教学设计相似三角形专题（麻城市木子店中心学校胡福祥）

教学设计：与相似三角形相关的综合专题麻城市木子店中心学校胡福祥教学内容及版本：新人教版九年级下册第二十七章第三节《相似三角形应用》学情分析：利用《相似三角形》相关知识解决数学问题，一直以来是中考的热点和难点，学生解决这类问题常有困惑，缺乏解法技巧。基于此，在学生学完《相似三角形》相关性质、判定等知识后，有针对性对学生进行中考链接，在学生已有知识经验基础上，扩展知识，提升能力。教法：以近年中考题型为背景，以数学思想为引领，提高学生分析问题和解决问题的能力。教学目标：1.利用圆的相关定理帮助寻找三角形的相似条件；会用相似三角形的性质解决有关线段的长、积、比值、比例式及图形面积问题；掌握圆与相似三角形的解题思路----关键从圆中抽取相似三角形的模型。2.能够用运动与变化的眼光去观察和研究点的运动变化过程，初步掌握动态几何中的相似解题方法；进一步发展学生的空间想象与操作能力、分析能力、渗透分类讨论，数形结合，转化等数学思想。教学重点：1.掌握圆与相似三角形的解题思路。2.点的运动变化过程中有关各种图形的计算。教学难点：1.如何利用圆的相关定理帮助寻找三角形的相似条件；运动变化过程中对临界点的分类讨论。教学媒体与工具：课件（PPT）、数轴、圆规、直尺等教学过程：一、复习准备，引入新知1.回顾：圆的切线的判定及相似三角形的判定、性质2、引入新课：（师口述黄冈市近5年《圆与相似三角形》的综合及《动态几何中的相似问题》考题情况.........）专题相似三角形与圆的综合师生活动：生回顾圆的切线的判定及相似三角形的判定、性质，积极发言；师引入课题，激发学生兴趣，让学生知道专题相似三角形与圆的综合典例讲解，掌握新知典例1（2022.黄冈中考.第20题）已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN.求证：（1）DE是⊙O的切线；【考点】圆，相似三角形【分析】（1）利用知识点：知半径，证垂直，证明DE是⊙O的切线；（2）证明△DME∽△EMN，再利用比例性质，即可得到（2）连接EN（2）连接EN∵DM⊥DE，MN为⊙O的直径∴∠MDE=∠MEN=90°∵∠NME=∠DME∴△MDE∽△MEN，∴∴证明：（1）∵ME平分∠DMN∴∠OME=∠DME∵OM=OE=⊙O半径∴∠OME=∠OEM∴∠DME=∠OEM∴OE∥DM∵DM⊥DE∴OE⊥DE∵OE为⊙O半径∴DE是⊙O的切线；针对训练1： （2022•黄冈•第19题）DCPAOBDCPAOB（1）∠PBC=∠CBD;（2）BC2=AB·BD【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质.【分析】（1）连接OC，运用切线的性质，可得出∠OCD=90°，从而证明OC∥BD，得到∠CBD=∠OCB，再根据半径相等得出∠OCB=∠PBC，等量代换得到∠PBC=∠CBD.连接AC.要得到BC2=AB·BD，需证明△ABC∽△CBD，故从证明∠ACB=∠BDC，∠PBC=∠CBD入手.（2）连接AC.∵AB是直径，∴∠BDP=90°.又∵∠BDC=90°，∴∠ACB=∠BDC.∵∠PBC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD∴=.（2）连接AC.∵AB是直径，∴∠BDP=90°.又∵∠BDC=90°，∴∠ACB=∠BDC.∵∠PBC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD∴=.∴BC2=AB·BD证明：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCD=90°.又∵BD⊥PC∴∠BDP=90°∴OC∥BD.∴∠CBD=∠OCB.∴OB=OC.∴∠OCB=∠PBC.∴∠PBC=∠CBD.DDDDCPAOB(2)OBOBA（1）CPP师生小结1：1.证圆的切线关键看已知条件：①已知半径，证垂直；②已知垂直，证半径。2.证明等积式或比例式的一般方法为：把等积式或比例式中的四条线段分别看做两个三角形的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或比例式。特别地，相似三角形与圆的综合通常涉及到利用同弧（等弧）所对的圆周角相等，切线的性质，直径所对的圆周角为直角（或添辅助线得到）等知识来构造三角形相似从而解决问题。圆板书1：相似三角形与圆的综合圆定义、平行法对应角相等类似“SSS”相似三角形类似“SAS”对应边成比例类似“AA”类似“HL”专题专题动态几何中的相似问题2典例2（2022•黄冈•第24题）已知：如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t（s）．