2022高考数学真题分类汇编06 数列

2022高考数学真题分类汇编

六、数列

一、选择题

1.（2022•全国乙（文）T10）已知等比数列｛凡｝的前3项和为168,%-%=42，则&=（）

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】设等比数列｛%｝的公比为5易得根据题意求出首项与公比，再根

据等比数列的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列｛q｝的公比为4，"工0,

若4=1,则%-%=0,与题意矛盾，

所以＜7wl,

%(1*)1684=96

Q]+。2+。3=

则《"q，解得《1

4q=3

a2-a5=%q-a1q=42

所以。6=%q二=3.

故选：D.

2.（2022・全国乙（理）T8）已知等比数歹U｛4｝的前3项和为168,%-6=42,贝I]4=（）

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】设等比数列｛4｝的公比为名4。0,易得qwl,根据题意求出首项与公比，再根

据等比数列的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列｛4｝的公比为名令。0,

若g=l,则生一。5=0，与题意矛盾,

所以,

4(1—

q=96

』-----^=168

4+。2+43

则i-q,解得1，

Aq=3

a2—a5-ayq-axq-42

所以4=qq'=3.

故选：D.

3.（2022•全国乙（理）T4）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我

国第一颗环绕太阳飞行人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到

i

=1+^T,a=1+

数列也｝:4=1+',"i-

«,+------1，…，依此类推，其中

CZjH---

aa?+—

2"«3

4eN*供=1,2,…).贝IJ()

B.b3Vb8D.

Abx<b,C.%<b2h4<b7

【答案】D

【解析】

【分析】根据akeN*（4=1,2,-）,再利用数列也｝与ak的关系判断也｝中各项的大小,

即可求解.

【详解】解：因为&eN*（左=1,2,…）,

11

1-->------\-

所以《<4+——,%a+，得到h>h,

a2

21a?

11

OLxH--->+

同理a2可得伪<4，4>&

a2+-'

-%

1111

，«l+------J-<«!+--------\—

又因为%a+]a,+a+

2%2”

%+一

%«4

故Z?2</?4，&>为;

以此类推，可得伪＞&＞々＞白＞…，巴＞4，故A错误；

仇＞4＞々，故B错误；

11

屋〉i

2«2+1，得包＜%,故C错误；

«3+-----

%

11

%+-------J—＞«1+----------J—

。2+-----「…-----「，得&〈内，故D正确.

a3H-----ab+——

%«7

故选：D.

4.（2022•新高考I[卷T3）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如

图是某古建筑物的剖面图，OA，CG，B4，A4是举，on，£）G，cq,BA是相等的步，相

邻桁的举步之比分别为号=°5号=K，制=右，蝎=%，若K,七，&是公差为0.1

（JL）1C/）1L）A]

的等差数列，且直线。4的斜率为0.725,则占=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【解析】

【分析】设。口=。。1=。旦=%=1,则可得关于右的方程，求出其解后可得正确的选

项.

［详解】设。2=DC1=CB［=%=1,则CCj=kx,BB\=k2,AA1=k3,

DD[+CC、+BB、+AA!

依题意，有23-0.2=々］,%3-0.1=攵2，且=0.725,

OD[+DC[+CB[+BA

所以"土乎丝=0.725,故&=0.9,

故选：D

5.（2022•浙江卷T10）已知数列｛《）满足4=1，4用=。“-卜则（）

557

A.2<1006Z.mmu<—2B.—2<100。1［v0wn<3mCu.32<1004Z.m<—D.

7

5<100仆4

【答案】B

【解析】

【分析】先通过递推关系式确定｛4｝除去4,其他项都在（0,1）范围内，再利用递推公式

1111

变形得到--------->-累加可求出一>不(〃+2),得出1006<3,再利用

4,+i%,3-a„3a„3Go

J____1=11J,1)

tz,l+lan3-a„?331〃+1)，累加可求出

〃+2

11八\(11n5

----]<彳(z〃―1)+彳7；+彳+.・,+—,再次放缩可得出]00q()o>—•

an3n)2

2

[详解】•；4=1,易得a2=-e(O,l),依次类推可得a“G(0,1)

由题意，“叫(不1｝、即1二=赤3丁1?二1？

累加可得----1>彳(〃_])，即—>-(n+2),(n>2),

43aH3

•••%<上

即1004<34<3,

"n+20G

-------=-----<-----—=—1-----

又％an3-433-31rt+1

n+2

累加可得二i一〔1<§i(z〃一1)+、ifi5+4i+・一n+%>(/〃一'3)、,

If1111门“1c八cc

——I--F■--H---<33H——x4H—x94<39

3(2399J3126)

即~~<40,40G>—，即IOO40G>—；

%oo4Uz

综上：—<loo。］w<3・

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

二、填空题

1.（2022•全国乙（文）T13）记S“为等差数列｛%｝的前〃项和.若2s3=3S?+6,则公差

d=.

