2022-2023学年深圳市高一上期末考试数学模拟试卷附答案解析

2022-2023学年深圳市高一上期末考试数学模拟试卷

选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（2021秋•徐州期中）已知集合/={x|/—x—2开0},B={x[y=Jx-l}，则B=()

A.RB.[1,+oo)

C.(-CO,-，+CO)D.(-8,-1]|J[O,+00)

2.（2021春•香坊区校级期末）已知命题P：关于x的方程2用=〃?没有实数根，命题4：函

数/（x）=/L在（0,+8）上单调递增，则p是4的（)

x+1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

设角。的终边经过点尸（|,

3.（2021春•衢州期末）-y）,那么2sin6+cos。等于（)

B.一|

A-IC.1D.-1

4.（2020秋•湖北期末）下列函数中，最小正周期为万的是（)

A.y=sinxB.y=tan2xC.^=sin-xD.y=cos2x

2

5.（2021春•肥东县期中）函数=的零点所在的区间为（)

x

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

（2020秋•二道区校级期末）已知a为第三象限角，且sina=-当，则cosa=（

6.)

A.JB亚「2亚

555

2J5*

7.(2021•六模拟)设a=log25,b-5c=0.2,则a,b,C的大小关系是（)

A.a>h>cB.h>a>cC.b>c>aD.a>c>b

8.函数/(x)=cos“x+生),xwR,则/(%)()

4

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数，也是偶函数

D.既不是奇函数，也不是偶函数

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

第1页共20页

9.(2021秋•澄海区校级期中)设函数/(x)定义域且满足：

①工£(-1,0)时，f(x)>0；

②〃x)+W户)，X,”(一1,1).

则下列说法正确的是()

A./(x)是奇函数B.，(x)是偶函数

C./(x)在定义域上是减函数D./(x)在定义域上是增函数

10.(2021春•鼓楼区校级期中)已知/(%)=等$亩蛆-(：0$2学+；(0>0),则下列说法正

确的是()

A.若y=|/(x)|的最小正周期为"，则。=2

B.若/(x)在(0㈤内无零点，则0<。・，

6

7

C.若〃x)在(0,T)内单调，则0<。・§

D.若。=2时，直线x=-与是函数/(X)图象的一条对称轴

工？一X+［

11.(2020秋•如皋市期中)己知函数/&)=2(x汽)),则下列判断正确的有()

A./(x)的最小值为:B./(x)在区间［0,1］上是增函数

C./(x)的最大值为1D./(x)无最大值

12.(2020秋•淮安期中)已知函数/(x)=JJcos(2x+§,则下列结论正确的是()

A.函数f(x)的最小正周期为乃

B.函数/G)在［0,加上有2个零点

C.当x=2时，函数/(X)取得最大值

6

D.为了得到函数/*)的图象，只要把函数g(x)=6cos(x+?)图象上所有点的横坐标

变为原来的1倍(纵坐标不变)

2

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(2021•山东模拟)函数^=“'+2。|9+2020伍>0,。片1)的图象恒过定点.

14.(2010•邳州市模拟)当〃€{1,2,-1，3时，幕函数y=x"的图象不可能经过第一象限.

15.(2021•碑林区校级模拟)如图是函数/(x)=/sin(5+*)(/>0,0>0,|*|<左)的部

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分图象，则下列说法正确的编号是—

①G=2；

@（p=—;

③（-生,0）是函数/（x）的一个对称中心;

6

16.（2018秋•嘉定区校级期中）若awR,则7:二+4的最小值为一.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（2020秋•三元区校级月考）已知集合/={x|x?-2x-3汽）},8={x|x开}

（1）求集合/

（2）若全集U=R,求@N）U8.

18.（2010•静安区一模）已知函数"x）=log,x+2a+l.

x-3。+1

（1）求函数/（X）的定义域；

（2）若函数/（X）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；

（3）在（2）的条件下，记/T（X）为〃x）的反函数，若关于x的方程/T（x）=5h2'-5k有

解，求&的取值范围.

19.已知函数f（x）=cosx«sinx（x+—）.

6

（1）求函数/（x）取最大值时自变量x的取值范围；

（2）求函数g（x）=〃x-C）的单调递减区间.

