2022届广东省广州市天河区高三三模数学试题（解析版）

2022届广东省广州市天河区华南师范大学附属中学高三三模

数学试题

一、单选题

1.复数Z=二，贝”在复平面内对应的点是()

1-1

A.(0,-1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(-1,-1)

【答案】B

【分析】先计算求出z,即可求出答案.

【详解】因为2=匕1=厂与二=a=i,所以z在复平面内对应的点是(0,1).

1-1+2

故选：B.

2.已知集合知={x|y=ln(x-2)},N={)[y=e"},则A/r|N=()

A.B.(2,+00)c.(0,2)D.[2,+co)

【答案】B

【分析】首先根据指数函数、对数函数的性质求出集合N、M,再根据交集的定义计

算可得；

[详解]解：因为M={x|y=ln(x_2)}={xk>2},N={y|y=e?={Hy>0},

所以McN={x|x>2}；

故选：B

3.函数f(x)=sin(2x+e+t)为偶函数的一个充分条件是()

71c兀一兀e兀

A.(p=—B.(p=—C.(p=-D.(P=~-

6633

【答案】C

【分析】先求得函数/(X)为偶函数的充要条件，再去求函数/(X)为偶函数的充分条件

即可解决.

【详解】函数〃x)=sin(2x+Q+e)为偶函数，

则有S+2=E+£，解之得3=E+g,AeZ,令&=0,则有>

6233

则函数"X)为偶函数的一个充分条件为夕=方

故选：c

4.已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上、下底面的圆周均在球面上，若球的体

积为v，则圆柱的体积为（〉

A.167B.8万C.4G兀D.2五兀

【答案】C

【分析】设圆柱的底面圆半径为,，高为2r,球。的半径为R,由题可得R=2,进而

可得r=亚,然后利用圆柱的体积公式即得.

【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为2r,球。的半径为R,

4V）Tr

由题可知三万代=子，解得R=2,

则/+/=店=4，可得r=>/2,

所以丫=万尸（2r）=4jE.

故选：C.

5.f（x）=x2-见忖，则函数尸/⑴的大致图象为（）

【答案】A

【分析】根据/(X)的奇偶性可判断选项B、C错误，又/(-力<0可判断选项D错误,

从而可得答案.

【详解】解：由题意，函数/(x)的定义域为(-8,0)U(0,M),

因为/(x)=f-幽，所以/(­)=(­)2-]^"+幽臼*),

X-XX

所以/(x)为非奇非偶函数，故选项B、C错误；

1

(n=1Ine__1

当》=一时，n-7-e<,故选项D错误，选项A正确；

e

e

故选：A.

6.已知点A、8在单位圆上，408=3,若云=次+工砺(xeR),则反的取值

范围是()

A.[0,+oo)B.；,+8)

C.[#,+8)D.[1,+<»)

【答案】C

【分析】利用平面向量数量积的运算性质以及二次函数的基本性质可求得0C的取值范

围.

【详解】

函2=（况+X砺）2=次+¥宿+2x网画cos?=f+缶+1=x+仔卜送

因此，匹归日.

故选：C.

22

7.已知。为坐标原点，尸是椭圆C：0+4=1(。>〃>0)的左焦点，4,B分别为C的

a2b~

左，右顶点,为C上一点，且轴.过点4的直线/与线段P尸交于点M,与y轴交

于点E.若直线8M经过。£的中点，则C的离心率为

1123

A.—B.—C.—D.一

3234

【答案】A

【详解】试题分析：如图取尸与M重合，则由4-4,0),"(-',给=直线

a

£

AM:y=—^―(x+a)nE(0,)同理由

-c+aa-c

>2j2>2C入2i

B(a,0),M(一c,—)=>G(0,---)=>----=----=>〃=3c=>e=一，故选A.

aa+ca-ca+c3

【解析】1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.

【方法点晴】

本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归

思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.

