2mt-n)

逼近信号的精度愈来愈高，直至接近于原始信号。在另一个方向上，m趋于负无穷时，集合2m/2ψ(2mt-n)

接近于

0，包含的信息愈来愈少，最终失去x(t)的所有信息。这种近似技术通常被称为多分辨率分解。47分段近似分段近似是最简单的一种多分辨率分解。在结束本节之前，再进一步地建立分段近似和小波变换之间的联系。如图

6.15，当条柱的宽度愈来愈窄，柱图将越来越接近于连续时间波形，即

进一步表示为

该式恰好和小波分解具有相同的形式。48实际上，函数ψ(t)正是最简单的小波——Haar小波——它是在二十世纪初被提出的。下图显示了两个不同尺度上的典型

Haar

小波。分段近似49分段近似从

Haar

小波的定义ψ(t)可以看出，ψ(t)的位移函数是相互正交的，即

对于任意固定的

m，缩放形式的位移

2m/2ψ(2mt-n)也正交，即

而且，空间Wm

正交于空间

Wm’

（m≠m’

），因此

这意味着小波集构成一个正交基。因此，小波系数

dm,n

可由内积算出：这是下式的抽样形式50这一节通过分段近似介绍了最简单的正交小波—

Haar

小波。然而，由于

Haar

小波缺乏连续性，使得它的应用受到限制。例如，它不适用于分析高阶多项式。那么，除了Haar小波，是否还存在其它的母小波可以用下式来表示一个函数？

答案：有；而且方法是多分辨率分解——一种推广的分段近似。分段近似51内容提要Outline傅里叶变换的能力及局限性短时傅里叶变换（STFT）连续小波变换CWT及离散小波变换DWT分段近似多分辨率分析（MRA）信号编码离散小波变换系数的计算基于小波变换的压缩编码JPEG2000标准52多分辨率分析如前所述，分段近似是在一系列嵌套的线性矢量空间中对信号的逼近。在

m

趋于正无穷的方向上，这些连续的集合2m/2φ(2mt-n)逼近信号的精度愈来愈高，直至接近于原始信号

x(t)。

在另一个方向上，m趋于负无穷时，集合

2m/2φ(2mt-n)接近

0，包含的信息愈来愈少，最终失去x(t)的所有信息。

显然，不是所有的嵌套矢量空间都具有这样的性质。多分辨率分解

(MRA)

是等式

和

的基础，它从本质上阐释如何在一个线性向量空间的各个子空间上构建函数的一系列近似。分段近似是多分辨率分解的一个特例。53多分辨率分析：定义Mallat给出的MRA

的定义如下：

在

L2(R)中存在嵌套的线性矢量空间

{Vm}

，m∈Z，且满足:（1）函数

φ(t)∈V0

与它的移位函数

φ(t-n)正交，n∈Z，即

对V0

中的任意

x(t)，

可分解为：其中, 这里，

φ(t)称为基本尺度函数，或者父小波，它是

V0中的基函数。54多分辨率分析：定义（2）当且仅当

时，

。这意味着一个高分辨率的信号包含较低分辨率信号的所有信息。（3）空间Vm

的交集只包含

0

信号，即，

或者

换言之，所有空间

Vm的唯一公共点为

0，将失去x(t)的所有信息。（4）L2(R)中的任何信号可以由联合空间

Vm

中的信号来逼近，即从空间上讲，所有Vm

的并集收敛于整个L2

空间：

这意味着，L2

中的任何信号可以以任意的精度被逼近。55多分辨率分析：定义在MRA中，有两套常用的相反的符号书写习惯。当

时，

。此时，

。尺度或宽度随着

m的增大而增大。这是

“Daubechies”

标号习惯。与它相反的

“Mallat”

标号习惯是，当

时,

。此时，

。分辨率或者窄度随着

m的增大而增大。这两种表示习惯是等价的，且生成相同的系数集合，唯一的区别是在后续处理中系数的标号不同。56多分辨率分析：二尺度差分方程从前面讲述看，相邻尺度下的尺度函数φ(t)之间存在一定的联系。而Vm

包含在Vm+1

中，这样把φm,0(t)设想成是Vm+1

中的一个元素，因此它可以表示为Vm+1

中正交基的线性组合，即式中h0(n)是加权系数，可以看成一个滤波器的系数，是一个离散序列，将上式进一步展开为：即57多分辨率分析：二尺度差分方程此式称为二尺度差分方程，或伸缩方程、精细方程，揭示了在多分辨率中任意相邻两级之间尺度函数间的相互关系。例如m=0，有此式又等效于