4

20.（2017秋•和平区期末）若5sina-cosa=]

cosa+sina

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(1)求tana的值;

/八、—cosa+sma

(2)求------—+sinacosa的值.

cosa-s:ina

21.（2020秋•松江区期末）某网店有3（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品x（万件）,

经市场调查测算，花费，（万元）进行促销后，商品的剩余量3-x与促销费，之间的关系为

3-x=—（其中在为常数），如果不搞促销活动，只能售出1（万件）商品.

（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1（万件），促销费f至少为多少（万元）？

（2）已知商品的进价为32（元/件），另有固定成本3（万元），定义每件售出商品的平均

成本为32+3（元），若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出

X

商品平均促销费的一半”之和，则当促销费f为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润

最大？此时商品的剩余量为多少？

22.（刈9春•葫芦岛月考）已知函数〃x—贯+沙曲

（1）若加=1,求不等式/（X）拜的解集;

(2)若g(x)=x2-2x+2,对于任意的王e[0,1],x2e[0,2]都有/(xj+lwg®)，求用

的取值范围.

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2022-2023学年深圳市高一上期末考试数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题，满分40分，每小题5分)

1.(2021秋•徐州期中)已知集合/=/0},8={x|y=J7=1},贝Ij4j8=()

A.RB.[1,+oo)C.(-oo,,+oo)D.(-oo,

TO，y)

【答案】c

【考点】并集及其运算

【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算

【分析】可求出集合Z,B,然后进行并集的运算即可.

【解答】解：/=-x-2H)|,S={x|=A/X-1},

;./={x|x•-1或xfB),8={x|,

=,+oo).

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.(2021春•香坊区校级期末)已知命题p：关于x的方程2用="没有实数根，命题q：函

数/*)=*-在(0,+8)上单调递增，则p是4的()

X+1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【考点】充分条件、必要条件、充要条件

【专题】综合题；转化思想；转化法；简易逻辑：逻辑推理；数学运算

【分析】根据题意求得p、q中，"的取值范围，可解决此题.

【解答】解：由p：关于x的方程2凶=机没有实数根，可得用<1,

由命题夕：函数/(x)=』-在(0,物)上单调递增，可得w<0,

X+1

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:.p是q的必要不充分条件,

故选：B.

【点评】本题考查函数性质及充分、必要条件，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题.

34

3.（2021春•衢州期末）设角。的终边经过点P（1,那么2sinO+cos。等于（）

22

A.-B.--C.1D.-1

55

【答案】D

【考点】任意角的三角函数的定义

【专题】计算题：对应思想；定义法；三角函数的求值；数学运算

【分析】利用任意角三角函数的定义，分别计算sin®和cos。，再代入所求即可得解.

_4

【解答】解：利用任意角三角函数的定义，sin^=,5==,4,

3

2sin。+cos。=2x（一令+（=-1.

故选：D.

【点评】本题主要考查了任意角三角函数的定义及其用法，属基础题.

4.（2020秋•湖北期末）下列函数中，最小正周期为万的是（）

A.y=sinxB.y=tan2xC.y=sin；RD.y=cos2x

【答案】D

【考点】三角函数的周期性

【专题】函数思想；三角函数的图象与性质；数学运算；计算题

【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用判断/、8、C、。的

结论.

【解答】解：/、该函数的最小正周期为2%，故不符合题意.

8、该函数的最小正周期为乙，故不符合题意.

2

C、该函数的最小正周期为4万，故不符合题意.

。、该函数的最小正周期为"，故符合题意.

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故选：D.

【点评】本题考查了三角函数的性质，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于基础题.

5.(2021春•肥东县期中)函数/(x)=L-/〃x的零点所在的区间为()

x

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【考点】函数零点的判定定理

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算

【分析】=在(0,+8)为减函数，结合/(1)>0,f(2)<0,可得答案.

X

【解答】解：函数的定义域为(0,+8),而y=,在(0,+8)为减函数，y=/”x在(0,+<»)为增

x

函数，

八幻=’-加在(0,+8)为减函数，

X

又/(I)=1>0,/(2)=；->2=Inyfe-/〃4<0,

所以由零点存在性定理可知，函数/(》)在区间(1,2)有零点.

