专题平面向量常见题型与解题指导

时间：二O二一年七月二十九日平面向量见题型与解指导之巴公开创作一、时间：二二年七月二十九日二、考回顾1、本章框图2、高考要求1、解量概,掌向量的几何暗示了解共线向量的概念.2、掌向的加法减法的运算法则及运算律.3、握数与向量的积的运算法则及算律,理两向量共线的充要条件.4、了平向量基定理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.、掌平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可处置有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.6、握线段的定比分点和中点坐标公式,而能熟练运用；掌握平移公7掌握正、余弦定理并能初步运用它们解斜三角形.、通过三角形的应用的教学继提高运用所学知识解决实际问题的能.3、热点分析对本章内容的考查主要分下三类：1.以选择、填空题型考查章的基本概念和性质.此题一般难度不年夜,用解有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题2.以答题考查圆锥曲中的典范问题.此题综合性比力强,难度年夜以析何的惯例题为.时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日3.向量在空间中的应用在B类教材中.在空间坐标系下,通过向量的坐标的暗示,运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质在复习过程中,抓源课本高课的指导方针.本考题年夜大都是课本的变式题,即于本.因此掌双、精通课本是本章关键.分析近几年的高考试题,有平面向量部份突出考查了向量的基本运算.对和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容,作为学习解几何的基本工具,在相关内容中会进行考查.本章另一部份是斜三角形,它是查的重点.总而言之,平面向量这一章的学习应足基础,强化运算,重应用.考查的重点是基础知识和基本技能4、复习建议由于本章知识分向量与解三角形两部份,所以应用本章知识解决的问题也分为两类一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并运向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一是运用正、余弦定理正确地解斜三角形并应解斜三角形识解决丈量不成达到的两点间的距离问题在解决关于向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正地进行向量的各种运算,进步加深对“向量”这一二维性的量实质的认识,并会用向量处置问题的优越性二向的坐标算体现了数与形互相转化和密切结合的时间：二O二一年七月二十九日

1211813时间：二O二一年七月二十1211813思想,所以要通过向量和坐标法的运用进步体会数形结合思想在解决数学问题上的作.在解决解斜三角形问题时一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要会解斜三角形是重要的丈量手段,通学习提高解决实际问题的力二、罕见题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常呈现在选择题填空题中在复中充沛理解平面向量的相关概念,熟掌握向量的坐标运算、数量积运算,掌握两向量共线、垂直的充要件例1：知a是以(3,－1)为起点且向b=(－3,4)平的单元向量则向量终点坐标是思路分析：与a平行的单元向量e=±

aa|方法一：设向量a的终点坐标是(,),则=(-3,+1),则题可知()3(1)（x－2＋11

解得

x5y5

或

18xy

,故(,-)或,-)5方法二

与向量=(-3,4)平行的单元向量是±(-3,4),故得5a＝±(-,5可得结果

),从向a的点标是(,)=－(3,即点评：向的概念较多,且容易混淆,在习中要分清、理解各概念的实质,注区共线向量、平行向量、同向向量、反向向时间：二O二一年七月二十九日

111133时间：二O二一年七月二十九日111133量、单元向量等概念例2：已知|a|=1,|b|=1,a与b的角60°,x=2a－b=3－,则x与y的角余是多？思路分析：要计算x与y的夹角θ需出x|,|y|,x·y的值计算时要注意计算的准确.解：由知a|=|b|=1,a与b的角α为60°,得a·=||||cos=.2要计算xy的夹角θ,需求出|,||,x·y的值∵||=x=(2－)=42－4a·bb2=4－4×+1=3,2|y|=y2=(3b)=9b－6b·+a=9－6×+1=7.2x·y=(2－b)·(3b－a)=6ab－22－32+·b=7·－2a－3b

=7×－2－3=－,22又∵x·yx||ycos,即=3×cos,∴cos=－22114点评：①本题利用模的性质||2=a,②计算,y的模还可以借助向量加法、减法几何意义获得：如图所示,设=,