如图取尸与M重合，则由取F,0),M(-C,3n直线.：尸a(二为二20,一)

-c+aa-c

同理由B(a,0),M(-c,—)nG(0,

a

b2、b22从,1

----)=----=----=q=3c=e=-.

a+ca-ca+c3

8.已知数列｛见｝满足。,“2+(-1)%“=3,，4=1,a?=2,数列｛4｝的前〃项和为S“，则

$30=()

A.351B.353C.531D.533

【答案】B

【分析】根据题意讨论〃的奇偶，当”为奇数时，可得,*2-%=3,按等差数列理解处

理，当”为偶数时，可得4,启+4=3,按并项求和理解出来，则次按奇偶分组求和分

别理解处理.

【详解】依题意，4+2+(-1)%=3,

显然，当〃为奇数时有a,”-%=3,

即有％-q=3,%-%=3,....”2“+1=3,

令〃,=4“T，故〃川-2=3,

所以数列｛〃,｝是首项为1,公差为3的等差数列,

故a=3〃-2；

当〃为偶数时有〃〃+2+4=3,

B|Ja4+a2=3,a6+a4=3fa2n+2+a2n=3,

于是‘=（q+q+…+%）+（%+4+・・・+%））

=（fy+〃2+,-+45）+［。2+（。4+。6）+…+（&+%）］

1+43

=-_-xl5+2+7x3=330+23=353,

2

故选：B.

二、多选题

9.如果"Z?<0,cV/vO,那么下面一定成立的是（）

dc

A.a+d<b+cB.ac>bdC.ac2>be2D.—<—

aa

【答案】BD

【分析】用不等式的性质推导和取值验证相结合可解.

【详解】取"=c=-2,b=d=-l,则a+d=b+c=-3,ac1=-8,be2=-4,故AC不正

确；

因为-a>T>>0,-c>-d>0,所以ac>Z?d,故B正确；

因为c<d-<0,所以以<£,故D正确.

aaa

故选：BD

10.己知（a+2A）”的展开式中第5项的二项式系数最大，则〃的值可以为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】ABC

【分析】按照哪几项的二项式系数最大分三种情况讨论，结合二项式系数的性质可得答

案.

【详解】当（。+26）”的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，〃=7；

当当（a+力）”的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，«=9；

当（a+2。）"的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，N=8.

故选：ABC.

11.圆例：f+y2+2x-4y+3=0关于直线2以+外+6=0对称，记点尸（。,与，下列结

论正确的是（）

A.点P的轨迹方程为x-y-3=0B.以PM为直径的圆过定点。（2,-1）

C.|加|的最小值为6D.若直线巩与圆M切于点A,则

【答案】ABD

【分析】由题意可知2依+缈+6=0过圆心，代入即可得3=0,作出图象，利用直线

与圆的关系依次判断各选项即可求得结果.

【详解】圆M：/+丁+2万一4y+3=0配方得：(x+1)2+(y-2)2=2,

•••圆M关于直线2以+少+6=0对称,

直线2a^+力+6=0过圆心加（—1,2）.

-2^z+2Z?+6=0,即。一/?—3=0,

・•・点尸的轨迹方程为九—y—3=0,A正确.

由右。=一^=-1，则七。•％=-1，则以为直径的圆过定点Q（2,—l）,B正确.

-1-2

卜1-2-3|

\PM\的最小值即为M（-1,2）到直线x-y-3=0的距离，由于d==导3技

>/i+T

则归=怛。=30，C错误.

由于附=4尸闿2-|期『=4尸可_2,要使|/训取最小，即|PM|取最小值，

\PM\n.n=|尸@=30,|尸J|PQ『一2=J18-2=4,则D正确.