故选：B.

【点评】本题主要考查函数零点存在性定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

6.(2020秋•二道区校级期末)已知a为第三象限角，且sina=-=、2,则cosa=()

5

A,且B.一且C,撞D.一撞

5555

【答案】B

【考点】同角三角函数间的基本关系

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简求解.

【解答】解：因为a为第三象限角，且sina=-2四,

5

则cosa=sin2a==~~•

故选：B.

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础

题.

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7.(2021•六模拟)设a=log25,b=521,c=0.251则a,b,c,的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【考点】对数值大小的比较

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算

【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.

【解答】解：,.•2=log24<log25<k>g：！8=3,2<。<3,

V52-1>52=25,6>25,

•••0<0.25<0.2°=1,.-.0<c<l,

:.b>a>c,

故选：B.

【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指

数函数的性质的合理运用.

8.函数/(x)=cos“x+生)，XGR,则〃x)()

4

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数，也是偶函数

D.既不是奇函数，也不是偶函数

【答案】D

【考点】函数奇偶性的性质与判断

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用：逻辑推理

【分析】先利用二倍角公式化简函数，再根据奇偶函数的定义判断即可.

【解答]解：/(x)=^[1+cos(2x+y)]=y(l-sin2x)=-^sin2x.

此函数既不是奇函数也不是偶函数.

故选：D.

【点评】本题考查简单的三角恒等变换以及函数奇偶性的判断，属于基础题.

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.(2021秋•澄海区校级期中)设函数/(x)定义域(7.1),且满足：

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①xw(-1,0)时,/(x)>0；

②，(劝+/。)=〃户)，X，ye(-1,1).

1+孙

则下列说法正确的是()

A./(x)是奇函数B.〃x)是偶函数

C./(x)在定义域上是减函数D./(x)在定义域上是增函数

【答案】AC

【考点】奇偶性与单调性的综合

【专题】计算题；探究型；综合法；定义法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算

【分析】由条件②，令》=了=0,可得，(0)=0,再令y=-x,即可得到/(》)+/(-幻=0,

从而可得函数的奇偶性，判断选项/,8;利用函数单调性的定义,结合条件①可得函数/(x)

的单调性，从而判断选项C,D.

【解答】解:，。)+，(历=〃户),

令x=y=0,贝旷(0)+/(0)=/(0),

所以/(0)=0,

令^=-工，则/(x)+/(-x)=/(0)=0，

又因为,

所以/(x)为奇函数，故Z对，8错；

任取-1<x,<x2<0,

所以/(占)一)=/(芭)+f(-X2)=/(J*2)，

1-x1x2

因为一1cM<12<0，所以土一工2<0，0<石工2<1，所以1一项工2>°，

所以立口<0,因为AzjL+]=(l+q)(l+x?)>0,所以卫口2>_i,

1-XjX21-XjX21-X(X21-XjX2

所以-1<3口2<o,

1-X1X2

由条件①得/-(Az^)>0,

1-XjX2

所以/G)-/(%)=>o，

所以〃x)在(-1,0)上单调递减，

所以/(x)在(-1,1)上单调递减，故C对，。错.

故选：AC.

第9页共20页

【点评】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的判断，属于中档题.

10.（2021春•鼓楼区校级期中）已知/（刈=争2-32号+；3>0）,则下列说法正

确的是（）

A.若y=|/（x）|的最小正周期为*则0=2

B.若/（x）在（0,万）内无零点，则0<3・,

6

7

C.若/（x）在（0,万）内单调，则0<。・§

D.若。=2时，直线x=-与是函数/（x）图象的一条对称轴

【答案】BCD

【考点】命题的真假判断与应用

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质：逻辑推理：数学运

算

【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质，单调性，周期性

和对称性的应用判定/、B、C、。的结论.