=a,=2a∠BAC=60°.由向减的何意义得=AD－

=2a－.由弦理易得BD|=3,即|x|=,理可得|y|=

7

.题型二：向量共线与垂直条件的考查例1．平面直角坐标系中O为坐标原点,已两点A(3,1),B(－1,3),若C满足

OCOA

,其中

,

∈R且

+

=1,求C的时间：二O二一年七月二十九日

t3t221t3t221时间：t3t221t3t221轨迹方程.解：（法一）设C(x,),则=(,),由OC=(,)=α(3,1)+β(-1,3)=(3-β,α+3β∴

xy

,（从解出α）又∵+β＝1

消去α、β得x+2-5=0（法二）利向量的何运算考虑定比分点公式的向量形式,结合条件知：A,B,C三共线,故点C的迹方程即为直线AB的程＋2－5=0,例2．已知平面向量＝(

3

,－1),b＝(1

,

3

).(1)若在实数2

2k和,便x＝a2

＝ka＋b,且xy试求函数的关系式k＝f(t)；(2)根(1)的,确定的单调区间思路分析：①欲求函数关系式k=f(t),只需到k与t间的等量关系k与之间等量关系怎么获得？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、界说法）导数法是单调区间的简捷有效的方法？解：（1）一由题意x＝(,

),y＝(t－k,t又22

xy故k)＝0.

x·y＝×t－k）×(2

t＋整理得：t即k＝t－t.4法二：∵a＝(

3

,－1),b＝(

12

,

32

),∴.ab＝1且a⊥时间：二O二一年七月二十九日

1133例3：a已知平面向量＝(,－1),3＝1133例3：a已知平面向量＝(,－1),3＝191b∵x⊥y,∴x·y即－

a

2＋t(t－3)2＝0,∴t

－3t－4k＝0,即k＝t－t4(2)由(1)知：＝f(t)＝t3－t∴kˊ＝f＝t3－,444令kˊ＜0得－＜t＜1；kˊ＞0得t＜－1或t＞1.故k＝f(t)的单调递加间是(),调递增区间是（－∞,－1）和（＋∞点评：第（1）问中两解法是解决向量垂直的两种罕见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量直的充要条件,其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的（但运算过程年夜年夜简化,值注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新知识交汇点处的综合运用.＝(,),若在为零22的实数和角α,使向c＝a＋(sinαb,＋(sinb,且c⊥d,试求实数k的值范.解：由条件可得：＝(sin－)－,而－1≤sin≤1,4∴当sinα＝－1时k取年值；sinα时,取最小值－.2又∵∴k的取值围为

[

12

,0)(0,1]

.点拨与提示：将例题中的t略加改动,旧题新掘,现了意想不到的效果很地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力时间：二O二一年七月二十九日

1,时间：二O二一年七月二十九日1,例：知量

a2),2,1)

,若正数k和t使得量t

1yabt

垂直,求k

的最小值.解：y[a(t

1]•(ab)0t∵

a2),

,a|=3,||=3a－＋

2

,代上式－3k

t

tt当且仅当t=,即t=1时取＝号即k最小值是t2.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合,题目新颖而又巧,既符合知识的“交汇处”构题又强对双基的考查例7设函数f()＝其中向量a＝(2cos,1),b＝(cos,3sin2),x∈R.（1）若f()＝1－且

x∈[－

3

],求；（2）函数y＝2sin2x图象按向量c＝(m,n)(m﹤)2平移后获得函数＝f(x)的图象求数m、n的值思路分析：题主要考查平面向量的概念和算、平移公式以及三角函数的恒等变换等本技能解：依设,f(),1）·(cosx,3sin2)＝2cos

x＋

3

sin2＝1x

6

)由1x＋)=1－3,sin(2＋)＝－.66∵－≤≤,∴≤2x＋≤326

,∴2＋=－,6

即时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日x＝－.（2）数y＝2sin2x的象向量＝（m,n）移后获得函数＝2sin2(x－m)+n的图象,即数y＝f()的象由1)得f()＝

