专题01 有理数思维导图及习题

专有数【维图【识点知点有理基概有理数概理）正：于数叫做正数。负：数前面加上符号-”的数叫负数。有理数的分类（两种思维图）数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴✓轴的三要素：原点、正方、单位长度（重点）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。✓轴上的点表示的从左到依次增；原点左边的数是负数，原点右边的数是正.【注意】1.数轴是一条直线，可向两段限延伸。2.在数轴上原点，正方向，单长度的选取需根据实际情况而定。相反数只有符号不同的个数叫做互为反（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）绝对值绝值概：班数轴上表示a数与原点之间的距离叫做数a的对值。绝值意：正数的绝对值是它本身；

负数的绝对值是它的相反数；0的对值是0。（互为相反数的两个数的绝对值相等比较大1）数轴上两个点表示的数，右的总比左边的大。2）正数大于0，负数小于0，数大于负数。3）两个数较，绝对值大的小4）两个数较，绝对值大的大常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。知点有理四运有理数加（点有数加法确定符号，再算绝对）1.同号两数相加，取相同的符号并把绝对值相加；2.异号两数相加，绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小绝对值；3.互为相反数的两个数相加得0果两个数的和为0，么这两个数互为相反数）4.一个数同0相，仍得这个数。有数加运律加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即

a

；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即

。有理数减有数减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。即

a

。注两个变化：减号变成加号；减变成它的相反数。有理数加混运规：用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算步）法化加法；（2省略括号和加号；（3）运用加法运算律使计算简；（4运用有理数加法法则进行算。

注运用加法运算律时，可按如下点进行：（1）同号的先结合；（2）同分母的分数或者比较容通分的分数相结合；（3）互为相反数的两数相结合（4）能凑成整数的两数相结合（5）带分数一般化为假分数或分为整数和分数两部分，再分别相加。有理数乘（点有数乘法：（1）两数相乘，同号得正，异得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相，都得0.倒：积是的两有理数互为倒。没有倒数

）多有数乘法及律（1）几不是的数乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。（2）几个数相乘，有一个因数0积为0；反之，如果积为，那么至少有一个因数是0.注带分数与分数相乘时通把分数化成假分，再与分数相乘。有理数乘运律乘交律两数相乘，交换因数的置，积相等。即

。乘结律三数相乘，先把前两个相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即

。乘分律一数同两个数的和相乘等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即

。有理数除有数法则（1）除以一个不为0的，等于乘以这个数的倒数。即

。（2）两数相除（被除数不为0号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除任何不为0的数，都得0。

aana的形式，其中是aana的形式，其中是数数位只有一位的数（即有理数乘混运运顺：左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。（注分数应首先化为假分数进行运算）有理数四混运运顺：乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。注除法一般先化为乘法，带分数为假分数，合理使用运算律知点有理的方乘方（点一般地，

个相同的因数相，即

，记作

，读作的次。求个同因数的积的运算，叫做乘，乘方的结果叫幂。在

中，叫做底，叫做指。读的次方，也可以读作的次。当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。乘的律负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数0的何正整数次幂都是有理数乘方的运算方法：1.根据乘方的符号规律确定结的符号。2.计算结果的绝对值。有理数混运运顺）乘方，再乘除，最后加减（2）同级运算从左到右进行；（3）如有括号，先算括号里的按小括号、中括号、大括号的顺序。科学记法把一个大于10的记成

n

是整数，这样的记数方法科记法科学记数法表示一个数时10的数比原数的整数位数少1.把

n

还原成原数时，只需把的数点往前移动位。近似数有数在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都近似数似小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）一个近似数从左边第一位非0的字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数有效字一个近似数有几个有

效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。精度表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。【查型考题一有理数念解【题路理有理数的定义，熟练握与正确理解有理数的分类是解题的关键。典例西安一模）在