：:

【解答】解：函数/（%）=且$皿5-<：0$竺+」=正$访5-1（；055=$指（08-3，

222226

对于Z：当口=2时、/（X）=sin（2x--）的最小正周期为兀，由于函数|/（x）|的周期减半，

6

则最小正周期为工，故4错误；

2

对于8：令工=0,-,由于%£（0,乃），所以8-2w（-乙⑷万一工），

66666

由于/（x）在（0,外内无零点，x=0是sinx的零点，

所以CO7T-—>0,

6

故故5正确；

6

对于C：由于sinx在［-工，工］上单调递增，所以sr—工•工，

2262

所以0<0・4,故C正确：

3

对于。：当。=2时，函数/（-二）=sin（-"一马=1,故直线x=-女是函数“X）的一条

3363

对称轴，故。正确.

故选：BCD.

第10页共20页

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，周期性，对称

性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

X2—X+］

11.(2020秋•如皋市期中)已知函数/(x)="2。开°)，则下列判断正确的有()

x+1

A./(x)的最小值为;B.“X)在区间［0,1］上是增函数

C./(x)的最大值为1D.f(x)无最大值

【答案】AC

【考点】基本不等式及其应用

【专题】计算题：函数思想；转化法；函数的性质及应用；不等式；数学运算

【分析】由/(X)=l--J，分x=0和xwO,可得/(O)=o,/(x)=l-----，借助基本

X+1.1

x+—

X

不等式求出了(X)的值域，即可判断.

【解答】解：/(x)=X；让1=亡!二=1-4,

x+1k+1+1

当x=0时，/(0)=1,

当XM0时，/(X)=l-----j-,

XH--

X

由于y=X+!在(0,1］上单调递减，

X

・・・/(%)在［0,1］上单调递减,故5错误,

•・•x>0，

.•.X+-H2.L-=2,当且仅当x=l时取等号,

XVX

综上所述“X)的值域为g,1］,

故选项NC正确，选项。错误，

故选：AC.

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了函数的值域，属于中档题.

第11页共20页

12.(2020秋•淮安期中)己知函数/(x)=VJcos(2x+。)，则下列结论正确的是()

A.函数/(x)的最小正周期为万

B.函数/(X)在[0,句上有2个零点

C.当x=2时，函数/(X)取得最大值

6

D.为了得到函数〃x)的图象，只要把函数g(x)=6cos(x+?)图象上所有点的横坐标

变为原来的,倍(纵坐标不变)

2

【答案】ABCD

【考点】函数y=/sin(ox+s)的图象变换：命题的真假判断与应用；三角函数的周期性

【专题】函数思想；转化法；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算

【分析】/中，根据函数解析式求出最小正周期；

8中，令〃x)=0,求出“X)的零点；

C中，计算》=至时函数/(x)的值即可；

6

。中，根据图象平移得出命题正确.

【解答】解：对于/,函数7•(x)=Gcos(2x+q)的最小正周期为7=,=万，4正确；

jr-rr

对于8,令/(x)=o,+y=+y,keZ；

%=3左4+春，keZ；XG[0,时，x=2或％=需’/(无)有两个零点，8正确；

对于C,时，函数/(X)=GCOS(2X2>+巴)=百，取得最大值，C正确；

663

对于。，把函数g(x)=A/3COS(X+9)图象上所有点的横坐标变为原来的1倍(纵坐标不变),

即可得出函数/(x)=JJcos(2x+q)的图象，。正确.

故选：ABCD.

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(2021•山东模拟)函数y=a"-"+2020(°>0,aw1)的图象恒过定点_(-2019,2021)

【考点】指数函数的单调性与特殊点

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析

第12页共20页

【分析】令基指数等于零，求得X、V的值，可得函数的图象经过定点的坐标.

【解答】解：对于函数…39+2020（。>0,aW1）,

令x+2019=0,求得x=-2019,y=2021,

可得它的图象恒过定点（-2019,2021）,

故答案为：（-2019,2021）.

【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题.

14.（2010•邳州市模拟）当时，幕函数y=x”的图象不可能经过第四象限.

【考点】基函数的图象

【专题】计算题

【分析】因为x>0时，x">0,故基函数了=》"的图象不可能经过第四象限.

【解答】解：由指数基的性质，当x>0时，/>0,故鼎函数丁=》"的图象不可能经过第四

象限.