在下节中，它也被称为多分辨率分析（MRA）方程。二尺度差分方程是多分辨率中尺度函数的一个重要性质小波函数也具有类似的性质58多分辨率分析：二尺度差分方程由φm,n

的正交性，可求得h0(n)：令2m+1t=t’，则重要关系：h0(n)与m无关，它对任意两个相邻级中的φ都适用，即由m=0和m=1的二尺度方程求出的h0(n)适用于m取任何整数时的二尺度差分方程。把小波变换和滤波器组联系了起来。对于

Haar

尺度函数有：说明：本书中用下标

0

表示低通滤波器、下标

1

表示高通滤波器。59多分辨率分析：二尺度差分方程对等式

的两边分别做傅立叶变换，得到用

t代替

t/2积分，重写为

即

或

其中，Φ(ω)是φ(t)的傅立叶变换；H0(ω)是h0(t)的离散傅立叶变换，在频域具有周期性。

而且，只要Φ(0)≠0，

则

H0(0)=√2。这说明H0(ω)在

DC

处的频率响应为√2（低通滤波器）。60多分辨率分析：二尺度差分方程由，如果连续分解，

则不失一般性，令

Φ(0)=1，即：

这样，φ(t)是归一化的尺度函数。代入得到建立了H0(ω)和Φ(ω)之间的直接关系，这表明，若H0(ω)已知，则计算尺度函数

φ(t)可以不用

的递归运算，而通过H0(2-kω)

在频域中的乘积算出Φ(ω)，再求出φ(t)

。61多分辨率分析：正交镜像滤波器滤波器H0(ω)必须具备什么性质才能使得尺度函数

φ(t)和它的移位φ(t-n)正交？因为{φ(t-n)}n∈Z

是正交的，即

根据帕塞瓦尔（Parseval）关系，有

两边求和，得到

即

因此

这称为泊松和式62多分辨率分析：正交镜像滤波器由及其中，变量k分为奇数和偶数两部分。因为H0(ω)

是频域的周期函数，即

H0(ω)=H0(ω+2π)

，等式简化为63多分辨率分析：正交镜像滤波器再由和因为H0(0)=√2

，因此有H0(π)=0，低通滤波器。上式表明

|H0(ω+π)|

是|H0(ω)|

关于镜像频率（ω=0.5π）功率对称的，二者功率互补。因此，H0(ω)

被称为正交镜像滤波器（QMF）。上式又被称为半带条件（HalfbandCondition），满足该条件的滤波器被称为半带滤波器。64多分辨率分析：正交镜像滤波器到目前为止，已证明正交尺度函数φ(t)可以由

H0(0)=√2

、H0(π)=0

的低通正交镜像滤波器H0(ω)

产生。要生成正交母小波，还需要定义函数H1(ω)使得其解并不唯一，其中一个解为：将H0(0)=√2、H0(π)=0

代入得到H1(0)=0

、H1(π)=√2

。这表明

H1(ω)是高通滤波器。而且用H1(ω)

代替前页表达式中的H0(ω)，得到

可见，H1(ω)也是

QMF。65多分辨率分析：正交镜像滤波器傅立叶变换在频域位移

π等价于对应的序列在时域乘以（-1)k，因此，H1(ω)的时域函数为：将前面提到的几个等式写成简洁的矩阵形式为

交换上式左边矩阵的位置，得到

这就是仿酉条件。66多分辨率分析：正交镜像滤波器通常矩阵乘法是不能交换的，除非乘积是单位矩阵的形式，故有

上式被称为功率互补条件。如图所示，由滤波器

H0(ω)

和H1(ω)

构成的变换能量守恒67多分辨率分析：基本关系与前面尺度函数φ(t)和Φ(ω)推导过程类似，基本小波函数ψ(t)的傅立叶变换

Ψ(ω)满足

则在时域的对应关系为：值得注意的是，φ(t)、h1(t)和ψ(t)都与低通滤波器h0(t)有关，一旦确定了

h0(t)，则可计算出φ(t)、h1(t)和ψ(t)