2sin2()12

∵

＜,∴m－,n＝1.212点评：①把函数的图像向量平移,可以看成是C上一按量平移,由些点平移后对应点所组成的图象是Cˊ,明了以上点的平移与整体图象平间的这种关系,也就找到了此问题的解题途径②般,函y＝f()的图象按向量a,k)平后的函数解析式为－k＝f（－h）、例：知a（cos,）,=（cos,sin）(0<α<<),（1）求证：ab与a-b互垂直；）若kab与akb的年夜小相等(k∈R且≠0),求β－α解：（1证法一：∵a=（cos,α）,b（cossin）∴a+b＝cos+cos,αsincos,-sin）

ab＝-∴(a+ba-b)=（cos+cos,+sin）·cos-cos,-sin）=2α-2+2α-2=0∴(+b)⊥(a-)证法二：∵a（cos,=（cos,sin）∴||＝1,||＝1∴(+b)·(a-)=2-b=|a|2-||2=0∴(+)⊥(a-b证法三：∵a（cosαα）,b（cosβ）∴|a＝1,||时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日记OA,OB＝b则|OB|=1,又α≠β,∴、、点不共.由向量加、减法的几何意可知以OA、为边平行四边形OACB是菱中OC＝+b,BA＝ab由菱形对角线互相垂直知a+)⊥(-b)（2）：已知得+|与a-kb|,又

∵

|ka+b

2

＝(α+cosβ)2+(+sinβ)=2+1+2(－),|+|2(β－α),

2

＝(α-)+(-β)=k+1-∴2(－)=-2(－)又∵k≠0∴(－α∵0<αβ<π∴0<－<π∴－=

注：本题是以平面向量的知识为平台,查了三角函数的有关运算,同也体现了向量垂直问题的多种证明方法,经使用的方法有三种,一是根据数量积的界说证明,二是利用数量积的坐标运算来证明,三是利用向量运算的几何意义来证明.题型四：向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是形结合转换的桥梁和纽带,文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程.例：设G、H分别非边三角形ABC的重心与外心A(0,2),B－2）

AB

(λ∈R).（Ⅰ）求点x,y)的轨迹E的程；（Ⅱ）过点(2,0)作直线L与线E交点M、N两,设时间：二O二一年七月二十九日

x即+x=,x=212得12x即+x=,x=212得12OPOM

时间：二O二一年七月二十九日,是否存在这样的直线L,四边形OMPN是矩形？若存在求直的方程若不存在试明理由.思路分析：（1）过向量的共线关获得坐标的等量关系.（2）根据矩形应该具备的充要件获向垂直关系,结韦定,求得k的.解：（１）由已知得

xG)3

,

又

H

,∴H(,0)3∵CH=HA∴

xxx()2)3)33124（2）设l方程为=k(代入曲线E得（3k+1）2-12k

2+12(k-1)=0设N(),Mx),则x11221

12212(2k23∵

OPOM

,∴四边形OMPN是行边形若四边形OMPN是形则

NOM∴x+y=0∴1212

12(12(k24k2(4)k=kk3k2∴

直线l为：=

y3(2)点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者间巧妙结合的问题例

10：已知椭圆方程

4

2

,过

B（－1,0）的直线l交随圆于C、D两点交线＝－4于E点B分的分λ、2．证：λ＋λ＝012解：l的程为y＝k(＋1),入椭圆方程整理得（4k2＋1）2＋8kx＋4(k－1)设

C（xx,则＋＝122212

8k4k

24kx4k

.时间：二O二一年七月二十九日

121时间：二O二一年七月二十九日121由

CBBD1

得

()(x)112所以

x12

xx2

.同理记

E

(yCEEDE得

4),1

xx111xx222

xxxx)11(4)22

其中

x)

kk

01

.例11：定抛物线C:2

＝4x,F是C的点过F的直线l与C相交于A、B的率1,求A与OB夹角的余弦.解：C的点为F（1,0直线l的斜率为1,以的方程为yx－1,将y＝－1代方程y2=4,并整理得x－6x＋1＝0设A（）,B(,y),有x＋xx＝1,11221212从而·＝12＋12＝21x2－(x1+2)+1－3︱OA·︱OB︱x2

2

·

＝41,cosOB＝

OAOA

＝

例．已点G是ABC的心A(0,－1),B(0,1),x轴上有一点M,满|MAMC|,GM(∈R)⑴求点C的迹程；⑵若斜率为的线l与点C的迹交于分歧两点P,Q,且足APAQ|,求k的值范围．[分]本题依托量给出等量关系既考查向量的模、共线等基础知识又查动点的轨迹直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系,陈新组,考基础知识和基本方法.依照求时间：二O二一年七月二十九日

xyxA时间：二