故答案为：四

【点评】本题考查寻函数的图象、指数幕的性质，属基础知识的考查.

15.（2021•碑林区校级模拟）如图是函数/（x）=Nsin（0x+9）（/>0,〃>0,|夕|<乃）的部

分图象，则下列说法正确的编号是①②⑷.

①。=2；

③（-三,0）是函数/（x）的一个对称中心;

6

【答案】①②④.

第13页共20页

【考点】由y=Asm((Dx+(p)的部分图象确定其解析式

【专题】转化思想；综合法：三角函数的图象与性质；数学运算

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出力,由周期求出。，由五点法作图求出夕的值，再

利用正弦函数的图象和性质，得出结论.

【解答】解：由函数/(x)=Zsin(ar+s)(/>0,。>0,|*|</)的部分图象知,

A=2,函数/(x)的最小正周期7=2x(1^-^)=万，

所以，3=生=2,故①正确；

T

因为/(—)=2sin(2x—+^)=2sin(—+夕)=2,

12126

所以11^+9=2”万+工，keZ,解得w=24乃一加，keZ,

623

O-TT

又|0</，所以夕=奇，故②正确；

函数f(X)=2sin(2x+.

因为/(-令=2sin[2x(_令+g]=2siny=币*0,

所以(-工,0)不是函数/(x)的一个对称中心，故③错误;

6

令2加；r+工•2x+'^•Zm/r+,msZ,

232

得m冗•x*mx-\--，〃？£Z，

1212

、[,1n-4-137c77ir-j-i、/「47r[13〃77T-

当加二一1时，------------,因为[一肛----]u[r-----,----],

121251212

所以函数/(x)在区间［-肛-今］上是减函数，故④正确,

【点评】本题主要考查由函数y=/sin(s+p)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点

第14页共20页

坐标求出4,由周期求出。，由五点法作图求出夕的值，正弦函数的图象和性质，属于中

档题.

16.（2018秋•嘉定区校级期中）若“eR,则隼上士的最小值为_26一

Va2+1

【答案】2也.

【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式及其应用

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运

算

【分析】化简所求表达式，利用基本不等式求解最小值即可.

［解答］解：:+，="/二十3-y/a2+1+,3.煦［ja。+］・/3=2A/3,

222

yja+1y/a+1'y/a+1

当且仅当。=±五时，取等号，所以。€及，则5二t的最小值为：2百.

故答案为：2月.

【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，是基础题.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（2020秋•三元区校级月考）已知集合/={x，-2x-3开0},8={x|x^l}

（1）求集合N

（2）若全集U=R,求（q/）|j8.

【考点】1，：交、并、补集的混合运算

【专题】11：计算题；37：集合思想；40：定义法；5J：集合

【分析】（1）解不等式3利，能求出集合4.

（2）由集合Z={x|x•-1或肝6}.全集U=R，求出名/={x|-l<x<3},再由8={x|x开1},

能求出Q./）UB.

【解答】解：（1）•.•解不等式f-2x-3和，得x・-l或X、，

集合A={x\x2-2x-3H）}={x|x•-1或x'}.

第15页共20页

（2）•集合4={x|x•-1或肝8}.全集U=H,

药4={x|-1<x<3},

*/B={x|xH},

.•.（^^）|JB={X|X>-1}.

【点评】本题考查集合的求法，考查补集、并集的求法，考查一元二次不等式、补集、并集

等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

18.（2010•静安区一模）已知函数/（x）=log」+2a+l.

x-3a4-1

（1）求函数/（X）的定义域；

（2）若函数/（X）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；

（3）在（2）的条件下，记/T（X）为〃x）的反函数，若关于x的方程广（》）=5%2-5%有

解，求％的取值范围.

【答案】A

【考点】函数奇偶性的性质与判断；对数函数的定义域；反函数；对数函数图象与性质的综

合应用

【专题】计算题；压轴题

【分析】（1）求函数的定义域，即真数大于零，解含参数的不等式；

（2）利用定义域关于原点对称，求出a的值；然后再看与/（-x）的关系，确定函数的

奇偶性；

（3）求出函数的反函数，分离参数，转化为求函数的值域.