。68多分辨率分析：母小波因为{ψ(t-n)}n∈Z

构成正交空间W0，对于给定的

m，

2m/2ψ(2mt-n)必然也是Vm

在Vm+1中的正交补空间Wm的正交基。根据

MRA

条件（2）到（4），有因此，伸缩、位移的函数ψmn(t)构成信号空间

L2

的一个正交基。即对于任意信号

x(t)，有

其中，因此，ψ(t)是母小波，或者基本小波函数。

dm,n

是小波函数的系数。69内容提要Outline傅里叶变换的能力及局限性短时傅里叶变换（STFT）连续小波变换CWT及离散小波变换DWT分段近似多分辨率分析（MRA）信号编码离散小波变换系数的计算基于小波变换的压缩编码JPEG2000标准70信号编码用小波基对信号进行编码，就是将信号分解到伸缩和移位的小波基函数上。如前所述，小波基由尺度函数和小波函数组成。尺度函数是父小波φ(t)的伸缩和移位形式；小波函数是母小波ψ(t)的伸缩和移位形式。只用尺度函数就足以对信号进行编码，但本节将说明，用尺度函数和小波函数一起对信号进行编码，效率更高。用尺度函数对信号进行编码要满足两个条件：首先，选择的小波基的特性适合于待编码的信号；其二，最小尺度能够反映出信号中所需要的最小细节。71信号编码根据

MRA

理论，对于

m取有限值的空间Vm

中的信号

xm(t)，有对

L2空间中的信号

x(t)用尺度函数φm,n(t)进行编码，则必须存在某尺度

s=2-M

及该尺度上的某些系数集合

cM[n]

，使得：

其中，尺度标号

M必须足够大，以使得尺度

2-M

足够小，能够捕捉到信号中的重要细节。72信号编码举例：Haar小波和图中信号的块状波形特性比较相似，因此，我们选择haar小波基对下图中的待编码信号进行编码。可以以任何精度对信号进行编码，这取决于所采用的尺度函数。73信号编码74在图(a)中，用

m=0的最大尺度

s=1对信号编码，显然，这种近似是最差的。图(b)采用

m=1，s=1/2的尺度函数，近似程度也不是很好。依次采用愈来愈精细的尺度函数，随着

m的增加，尺度变得越小s=2-m，对信号的逼近也愈来愈好。通常，根据要求的编码误差精度，选择对信号

x(t)编码的合适尺度s=2-m

。当

m增大，得到的近似函数

xm(t)的细节不再有显著的增加，则说明选择的尺度已达到足够的精度。图

(h)

中对信号的近似编码可以表示为

这里的信号

x(t)不能完全由子空间

V7

中的尺度函数表示。因此，它不是该子空间中的信号。信号编码75信号编码虽然用尺度函数足以对信号进行编码；但用尺度函数和小波函数一起对信号进行编码，效率更高。根据MRA理论，空间

Vm+1

内的信号

xm+1(t)可以由空间

Vm+1

中的尺度函数表示，还可以由子空间

Vm

中的尺度函数和子空间

Wm

中的小波函数共同来表示：

上式说明空间Vm+1

内的函数xm+1(t)可以由尺度为

s=2-(m+1)的尺度函数表示，也可以由尺度为s=2-m

的尺度函数和小波函数共同表示。76信号编码小波函数子空间

Wm弥补了相邻两个尺度函数子空间

Vm+1

和

Vm

之间的差别（细节），即

因此，充分利用各个尺度上的小波函数，上式可重写为

其中，信号xm(t)是子空间

Vm上的函数。第一项和式依赖于尺度函数φ(t-n)，它是尺度标号

m=0的

s=1基本尺度函数的位移形式，而小波函数

2m/2ψ(2mt-n)是尺度标号m从0到

M-1的所有伸缩和位移的形式。

c0[n]和

dm[n]是尺度函数和小波函数的加权系数，统称为小波系数。所有这些系数构成信号的离散小波变换。77信号编码对之前提到的信号，重新用基本尺度函数和小波函数集合进行编码。根据等式令x(t)函数为:78信号编码右图显示了细节对整幅图像的贡献。当

m=5和

m=6时，小波函数只有两、三处重要位置对合成信号有影响

，此时的近似信号已相当接近原始信号。79信号编码可以看出，为什么小波编码能很好地适用于信号压缩：即使将信号中大于某个尺度

m的小波细节丢掉，也能得到较好的近似图像。这也说明为什么用小波函数和尺度函数共同编码效率更高。80内容提要Outline傅里叶变换的能力及局限性短时傅里叶变换（STFT）连续小波变换CWT及离散小波变换DWT分段近似多分辨率分析（MRA）信号编码离散小波变换系数的计算基于小波变换的压缩编码JPEG2000标准81离散小波变换系数的计算如何计算等式(8.87)中的小波系数c0[n]和

dm[n]？要从某个尺度的小波系数计算出另一个尺度上的小波系数，则首先要找出不同尺度上的尺度函数和小波函数的关系，这就是已经在前面推导出来的二尺度差分方程：（8.88）其中，h0[k]称为尺度函数系数，因子√2保证各尺度上的尺度函数能量相等。该方程又称为多分辨率分析（MRA）方程。它表明每个尺度函数可以由它相邻的更精细尺度上的尺度函数的加权和表示。82离散小波变换系数的计算小波函数ψ(t)也可以由它相邻的更精细尺度上的尺度函数的加权和表示，这就是另一个多分辨率方程：（8.89）