（1）当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值；（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．【考点】相似三角形、二次函数、动点几何综合题．【分析】（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；（4）当点Q在线段OA上时，S=S△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S=S△CBM，可求得答案．解：（1）当t=1s时，则CP=2，∵OC=3，四边形OABC是矩形，∴P（2，3），且A（4，0），∵抛物线过原点O，∴可设抛物线解析式为y=ax2解：（1）当t=1s时，则CP=2，∵OC=3，四边形OABC是矩形，∴P（2，3），且A（4，0），∵抛物线过原点O，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，代入P、A坐标可得过O、P、A三点的抛物线的解析式为y=x2+3x；（（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，则CP=2t，OQ=t，∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，∵PC∥OA，∴△PBM∽△QAM，∴，且BM=2AM，∴，解得t=3，∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；（4）①当0≤t≤2时，如图3，由题意可知CP=2t，（4）①当0≤t≤2时，如图3，由题意可知CP=2t，∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；②当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，由题意可知PC=2t，OQ=t，则BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，②当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，由题意可知PC=2t，OQ=t，则BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，同（3）可得=，∴BM=•AM，∴3﹣AM=•AM，解得AM=，∴S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×（4﹣t）×=24﹣﹣3t；③当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5③当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，由题意可知OQ=t，AQ=t﹣4，∵AB∥OC，∴，即，解得AM=，∴BM=3﹣=，∴S=S△BCM=×4×=；综上可知S综上可知S=师生小结2：1.“动中求静，以静制动”是解决动态几何最有效的方法.（转化思想）2.在“动”中找到最恰当的位置“静”下来是解决问题的起点.（分类讨论）3.在“静”下来后，能抓住“静”时的特征，利用三角形全等、相似，勾股定理找等量，建方程或函数，从而寻求到解决问题的突破口。（数形结合）板书2：动态几何中的相似问题思维导图：点动形变积变思想方法：转化思想分类讨论数形结合解题思路：动手操作，整体感知，化“动”为“静”，找准分界点，分类讨论。三、全课小结，巩固新知谈谈你的收获：（畅所欲言，合作学习，共同提高）四、针对训练，拓展新知（见学案）五、教学评价及反思：在本节课中，促使学生从“重结果”到“重过程”的转变，突出数学课堂教学中探索性，恰当处理好学生自主、探究、合作的学习关系。通过多媒体课件和直观数轴，让图形活起来，引发学生求知欲；通过合作学习，课堂归纳小结，提高学生数学素养和分析解决问题的能力。在课堂教学中，我还注重了习题的发展性作用。通过由浅入深，分层次，有步骤设置问题，逐步引导学生思维步步深入，从而突出教学重点，为突破教学难点，我利用数学思想（转化、分类讨论、数形结合）引领学生，将抽象思维转化为形象感知。课堂归纳小结，适时顺势利用简洁的板书，阐明思维过程及方法技巧，形成知识经验。本节课中，我还有一个小困惑。在专题二中，引导学生从审题中，整体感知，抓住关键“字眼”，准确找出“界点”，从而分类讨论，这一过程如何把握好教师的引导和学生发散思维的发展的“度”，一味引导，让学生按老师“计划好的步骤”走，形成思维定式，还是大胆让学生尝试？，可能花费时间很长。（后来，很长一段时间，我个人觉得还是要依据学生的学情反馈，适时适当引导比较好些。）附：针对性拓展训练：（课下训练）针对训练如图，∠MON=90°，A、B分别是OM、ON上的点，OB=4．点C是线段AB的中点，将线段AC以点A为旋转中心，沿顺