【答案】2

【解析】

【分析】转化条件为2（q+2d）=2q+d+6,即可得解.

【详解】由2s3=3$2+6可得2（q+4+。3）=3（4+4）+6,化简得2a3=q+%+6，

即2（q+2d）=2q+4+6,解得d=2.

故答案为：2.

2.（2022•北京卷T15）己知数列｛4｝各项均为正数，其前〃项和S”满足

%•S,=9（〃=1,2,…）.给出下列四个结论：

①｛《,｝的第2项小于3；②｛6,｝为等比数列；

③｛«„｝为递减数列；④｛«„｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

99

【分析】推导出--------,求出卬、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利

%凡-1

用数列单调性的定义可判断③.

【详解】由题意可知，V〃GN*，。“>0,

当〃=1时，a；=9,可得q=3；

9999

当〃22时，由S”=一可得S“T=---，两式作差可得4=-------,

凡%%a,一

999

所以，——=一一a„,则一一a,=3,整理可得星+3出-9=0,

a,i4a2

因为a,>0,解得③=拽二2<3,①对；

-2

(9YQ1

假设数列｛〃〃｝为等比数列，设其公比为9,则即—二，-，

(S?)S｛S3

所以，S；=S§，可得a；(l+4)2=42(1+4+92)，解得q=。，不合乎题意，

故数列｛%｝不等比数列，②错；

oa9(a—a)

当〃22时，«„=--------=-^~~2>0,可得a“<a,i，所以，数列｛a,J为递减数

a

n%4%

列，③对；

假设对任意〃eN*，an>-^~,则5000GoN100000x*=100(),

1001OU

99]

所以，aiooooo=T----77^n<7nn)与假设矛盾，假设不成立，④对.

'looooo1UUU1(川

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法

来进行推导.

三、解答题

1.(2022•全国甲(文T18)(理T17)记5,为数列｛《,｝的前〃项和.已知j+〃=2a“+l.

n

(1)证明：｛4｝是等差数列；

(2)若能，生，。9成等比数列，求S“的最小值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)-78.

【解析】

[5],«=1

【分析】⑴依题意可得2s“+〃2=2%+〃，根据4=〈二。°,作差即可得到

[S„-Sn_i,n>2

an~a„-\~>从而得证：

(2)由(1)及等比中项的性质求出q,即可得到｛%,｝的通项公式与前九项和，再根据二

次函数的性质计算可得.

【小问1详解】

解：因为—+〃=2。“+1,即2s〃++〃①，

n

当“22时，2s②，

①一②得，2S“+/_2S“_]=2na,)+«-2(n-l)a,i_1-(n-1),

即2a”+2〃-1=2nan-2(/t-l)an_x+1,

即=2(〃-1),所以且〃eN*,

所以｛4｝是以1为公差的等差数列.

【小问2详解】

解：由(1)可得%=4+3,«7=«|+6,。9=4+8，

又4,%,%成等比数列，所以%2=。4.。9,

即(％+6)2=(4+3>(q+8),解得q=-12,

所以邑=-12〃+^1=9251625

所以13,----n=­

22

所以，当”=12或〃=13时(S“)n,m=-78.

5]1

2.(2022・新高考I卷T17)记5“为数列｛4｝的前〃项和，已知q=1,<7,是公差为§的

等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式;

111c

（2）证明：—।---11<2.