其中，h1[n]称为小波函数系数。从这两个多分辨率方程可以看出母小波函数（基本小波函数）和父小波函数（基本尺度函数）有诸多相似的原因：小波函数可由尺度函数表示，而尺度函数又由父小波函数生成的。在这个意义上，父小波决定了小波族中所有成员函数的特征。83离散小波变换系数的计算在多分辨率分析的基础上，下面的定理给出了如何通过滤波器组实现信号的小波变换及反变换。定理[Mallat97]：令cm[n]和dm[n]是多分辨率分析中的离散逼近系数，h0[k]和h1[k]是二尺度差分方程中的两个滤波器，则cm[n]和dm[n]存在如下递推关系（分析方程）：这两个方程表达了相邻两个尺度上的DWT系数之间的关系。

MallatS.“AWaveletTourofSignalProcessing”,SanDiego,CA:AcademicPress,199784离散小波变换系数的计算证明：先证明(8.90a)式由于正交基函数φm,n∈Vm，φm+1,n∈Vm+1，Vm∈Vm+1，因此，φm,n(t)可以由正交基φm+1,n

来分解，即式中分解系数令则(见前面二尺度差分方程的推导)因此，85离散小波变换系数的计算因此得证，对上式两边分别对x(t)做内积，有：（8.90b）的证明类似86离散小波变换系数的计算将尺度函数系数h0(n)和小波函数系数h1(n)视为滤波器的冲激响应，则DWT分析具有滤波器的形式。则上面的两个分析方程类似于普通卷积：

与普通卷积的两点不同：脉冲响应样值反转，即h[k-n]而不是h[n-k]；标号n加倍，这意味着隔点保留得到的卷积样值。图8.24Daubechies-4小波基的低通和高通滤波器87离散小波变换系数的计算DWT的频域分析使得我们得到一种实用的DWT分析技术小波分析方程（8.90a）和（8.90b）完成滤波和下采样操作。在等式（8.90a）中，系数cm+1[n]与反转的低通滤波器h0[-n]做卷积实现滤波操作，然后对卷积结果下采样得到cm[n]。

在等式（8.90b）中，系数cm+1[n]与反转的高通滤波器h1[-n]做卷积实现滤波操作，然后对卷积结果下采样得到dm[n]。

在这两个等式中，下采样操作仅保留隔点的采样点，使得抽样频率减半，如图8.26所示。下采样在等式（8.90a）中表现为n值加倍。图8.262倍下采样88离散小波变换系数的计算如果令m逐级减少，即得到多分辨率的逐级实现，如图8.28(a)，该图所反映的分析过程即是Mallat算法，也即小波变换的快速实现。HP表示与高通滤波器h1[-n]的卷积运算，LP表示与低通滤波器h0[-n]的卷积运算。下采样运算用符号↓2

表示。图8.28(a)DWT分析的滤波器组实现框图尺度2-(m+1)尺度2-mcm+1[n]dm[n]cm[n]HP=h1[-n]LP=h0[-n]HPLP↓2↓2dm-1[n]cm-1[n]HPLP↓2↓2d0[n]c0[n]HPLP↓2↓2把对离散信号的小波变换归结为逐级的线性卷积来实现。若h0(n)和h1(n)不是太长，则可在时域直接实现卷积；否则，可用DFT和FFT来实现。实现了对频带的逐级剖分。若cm+1[n]处于0~π，则cm[n]处于0~π/2，dm[n]处于π/2~π。对cm[n]再分解，cm-1[n]处于0~π/4，dm-1[n]处于π/4~π/2。89离散小波变换系数的计算同理可以得到DWT的逆变换定理：若cm(k)和dm(k)是由小波分析方程(8.90)得到的，则cm+1(k)可由下式重建（合成方程）：证明：