故选：ABD

12.已知圆锥的顶点为P,母线长为2,底面圆直径为26，A,B,C为底面圆周上的

三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正确的是（）

A.当A,8为底面圆直径的两个端点时，ZAPS=120°

B.△出8面积的最大值为名

C.当面积最大值时，三棱锥的体积最大值为近土逝

3

D.当A8为直径且C为弧A3的中点时，MA+MB的最小值为岳

【答案】ACD

【分析】对于A,利用已知条件和圆锥的性质判断即可，对于B,由三角形的面积公式

结合正弦函数的性质判断，对于C,当△物B面积最大值时，AB=2五,从而可求出

点C到AB的距离的最大值，进而可求出三棱锥C-B4B的体积最大值，对于D,由题意

可得△以C和APBC全等，在△%C中求出sin/APC,从而可求出PC边上的高，则可

求出MA+MB的最小值

【详解】对于A,记圆锥底面圆心为O,sinNAPO=42=立，所以NAPO=60。，所

AP2

以NAP8=120。，故A正确；

对于B,设NAP3=6（0o<eW120。），则截面三角形的面积

S=-PAPBsm0=2sm0^2,故B不正确；

2

对于C,由选项B中推理可知，止匕时A8=20，所以点C到AB的距离的最大值为

上+&同一的=1,从而可知三棱锥C-PAB的体积最大值为

；x（gx（6+l）x2&）xl=^?l,故C选项正确：

对于D,由题意可得△%C和△P8C全等，在AMC中，PA=PC=2,AC=R,所

以cosZAPC二,+,_:=!，MsinZAPC=—.

2x2x244

记PC边上的高为〃（垂足为Q）,PIOh=PAsinZAPC=2x—=—,所以

一42

MA+MB，2h=而,当M与。重合时取等号，故D选项正确；

故选：ACD.

三、填空题

13.当x>“时，工］>0成立，则实数。的取值范围是.

X

【答案】［1,内）

【分析】由」X—1>0可得x>l或x<0,当时，x王—」1>0成立，即可求出a的取值

XX

范围.

【详解】^~>0=>x（x-l）>0nx>1或x<0,则当x>a时，-^^>0成立,所以aZl.

故答案为：13）.

14.为了做好疫情防控期间的校园消毒工作，某学校对教室进行消毒，室内每立方米空

气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：小时）的变化情况如图所示，在药物

释放的过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=（a

为常数），根据测定，当空气中每立方米的含药量降低到,毫克以下时，学生方可进教

室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.

3

【答案】0.61

【分析】根据函数图象经过点（021）,求出。的值，然后利用指数函数的单调性解不等

即可.

4

【详解】由题意知，点（021）在函数y的图象上,

解得a=0.2,

<-,即2-5⑷<2-2

4

得-5x+l<-2,所以x>0.6.

所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的0.6小时.

故答案为：0.6.

15.已知随机变量且尸（j41）=P（j2a—3）,则，+上的最

xa-x

小值为.

【答案】4

【分析】由正态曲线的对称性得出”=4,再由基本不等式得出最小值.

【详解】由随机变量4~N（l,b2）,则正态分布的曲线的对称轴为J=l,

又因为「传41）=「（彳2。-3）,所以1+（〃-3）=2,所以”=4

当0vxv4时，

七19（19\x+（4-x）（八4-x9x}1、10+2次/

x4-x\x4-xJ4Ix4-xJ44

当且仅当上4—」X=卢Qr，即x=l时等号成立，故最小值为4.

故答案为：4

16.设函数/（尤）=]--2℃（〃>0）的图像与g（x）=/lnx+匕的图像有公共点，且在公

共点处切线方程相同，则实数b的最大值为.

【答案】小

【分析】设公共点坐标为（%,%）,求出两个函数的导数，利用/'（%）=g'（%）,推出

2

b=^-2aX（）-alnx（l,然后构造函数，利用导函数单调性求解函数的最值即可.

【详解】解：设公共点坐标为（七,%），则/'（x）=3x-2«,/（x）=：（x>0）,

2

所以有了'（Xo）=g'a（）），即版（）-2。=幺，解出/=〃（%o=-[舍去），

3

又>o=/（为）=g（/），所以有万片-物）=//叫+b,

故人=-2axo—//叫）,

所以有Z?二一;/_//也，对力求导有加=一2^（1+加。），

故人关于。的函数在（0,3为增函数，在d,a）为减函数，

e«

所以当。=1时6有最大值二.

e2e

故答案为：C八4.

四、解答题

17.“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调

查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：

周末体育锻炼时间

[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

r（min）

频率0.10.20.30.150.150.1

（1）估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数兀（同一组中的数据用该组区间的中

点值作代表）

（2）在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在［40,60）内的学生中抽取

15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在［50,60）内的人数

为IX,求X的分布列以及数学期望E（X）.

