普通高等学校招生全国统一考试之数学

绝密*启用前试卷类型：A2009年普通高等学校招生全国统一考试河北衡水中学三模试卷命题人：褚艳春说明：本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分。考试时间120分钟。其中第一道大题为选择题参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率球的表面积公式球的体积公式其中R表示球的半径选择题（每小题5分，共60分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．如果复数是纯虚数，则实数的值为（）A．0B.2C.0或3D.2或32．已知全集U=R，集合，则=（）A.B.C.D.3．若为等差数列的前n项和，，，则与的等比中项为（）A.B.C.D.4．“”是的 （） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件5．已知，则等于（）ABCD6．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A.B.C.D.7．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查20000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入（元）段中抽取了30人，则在这20000人中共抽取的人数为（）A.200B.100C.20000D.408.设点P（）满足不等式组，则的最大值和最小值分别为（）ABCD9．我国储蓄存款采取实名制并收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收，某人于2008年3月1日存入人民币1万元，存期一年，年利率为％，到期时净得本金和利息共计元，则利息税的税率是（）A.5％B.8％C.15％D.20％10．设直线与球O有且只有一个公共点P，从直线出发的两个半平面截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球O的表面积为()A.B.C.D.11．若双曲线与椭圆（）的离心率之积大于1，则以为边长的三角形一定是（）A等腰三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形12．将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，若函数满足，则向量的坐标是（）A． B． C．D．二、填空题:（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）13．已知的展开式中，，则常数a的值为14.已知函数的图象经过点A，则不等式的解集为15.直线，则（O为坐标原点）等于16．给出下列命题：①已知函数在点处连续，则；②若不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是③不等式的解集是④如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则为锐角三角形，为钝角三角形.其中真命题的序号是（将所有真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本题10分)在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．18.(本题12分)某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答.（Ⅰ）求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率；（Ⅱ）求某选手抽到体育类题目数的分布列和数学期望E.19.（本题12分）如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面上的射影恰好是的中点，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求二面角的大小.20.（本题12分）.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：；21.（本题12分）.过点A（-4，0）向椭圆引两条切线，切点分别为B,C，且为正三角形.（Ⅰ）求最大时椭圆的方程；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的椭圆，若其左焦点为，过的直线与轴交于点，与椭圆的一个交点为，且求直线的方程22．（本题12分）已知函数。若函数在上是增函数，求正实数的取值范围；当时，求函数在上的最大值和最小值；当时，证明：对任意的正整数，不等式都成立。河北衡水中学三模数学（理科）试题答案一、选择题：A卷：ABCCDCAAADDBB卷：ACBBDBAAADDC二、填空题:（每小题5分，共20分）13．14.15.16．124三、解答题：17.(本题10分)解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得． 2分联立方程组解得，． 4分（Ⅱ）由题意得，即，当时，，，，， 6分当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．8分所以的面积． 10分18.(本题12分)解（Ⅰ）记A：该选手第二次抽到的不是科技类题目；B：该选手第一次抽到科技类而第二次抽到非科技类；C：该选手第一次和第二次都抽到非科技类题目.则.6分（Ⅱ）的取值为0，1，2.；；.故的分布列为：012P于是，的期望.------12分19.（本题12分）（Ⅰ）证明：设的中点为.在斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点,平面ABC.……1分平面，.……2分，∴.，∴平面.……3分平面，平面平面.………………4分解法一：（Ⅱ）连接，平面，是直线在平面上的射影.………………5分，四边形是菱形...……………6分（Ⅲ）过点作交于点，连接.，平面..是二面角的平面角.…………9分设，则，....平面，平面，..在中，可求.∵，∴.∴..……10分.∴二面角的大小为.………………12分解法二：（Ⅱ）因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为，则平面ABC.以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，由题意可知，.设，由，得.又...……6分（Ⅲ）设平面的法向量为.则∴.设平面的法向量为.则∴..……………10分二面角的大小为.…………12分20．解：（1）由，得，代入，得，整理，得,从而有，，是首项为1，公差为1的等差数列，即.……………（5分）（2），，，，.…（12分）21.解：（Ⅰ）由题意，其中一条切线的方程为：-------------2分联立方程组消去得即有，可得因为，所以，即------------4分所以当时，取最大值；求得故椭圆的方程为----------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设直线方程为：设，则当时，，有定比分点公式可得：--------------------------8分代入椭圆解得直线方程为----------10分同理当时，无解故直线方程为------------12分22、解：（I）由题设可得函数在