由于因此，Vm+1

中的任一函数φm+1,n(t)可按下式分解：由定理(8.90)有：90离散小波变换系数的计算代入前式，有：将该式两边对x(t)做内积：证毕91离散小波变换系数的计算小波合成方程由上采样、随后的滤波和最后的高、低频成分的加法运算来实现。等式中的k加倍，即进行上采样操作，在cm[n]和dm[n]的样点间插零，如图8.27所示。在小波合成方程（8.91）中，冲激响应h0[n]和h1[n]分别与系数cm[n]和dm[n]卷积实现滤波操作。图8.272倍上采样92离散小波变换系数的计算与DWT小波分析类似，DWT合成方程的滤波器组实现框图如图8.28(b)所示。系数dm[n]经过上采样和高通滤波，系数cm[n]经过下采样和低通滤波，然后将这两部分相加得到系数cm+1[n]。在分解过程中，h0

和h1

先做翻转，而在合成过程中，h0

和h1

不做翻转。分析时存在2抽取，合成时存在2插值。图8.28DWT合成尺度2-m尺度2-(m+1)cm+1[n]dm[n]cm[n]h1(n)h0(n)↑2↑2d1[n]c1[n]h1(n)h0(n)↑2↑2d0[n]c0[n]h1(n)h0(n)↑2↑293离散小波变换系数的计算初始化问题：在第一次滤波的时候，作为滤波器输入的小波系数cM[n]从何而来？

根据等式（8.84）：cM[n]是信号与满足要求精度的子空间中的尺度函数的相关系数，然后以cM[n]作为DWT分析的起点。但在实际应用中，用信号的抽样值x(n)乘以因子2-M/2

来代替小波系数作为DWT分析的输入。这种简化的根据是当尺度足够小的时候，尺度函数和小波函数变得近似于冲激函数。94离散小波变换系数的计算

因此，可以用加权冲激函数之和表示的数字信号能够由图8.29中这样类似于冲激函数的尺度函数来逼近。例如，根据等式（8.84），尺度函数子空间中的信号可以表示为：图8.29Daubechies-6小波基近似于一个冲激函数例如，图8.29显示了Daubechies-6小波基中的尺度函数。和冲激函数类似，它的宽度很窄，幅度接近于1。95离散小波变换系数的计算等式（8.92）说明，当给定的尺度M足够精细时，可以用信号抽样值除以2M/2

代替尺度函数系数cM[n]。注意该等式成立的前提条件：当尺度足够精细的时候，尺度函数和小波函数开始变得接近于冲激函数。

任一数字信号可以表示为冲激函数的加权和：比较以上两式可以得到一般化的结论：（8.92）96离散小波变换系数的计算DWT分析可以执行任意阶次下采样使得经过低通的DWT系数cm[n]的个数是cm+1[n]的一半。假设最大尺度为m=0，则样点数为2N

的信号最多可以被分解N次。第N次分解最终得到一个DWT系数c0[n]。经过高通的DWT系数dm[n]也是如此。DWT合成可以从任何尺度上的系数dm[n]

和cm[n]

开始根据方程(8.91)，DWT系数d0[n]

和c0[n]

合成c1[n]

。d1[n]

和c1[n]又合成c2[n]

，依次类推。因为上采样的影响，每次合成的系数cm+1[n]

的个数总是cm[n]

的两倍。97离散小波变换系数的计算下面举例说明信号的小波分析与合成的全过程。例8.6：现有某信号在1秒内的8个样值[10-321012]，用Haar小波基对信号进行编码，计算DWT系数，并且合成信号以验证编码的正确性。解：1）DWT分解信号宽1秒。因为Haar小波基的母小波和父小波的波形间隔也是一秒，所以m=0是需要的最大尺度s=1。因为有8个样点，23=8，所以最多可以分解3次。根据前面的结论，最小尺度上的系数c3[n]可以近似为：98离散小波变换系数的计算

如方程(8.90)所示，只需要这些样值和Haar滤波器系数h0(n)和h1(n)就可以对信号进行分析。将图8.28(a)中的基本分析单元链接起来得到图8.30所示的分析树。已知Haar低通滤波器的冲激响应为:Haar高通滤波器的冲激响应为:这两个冲激响应都只有两个非零样值。图8.30例8.6的三级DWT分析树99离散小波变换系数的计算DWT分析的起始系数为：根据等式(8.84)，令M=3，得到（8.93）其中，φ(t)是Haar基中的父小波，只用m=3的尺度函数对信号x(t)编码。如前所述，根据等式(8.85)，用m=2的尺度函数和小波函数对信号x(t)编码的效率更高。利用方程式(8.90a)，从c3[n]计算相邻粗尺度上的系数c2[n]：因为下采样，系数c2[n]的个数是c3[n]的一半。c3[n]包含8个DWT系数，所以c2[n]包含4个系数，n=0,1,2,3。