【答案】⑴58.5；

（2）分布列答案见解析，数学期望：

【分析】（1）根据平均数的定义，7等于频率乘以每一组数据的中点值之和；

（2）根据题意，X的可能取值是0,1,2,3,再根据古典概型计算方法分别计算概率即

可.

【详解】（1）估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数

7=35x0.1+45x0.2+55x0.3+65x0.15+75x0.15+85x0.1=58.5.

（2）依题意，周末体育锻炼时间在［40,50）内的学生抽6人，在［50,60）内的学生抽9人，

则唳=。）*哈P（X=1）=警嗡P（X=2）=管嘤,

唳=3）吟*，

故X的分布列为：

X0123

2721612

P4

919145565

则()巴+9

£X=0xlx2+2x”+3cx—12=

V79191455655

18.已知等差数列｛叫中，％=3,延=6,且〃=｛"；：:鲁普.

(1)求数列｛〃｝的通项公式及前2〃项和；

(2)若％=%小也“，记数列｛%｝的前〃项和为S,,,求S「

【答案】(1也=[m'伸拈，数列｛〃｝的前2〃项和为〃(〃+1)+金(4"-1)

[2，〃为1周数3

⑵臬=(|*卜噌

【分析】(1)结合/=3,4=6求得等差数列｛q｝的通项公式，即可得论,｝的通项公

式，利用分组求和的方法，根据等差数列和等比数列的前〃项和公式求解即可；

(2)由(1)可知c“=%i也,,=2〃X22"=2〃-4",利用错位相减法求解即可.

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为力则4=生二察=1,

6—3

所以4=%+(〃-3”=〃，从而叫2%为偶数'

々+4+&+・・++4“_1+&“=(2+4+・・・+2〃)+(22+24+・・・+22〃)

〃x(2+2〃)4x(l-4")

=2+1-4

=n(n+l)+-(4n-l).

(2),/c„=-h2n=2"x2"'=2",4",

23,

A5„=2X4'+4X4+6X4+---+2/I-4',

4S„=2x42+4x43+6x44+---+2(n-l)-4n+2»-4,,+1,

相减得，-3S„=2x4'+2x42+2x43+---+2x4"-2n-4n+l,

=8(1-4)_2“4„+|2〃]4向―-,

1-413J3

22\8

即S+

--一4,?+|-

3979

19.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2S=-百丽.而，作AB±AD,

使得四边形A8CZ)满足NACC=(,AD=6

c

B

A

⑴求“；

(2)设N8AC=〃，BC=f(6,求函数”6)的值域.

【答案】（1）8=等24

(2)(0,2)

【分析】（1）由三角形面积公式和向量数量积公式，代入2s=-6丽.或计算可得

2x—acsinB=->/3accosB,化简即可得解；

2

IT7T

（2）首先找到各个角之间的关系，ZCAD=--0,NCD4=O+",再由正弦定理可

26

得AC=4力色:C=2sin（6>+],再在三角形ABC中，由正弦定理得等=警,

sinZACDI6JsinBsing

所以BC="O）=41翟=方4。+看卜山，，利用三角函数求最值即可得解.

【详解】⑴由2s=-6丽・前，

可得2xLcsin8=-百accosB,

2

即sinB=-&cosB,可得tanB=-5

因为3«0,万），所以8=子,

ArAD

在三角形中,由正弦定理得嬴万而

sinZACD

G・sin[j+看

ADsinZADC

可得AC=2sin(e+?),

sinZAC。.n

sin

3

在三角形ABC中，由正弦定理得焉=焉

2sin(6+:卜in。

可得BC=〃e)=ACsin®4.(八万7T、.八

=-7=sin|，+—Tin，

sinB.24

sin——6

3

=sin^+-cos6>Lin<9=11

sirr8+—sinOcos。、

闻22I2J

2CS

=-^^2>^sin+2sin^cos^j=-^^2A^X--°+sin20

=-^=^sin26>->/3cos20j+l=^^-sin^20-y^+l,

因为0<0<g,

—可rm得——兀<2c0c——兀<—71,

333

当2。一工=工时-，即。=工，

333

可得型sin至+1=2,

33

TTTT

当=•时，即6=0,

可得半sin.5)+l=0,

所以的值域为(0,2).

