2023中考数学复习资料（全国通用）分项专题10 分式方程及其应用（讲通）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题10分式方程及其应用1、了解分式方程的概念。2、会解分式方程，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题。一、分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.二、分式方程的解法去分母法，换元法．例1、解分式方程：=﹣．【答案】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验.【解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得x+1=3(2x-1)-2(2x+1)x+1=2x-5，解得x=6．检验：x=6是原方程的根．故原方程的解为：x=6．三、解分式方程的一般步骤

(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；

(2)解这个整式方程；

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.例2、解分式方程：．【答案】方程两边同乘以，得． ．． 经检验：是原方程的解，所以原方程的解是． 注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．四、解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．例3、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【要点诠释】方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．1．（2022·陕西西安市·交大附中分校九年级模拟预测）某修路队计划x天内铺设铁路120km，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】表示出原计划和实际的工作效率，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km，列出方程即可．【详解】解：原计划每天修建道路m，则实际用了（x﹣2）天，每天修建道路为m，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km得，．故选：B．2．（2022·连云港市新海实验中学九年级二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x小时，据题意可列出方程为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可以得到甲乙两队的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．【详解】解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半，∴甲队的工作效率为设乙队单独完成此项工程需要x小时，∴甲队的工作效率为由题意可得，，故选：C．3．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级开学考试）分式方程＝1的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：＝1，去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，x＝1，经检验，x＝1是原分式方程的解．故选：A．4．（2022·福建省厦门第六中学）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，则方程所表达的等量关系是（）A．提速前列车行驶skm与提速后行驶(s＋50)km的时间相等B．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开vkmC．提速后列车行驶(s＋50)km的时间比提速前列车行驶skm多vhD．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km【答案】B【分析】根据题意可以知道s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，根据路程=速度×时间公式即可得到答案，【详解】解：∵用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km∴s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，∵某次列车平均提速vkm/h，路程=速度×时间∴方程表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v

km，故选B.5．（2022·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程3＝0有解，则实数m应满足的条件是（）A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【答案】B【分析】解分式方程得：即，由题意可知，即可得到.【详解】解：方程两边同时乘以得：，∴，∵分式方程有解，∴，∴，∴，∴，故选B.6．（2022·全国九年级单元测试）一个不透明的布袋里装有3个红球、2个黑球、若千个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是，袋中白球共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】设白球有x个，根据摸出的球是红球的概率是，利用概率公式列出方程，解之可得．【详解】设白球有x个，由题意得：，解得x=5．经检验，x=5是方程的解，故答案为：C．7．（2022·哈尔滨市第六十九中学校九年级一模）分式方程的解是______．【答案】【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：，

方程两边同乘，得，去括号，得

移项得：，经检验，是原方程的解，

故答案为：．8．（2022·西安市铁一中学九年级开学考试）若关于x的分式方程﹣2＝有增根，则m＝___．【答案】0【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出x，代入求值即可；【详解】﹣2＝，，，∴，∵方程有增根，∴，∴或，当时，，不存在；当时，，解得；故答案是0．9．（2022·山东济宁学院附属中学九年级期末）某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A、B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A、B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？（3）已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元；（2）有5种进货方案；（3）购进84件A型商品，76件B型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，根据数量=总价÷单价结合用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，根据“A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案；（3）利用总利润=每件的利润×销售数量，可分别求出五个进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，依题意得：，解得：x=150，经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，∴x+10=160．答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，依题意得：，解得：80≤m≤84，又∵m为整数，∴m可以为80，81，82，83，84，∴共有5种进货方案，方案1：购进80件A型商品，80件B型商品；方案2：购进81件A型商品，79件B型商品；方案3：购进82件A型商品，78件B型商品；方案4：购进83件A型商品，77件B型商品；方案5：购进84件A型商品，76件B型商品．（3）方案1可获得的销售利润为（240-160）×80+（220-150）×80=12000（元）；方案2可获得的销售利润为（240-160）×81+（220-150）×79=12010（元）；方案3可获得的销售利润为（240-160）×82+（220-150）×78=12020（元）；方案4可获得的销售利润为（240-160）×83+（220-150）×77=12030（元）；方案5可获得的销售利润为（240-160）×84+（220-150）×76=12040（元）．∵12000＜12010＜12020＜1203