相似三角形判定定理的证明 课件 【 基础夯实+ 精讲精研】 北师大版数学九年级上册

4.5相似三角形判定定理的证明新知导入在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明.说一说：你已经知道的相似三角形的判定定理有哪些？判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.新知讲解已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′,∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.相似三角形判定定理（1）两角分别相等的两个三角形相似.（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）.（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）.新知讲解证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,过点D作AC的平行线，交BC于点F，则新知讲解∵DE∥BC,DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形.∴DE=CF.而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.新知讲解相似三角形判定定理（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，.求证：△ABC∽△A′B′C′.新知讲解证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠B=∠ADE,∠C=∠AED，∴△ABC∽△ADE.(两角分别相等的两个三角形相似)新知讲解新知讲解相似三角形判定定理（3）三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，.求证：△ABC∽△A′B′C′.新知讲解证明：在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE.而∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△ADE.(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)新知讲解∴DE=B′C′.∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.1.已知:如图所示，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB的长.课堂练习解：∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，∴△ABD∽△ACB，∴AB:AC=AD:AB，∴AB2=AD·AC.∵AD=2，AC=8，∴AB=4.课堂练习2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求AD的长.解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴，即，∴AD=.（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG=90°，∴∠A=∠BEG，∵∠ABE+∠EBG=90°，∠G+∠EBG=90°，∴∠ABE=∠G，∴△ABE∽△EGB；如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF=90°，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB=4，求CG的长．拓展提高

拓展提高（2）∵AB=AD=4，E为AD的中点，∴AE=DE=2，在Rt△ABE中，BE===2由（1）知，△ABE∽△EGB，∴=，即：=，∴BG=10，∴CG=BG-BC=10-4=6．中考链接（2019•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF=CF；（2）若BC=6，DG=4，求FG的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//CD，AD=BC，∴△EBF∽△EAD，∴==，∴BF=AD=BC，∴BF=CF；中考链接（2019•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF=CF；（2）若BC=6，DG=4，求FG的长．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//CF，∴△FGC∽△DGA，∴=，即=，解得，F