【解答】解：（1）X+2"+1>0,

x-3a+1

所以当a>0时，定义域为（TO,-2a-l）U（3a-l,+oo）

当a<0时，定义域为（-8,3a-l）O（-2a-l,+8）；

当a=0时，定义域为（-8,>+<»）（4分）

（2）函数/（x）的定义域关于坐标原点对称，

当且仅当-2a-l=-（3a-l）=a=2,

丫35

此时，f（x）=log-----（6分）

2x-5

对于定义域（TO,-5）（5,+oo）内任意x,-xeD,

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X+

/(-x)=log2=log2-——=-f(x),所以/(x)为奇函数；(8分)

-x-5x+5

当XW(5,~HX),/(x)在(5,位)内单调递减；

由于/(x)为奇函数，所以在(-叫-5)内单调递减；(10分)

(3)/“(%)=I：+D,xwO(12分)

2—1

4-1/_i_1

方程广'(x)=5h2*-5k即——-=A(2A-1),令2、=f,则f>0且"1,得Z=，一、，

2v-1"I)?

又已中e(0,+8),所以当％>0,/T(x)=5h2*-5左解.(14分)

【点评】考查了分类讨论的思想方法，换元的思想方法；函数奇偶性的判定；特别注意换元

后，新变量的取值范围，属难题.

19.已知函数八编二以^^^也武工+巳).

6

(1)求函数/(X)取最大值时自变量X的取值范围；

(2)求函数g(x)=/(x-马的单调递减区间.

【答案】(1)函数“X)取最大值时自变量x=A;r+生，keZ.

6

(2)函数g(x)的单调递减区间为［版■+言，左》+詈］，kwZ.

【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性

【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算

【分析】(1)由三角恒等变换将函数/*)化为y=/sin(ox+O)的形式，再利用三角函数的

性质求解即可；

(2)由(1)可求得函数g(x)的解析式，由正弦函数的单调性即可求解.

【解答】解：(1)/(X)=cosx»sin(x+—)=cosx«(—sinx+—cosx)

3

2s.inxcosx+—1cos~2x

2

V43・r1cl

sin2x+—cos2x+—

44

1.行4、1

=­sin(2xH—)4—.

264

所以函数〃x)的最大值为:+(=(,

jr-rr冗

此时2%+—=2〃乃+—,kwZ,即1=左乃+—,keZ.

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、711TC1

(2)g(x)=/(x--)=-sin(2x-y)+-»

令2k兀+—>2x一—•2k7i+—，keZ

2329

9

解得%万+也•%k7r+9keZ、

1212

所以函数g(x)的单调递减区间为体力+2，^+―],keZ.

【点评】本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，正弦型函数

最值的应用，属于中档题.

20.（2017秋•和平区期末）若5sina-cosa=]

cosa+sina

（1）求tana的值；

/八5cosa+sina.

12)求----------+sin«cosa的值.

cosa-sina

【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值

【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值

【分析】（1）把已知等式化弦为切，求解可得tana的值;

（2）把要求值的式子化弦为切，代入（1）中求得的tana得答案.

【解答】解：(1)由5sin…。Sa”得善吧二1=1,

cosa+sina1+tana

即5tana—1=1+tana,解得tancr=—；

2

cosa+sina.1+tanasinacosa

(2)+smacosa=+——；-------—

cosa-sina-------------1-tansina+cos~a

111

1H—

1+tanatana17

--------1----;----」+_2_

1-tanartan~a+1T

1——-+1

24

【点评】本题考查三角函数的化筒求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题.

21.（2020秋•松江区期末）某网店有3（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品x（万件）,

经市场调查测算，花费，（万元）进行促销后，商品的剩余量3-x与促销费，之间的关系为

3-x=—（其中人为常数），如果不搞促销活动，只能售出1（万件）商品.

/+!

（1）要使促销后商品的剩余量不大于01（万件），促销费f至少为多少（万元）？

（2）已知商品的进价为32（元/件），另有固定成本3（万元），定义每件售出商品的平均

成本为32+3（元），若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出

X

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商品平均促销费的一半”之和，则当促销费f为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润

最大？此时商品的剩余量为多少？

【答案】