人教b版选择性必修第一册1.2.5　空间中的距离作业

1.2.5空间中的距离选题明细表知识点、方法题号两点间的距离、点到直线的距离1,2,6,7,8点到面的距离4,9,11线到面、面到面的距离3综合5,10,12基础巩固1.(多选题)已知三点A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),则A,B,C三点不可能的是(ABC)解析:因|AB|=29,|AC|=229,|BC|=29,而|AB|+|BC|=|AC|,则A,B,C三点共线,构不成三角形.故选ABC.2.已知正方体的每条棱都平行于坐标轴,两个顶点为A(-6,-6,-6),B(8,8,8),且两点不在正方体的同一个面上,正方体的体对角线长为(A)314425解析:由题意知,正方体的体对角线即为AB,所以AB=(-6-83.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(B)A.32 B.2C.32解析:两平面的一个单位法向量n0=(-22,0,22),故两平面间的距离d=|OA→·n04.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,若点P(-2,1,4)到平面α的距离为103 解析:PA→=(x+2,2,-4),而d=|PA→即|-2(x5.已知点M(5,4,-3),则M到原点O的距离为,M到y轴的距离为,M到xOy平面的距离为.

解析:点M(5,4,-3)到原点O的距离为OM=52+4因为点M在y轴上的投影为My(0,4,0),所以M到y轴的距离为(5-0因为点M在xOy平面上的投影为M1(5,4,0),所以M到xOy平面的距离为(5答案:523436.(2021·山西怀仁高二期中)已知直线l的一个方向向量为m=(1,2,-1),若点P(-1,1,-1)为直线l外一点,A(4,1,-2)为直线l上一点,则P到直线l的距离为.

解析:因为P(-1,1,-1),A(4,1,-2),所以PA→又m=(1,2,-1),所以cos<m,PA→>=m·PA→|所以sin<m,PA→>=17又因为|PA→|=26所以点P(-1,1,-1)到直线l的距离为|PA→|sin<m,PA→>=26×17.答案:17能力提升7.(2021·江苏省天一中学高二期中)如图,ABCDEFGH是棱长为1的正方体,若点P在正方体内部且满足AP→=34AB→+1A.34 B.45 C.5解析:如图,以A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则AB→=(1,0,0),AD→=(0,1,0),因为AP→=34AB→+所以AP→=(34,12,23),|AP→·AB→所以点P到AB的距离为d=|AP→|2-故选C.8.(多选题)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是△BDC1内(含边界)的一个动点,若A1P⊥BC1,则线段A1P的长可能为(ABC)A.433 B.2 D.2解析:如图,建立空间直角坐标系,设P(a,b,c),A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),A1P→由A1P→故点P在平面A1DCB1与平面DBC1的交线上,A1P长的最小值为PA1垂直平面DBC1时,此时PA1的长度为体对角线的23由体对角线的长度为23,故最短为43根据图形,最大值P在D或M点处,A1D=22,A1M=4+2=6.即线段A1P长的取值范围为[433,22又2<433<6<2A1B1C1中,AA11C与平面A1BD的位置关系为;求点B1到平面A1BD的距离为.

解析:连接AB1交A1B于点E,连接DE.可知E为AB1的中点,D是AC的中点,所以DE∥B1C.又DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,22,3),B(0,22,0),A1(-1,0,3),DB1→=(0,22,3),DB→=(0,22,0),所以n·DB令z=1,则n=(3,0,1).故所求距离为d=|n·D答案:平行310.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是底面ABCD的中心,M是CC1的中点.(1)求点A1到直线MP的距离;(2)求点C到平面A1DB的距离.解:(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,连接PA1,则A1(1,0,1),P(12,12,0),M(0,1,12),所以PA1→=(12,-12,1),PM→=所以PA1→·PM→=-14-14+所以点A1到直线MP的距离为线段PA1的长,又因为△A1BD是边长为2的等边三角形,P为BD的中点,所以PA1=62即点A1到直线MP的距离为62(2)由(1)得D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),所以CB→DB→=(1,1,0),PM→=(-12,12因为PM→·DB→=-12+12=0,所以又由(1)知PA1→⊥PM→,所以PM→=(-12,1所以点C到平面A1DB的距离为d=|CB→·PM→A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,如图,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问:线段A1B(不包括端点)上是否存在一点E,使得点A1到平面AED的距离为26解:存在.以C为原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),所以AA1→假设线段A1B(不包括端点)上存在一点E,使得点A1到平面AED的距离为26设点E到AB的距离为a(0<a<2),则E(a,2-a,a),则AE→设向量n=(x,y,z)为平面AED的法向量,则有AD即-取x=1,则n=(1,2-3a由题意可知,点A1到平面AED的距离d=|AA1解得a=1或a=0(舍去),所以E(1,1,1).所以存在点E,当E为线段A1B的中点时,点A1到平面AED的距离为26应用创新12.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF=23(1)求二面角A′FDC的余弦值;(2)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使点C与点A′重合,求线段FM的长.解:(1)取线段EF的中点H,连接A′H.因为A′E=A′F,H是EF的中点,所以A′H⊥EF.又因为平面A′EF⊥平面BEF,平面A′EF∩平面BEF=EF,且A′H⊂平面A′EF,所以A′H⊥平面BEF.如图,建立空间直角坐标系,则A′(2,2,22),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0).故FA'→=(-2,2,22),设n=(x,y,z)为平面A′FD的法向量,所以-取z=2,则n=(0,-2,2).又