20.如图所示，己知矩形ABCO和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AD=2AF=2AB=2,

M,N分别是对角线B£>,AE上异于端点的动点，且BM=4V.

(1)求证：直线MN〃平面CDE；

(2)当MN的长最小时，求二面角A-MN-D的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵半

【分析】（1）根据边对应成比例，可证明平行四边形，进而可得线线平行，即可求解.

（2）根据空间中两点距离公式，可得线段的最小值，进而根据空间向量，求平面法向量,

进一步可求解.

【详解】⑴过N作与ED交于M点，过M作〃⑷）与CD交于点,

连接ATM.

由已知条件4)=2AF=2AB=2,可知矩形A8CO与矩形AOEF全等.

;BM=AN,AE=BD,NN'//AD//MM'

.NN'AE-ANBD-BMMM'MM'

"AD~AE-BD~BC~AD

：.NN'=MM'

又NV〃AZ)〃肱VT,则四边形MNN，AT为平行四边形，

所以MN〃N，M'.

'：MN/平面CDE,M'N'u平面CDE,

，MV〃平面CDE.

(2)由平面ABCD_L平面A£>£■凡平面ABCDD平面A£)EF=AD,

又AFu平面AOEF,AFA.AD,

凡L平面ABCD.

以A为原点，分别以A8,AD,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

过M点作MG_LAQ,垂足为G,连接NG,易知NG_LAO,设AG=40vav2)

可知当。=1时，MN长最小值为一己.

2

此时

又4(0,0,0),0(0,2,0),

AA/=(g,l,0),丽=(-g,0,£|,两=(g,-l,0

设平面4MN的法向量为机=(石,加4),

1八

万石+%=0

m-AM=0

可得，

m-MN—0

u

令芭=2,可得m=(2,T,2)

设平面MND的法向量为〃=(X2，%，Z2)，

n-DM^O

由可得11

n-MN=0

-/+力0

令W=2,可得3=(2,1,2)

COS<—/—«,/7m)|,n=™=7-

Urij

••♦sin5，〃〉=卜同--

则二面角A-MN-D的正弦值为逑.

9

21.已知在AABC中，8（-2,0）,C（2,O）,动点A满足|AB|=2g,ZABC>90°,AC

的垂直平分线交直线AB于点P.

⑴求点P的轨迹E的方程；

⑵直线x=〃?（利>6）交x轴于£>,与曲线E在第一象限的交点为Q,过点。的直线/

3

与曲线E交于例，N两点，与直线x=—交于点K,记QM,QN,QK的斜率分别为勺，

m

k2,上台,

①求证：勺普是定值.

②若直线/的斜率为1,问是否存在〃，的值，使占+&+&=6?若存在，求出所有满足

条件的机的值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）J-y2=l（x>百）

（2）①证明见解析；②存在；“=逑

2

【分析】（1）利用几何知识可得|P3|-|PC|=2G<WC，结合双曲线定义理解处理；（2）

根据题意设直线及点的坐标，①分别求尢，网,七,利用韦达定理证明；②根据①结

合题意求。的坐标，代入双曲线方程运算求解.

【详解】（1）：N3AC>90。，

：.AC的垂直平分线交BA的延长线于点P.

连接PC,则|PC|=|网，

：.\PB\-\PC]=\PB\-\PA\=\A^=2y/3<\BC\,

由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以8（-2,0）,C（2,0）为焦点，实轴长为的双曲

线的右支（右顶点除外），

c—2,a-6,则》=yjc2-a1=1，

的方程是[■一V=i1>g）.

2

（2）①证明：由已知得。（nO）,Q（皿%）,满足胃_一$=1,

设直线/方程为x=（y+〃?，N（%2，%），

x=ty+in

联立*

21得(r-3^y2+2mty+f7T-3=0,

-----=1

3

2mtm~-3

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