100离散小波变换系数的计算

对于Haar基，冲激响应h0[k-2n]只在k-2n=0或者k-2n=1的时候有非零值。那么，对于n=0，只有k=0和k=1两项对和式有贡献，其它情况都为零。因此，同理，利用方程式(8.90b)，得对于n=0，对于n=1，k=2时，k-2n=0；k=3时，k-2n=1。因此同理可以推出和的其它样值，如表8-2所示。

101离散小波变换系数的计算表8-2例8.6的DWT系数102离散小波变换系数的计算现在知道了m=2的尺度和小波函数系数，根据等式（8.85）得到x(t)为：

其中，φ(t)和ψ(t)分别是Haar小波基的父小波（尺度函数）和母小波（小波函数）。进行编码的另一种方法如等式(8.87)所示，它充分利用了小波函数。这种方法需要所有的DWT系数，这些系数的计算同前面c2(n)和d2(n)的计算。

表8-2给出了所有k和n的取值情况下，k-2n的值。因为Haar滤波器h0[k-2n]和h1[k-2n]只在k-2n=0或k-2n=1的情况下有非零值，所以只有满足该条件的k和n的组合才会影响系数的计算。这些组合用黑体表示。

(8.94)103离散小波变换系数的计算表8-3例8.6中采用Harr小波基的小波分解在三级完全分解以后，根据等式(8.87)，信号x(t)为：

(8.95)其中，φ(t)和ψ(t)分别是Haar小波基的父小波（尺度函数）和母小波（小波函数）。利用这样的展开式可以得到信号的时间－尺度图。在每个时刻（或者移位）和尺度上的系数的大小决定了途中每点的数值。104离散小波变换系数的计算

注意到在展开式(8.93)、(8.94)和(8.95)中，所需系数的总个数都是8，等于原始样点的个数。所有抽样信号的小波展开都是这样。此外，三个等式产生相同的信号，[10-321012]，如图8.31所示。图8.31例8.6中小波展开生成的函数105离散小波变换系数的计算2）DWT合成方程(8.91)描述小波合成。这个方程表明，在合成的时候，并不是所有在分解阶段得到的系数都要被使用。要生成系数c3[n]，只需要c0[n]、d0[n]、d1[n]和d2[n]。将图8.28(b)中的基本合成单元链接起来得到三阶合成树，如图8.32所示。图8.32三阶DWT合成树在合成的第一阶段，相邻精细尺度上的系数c1[n]由c0[n]和d0[n]合成，根据方程(8.91)有：106离散小波变换系数的计算因为c0[n]和d0[n]都只包含一个DWT系数，所以c1[n]包含两个系数。对于Haar小波基，冲激响应h0[n-2k]和h1[n-2k]只在n-2k=0或n-2k=1的时候有非零值。表8-4给出了所有k和n的取值情况下，n-2k的值。只有那些生成0或1的和的组合才会影响合成。例如，n=0和n=1时，系数c1[n]为：这些结果和表8-2一致。用同样的方法可以合成其它DWT系数。最后，根据等式(8.92)，系数c3[n]乘以因子23/2

就得到重建原始信号的样点x(n)。表8-4例8.6中采用Harr小波基的小波合成107离散小波变换系数的计算通常，用于合成信号的DWT系数cm[n]和dm[n]统称为信号的DWT。DWT个数总是和待分析信号的样点数相同。例如，根据等式(8.92)的假设，在空间S10

中，具有1024个样点的信号被分解后可以得到1024个用于DWT合成的DWT系数。

该系数集合如图8.33(a)所示。在一阶DWT分解以后，c10[n]中的所有信息完全可以由512个低通DWT系数c9[n]和512个高通DWT系数d9[n]描述，如图8.33(b)所示。

在下一阶分解中，c9[n]被进一步分解成256个系数c8[n]和256个系数d8[n]，如图8.33(c)所示。用这256个系数、256个系数和512个系数可以准确重建原始信号。

7阶DWT分解以后，DWT系数如图8.33(d)所示。

108离散小波变换系数的计算DWT系数通常以图8.33的形式出现。最低频率成分的系数位于左边；高频成分的系数位于右边。注意到，DWT系数的总个数总是等于1024，即样点的个数。对于该图中的信号，最多可以进行10次分解，