%%4

n（n+\\

【答案】（1）4=△——L

"2

（2）见解析

【解析】

【分析】（i）利用等差数列的通项公式求得巨=1+以〃-1）=萼，得至us（〃+2）%,

43'，3"3

利用和与项的关系得到当〃22时，a“二S-S“।=（〃+2"“_（〃+1）%一,进而得：

"""T33

CL..n+1+/x

—,利用累乘法求得a,,=」——检验对于〃=1也成立，得到｛4｝的通项公

。”一1〃一12

〃（及+1）

2­

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到工+工+・・・+,=2（1-一二］,进而证得.

axa2an\n+1）

【小问1详解】

S

4=1,.・.¥=q=1,J—1=1,

a\

c-\

S|

又•••1是公差为-的等差数列，

l«J3

•a=1+_L（〃_1）=S.s_（〃+2”"

.•.当时，s“二（”+1）包,

"T3

•••…”心当一曰"

整理得：（〃-l）a“=（〃+l）q

〃+1

即---=

%n-\

an-axx-x—x...x-——

a\a2an-2an-l

134n〃+l〃（几+1）

=lx—X—X...X----X-----=------

23n-2n-\2

显然对于〃=1也成立，

，｛《,｝的通项公式=""+I

【小问2详解】

12Ji1

an+n+\

3.（2022•新高考II卷T17）已知｛%｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且

&-a=43=,—。4.

（1）证明：4=4；

（2）求集合｛44=4“+q,l4”4500｝中元素个数.

【答案】（1）证明见解析；

（2）9.

【解析】

【分析】（1）设数列｛《,｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出;

（2）根据题意化简可得加=2卜2,即可解出.

【小问1详解】

a,+d-2b,=。［+2d—4"d

设数列｛%｝的公差为d，所以,…”=8V（《+3。）’即可解得,…

2

所以原命题得证.

【小问2详解】

由(1)知，仿=4=■，所以4=%+4X2'T=q+(加-l)d+4,即/I=2m，

亦即〃2=2b2目1,500],解得2W左W10,所以满足等式的解Z=2,3,4,…,10,故集合

｛氏也=%,+4/4根4500｝中的元素个数为10—2+1=9.

4.(2022•北京卷T21)己知…，％为有穷整数数列.给定正整数%若对任意的

,在。中存在4,4+i吗+2,…，/)■/(/2°),使得

a

4+厢+%+...+i+J=",则称。为〃―连续可表数列.

(1)判断Q：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

(2)若Q：%,%，…，4为8-连续可表数列,求证：人的最小值为4；

(3)若Q:%,%，…吗为20-连续可表数列,且4+生+…+%<20,求证:k>1.

【答案】(1)是5-连续可表数列：不是6-连续可表数列.

(2)证明见解析.(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)直接利用定义验证即可；

(2)先考虑A43不符合，再列举一个％=4合题即可；

(3)左45时，根据和的个数易得显然不行，再讨论£=6时-，由q+4+…+&<2。可

知里面必然有负数，再确定负数只能是-1,然后分类讨论验证不行即可.

【小问1详解】

。2=1,%=2,4+%=3,=4,«2+«3=5,所以Q是5—连续可表数列：易知，

不存在。/使得4+aM+…+a.=6,所以。不是6-连续可表数列.

【小问2详解】

若k43,设为Q：a,"c,则至多a+),b+c,a+b+c,4也c,6个数字，没有8个，矛盾；

当上=4时，数列Q:l,4,1,2,满足4=1,/=2,4+4=3,々=4,a,+«2=5,

q+4+4=6,生+a,+/=7,a[+生+生+%=8，knin-4.

【小问3详解】

Q:a,,a2,---,ak,若『=/最多有后种，若i*j,最多有C：利i,所以最多有

,k（k+\）

Z+C；=I2/种，

若攵45,则q,a,,•••,4至多可表亚』=15个数，矛盾，

2

从而若A<7,则4=6,区仇。,4,自/至多可表"2=21个数，

而a+b+c+"+e+/<20,所以其中有负的，从而a,b,Gd,e"可表1~20及那个负数（恰

21个），这表明中仅一个负的，没有0,且这个负的在4~，中绝对值最小，同时

中没有两数相同，设那个负数为一双〃让1）,

则所有数之和2〃?+1+，〃+2+--+〃2+5—〃?=4，〃+15,4，〃+15419=，〃=1,

.♦.{a,b,c,d,ej）={-l,2,3,4,5,6},再考虑排序,排序中不能有和相同，否则不足20个,

,.-1=-1+2（仅一种方式），

.♦.一1与2相令B，

若-1不在两端，则？,-1,2，一一形式，

若x=6,则5=6+（-1）（有2种结果相同，方式矛盾），

」.中6,同理XH5,4,3,故-1在一端，不妨为"J,2,A旦C，。'形式，

若A=3,则5=2+3（有2种结果相同，矛盾），A=4同理不行，

A=5,贝