，，，四个数，有理数的个数为（）3A4

B3

C．D．【答案】B【提示】根据有理数的定义，即可解答．【详解】在

，，1.62，个数中，有理数为，，0共，故选B7变式1-1南市模拟）设是小自然数b是大的负整数是绝对值最小的有理数bc三数的和为（）A1

B0C1D．存在【答案】A【提示】先根据题意得到、b、c的值，再相加即可得到结.【详解】解：由题意得，c=0，，故选变式1-2滨州市期末）在下列实数：

、、

、、

、﹣中有理数（）A1个

B．2个

C．

D．【答案】D【提示】由题意根据有理数的定义：整数与分数统称有理数，进行提示即可判断．【详解】解：∵27＝，＝，∴3

，，

，﹣是理数，它的是无理数．有理数有4个

m故选：Dm考题二用数轴的表有数【题路在数轴上，原点边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.典例兴化市模拟）如图，数轴上两点示的数互为相反数，则点B表示的（）A-6

B6C0D．法确定【答案】B【解析】－6的相反数是6，A点示，所以B表示6.故选答案B.变式2-1三门峡市模拟）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A

B．2

C．1

D．【答案】D【提示】直接利用数轴得出结果即可．【详解】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能-，故选D．【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数.变式2-2福中考真题图轴上两点N对应的实数分别为,m的结果可能

）A

B1C2D．【答案】C【提示】根据数轴确定和的围，再根据有理数的加减法即可做出选择．【详解】解：根据数轴可得0＜＜1，＜＜

，则＜

m

＜3故选：【点睛】本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确m和n范围，然后再确定的围即可．考题三求一个的反【题路理相反数的概念典例吉林中考真题）﹣6相反数是（）

A﹣6

B．

16

C．

D．

16【答案】C【提示】根据相反数的定义，即可解答．【详解】6相反数是：6故选变式3-1杭州市模拟A，B数轴上两点，线段AB上点表示的数中，有互为相反数的是（）AC．

B．D．【答案】B【解析】根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，并且在原点的两侧，可知只有B答正确．故选B．变式3-2山东滨州

中考真题）下列式子中，正确的是（）A﹣﹣B﹣﹣C﹣（﹣5=5D﹣﹣5）=5【答案】D【解析】试题解析：A.﹣5|=5故原选项错误；﹣﹣5|=-5，故原选项错误；C.﹣5=5故原选项错误；﹣（﹣5=5，故正确故选考题四求一个的对【题路一正数的绝对值是它本；一个负数的绝对值是它的相反数的对值是0．典42020·甘肃兰州市

中考真题）2020

的绝对值是（）A2020

BC．

12020

D．

12020【答案】B【提示】根据绝对值的定义直接解答．【详解】解：根据绝对值的概念可知＝2020，选B．变式4-1河北模拟）的值为（）A

B

C．

D．【答案】B【提示】根据绝对值的性质进行计算，即可得到答.【详解】解：22

．故选B．

变式4-2北碚区模拟）已知

，

，且ab

，则

的值为（）A1或

B．1或．±1．【答案】D【提示】根据绝对值的意义，结合a，出a、b的，然后即可得到答案．【详解】解：∵，b，∴

，

b

，∵

ab

，∴

，

，

；∴

a7

；或

；∴

a

；故选：D．考题五有理数较小【题路理大小比较的法则：①数都大于；负数都小于；③正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小。典例河北模拟）在0，，0.5）

四个数中，最小的数是（）A0

B﹣

C．

D12【答案】B【提示】有理数大小比较的法则：①正数都大于；②负数都小于0；正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣10＜＜﹣1，∴在，﹣1，，﹣1）2故选．

四个数中，最小的数是﹣．变式5-1江西南昌市模拟）有理数

，

b

在数轴上所对应的点的位置如图，下列说法正确的是（）Aa

B

C．

D．

a|【答案】D

2020【提示】根据相反数的定义大致标出和的2020

再根据数轴上右边的数总大于左边的数来逐一判断即.【详解】解在轴上大致标出和的置如下图可得

故A项误

故错误;

故C项误;a|

故项.故选:D.变式5-2沈阳市模拟）如图，四个有理数在数轴上的对应点MP，，，若点，表的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A点M

B点NC．D．【答案】C【解析∵点M表的有理数互为相反数∴原点的位置约在点绝值最小数的点是P点选C考题六有理数加乘混运【题路针有理数的混合运算，握有理数的运算顺序和各个运算法则是解题关键．典例新疆中考真题）计算：【答案】【详解】解：22.

．变式6-1广西中考真题）计算：【答案】5【详解】

．

．

变式7-2浙江模拟）计算：（1（2

121(3（3

（4

(10.5)【答案）8）））

16【提示】（1根据有理数的减法法则和加法法则计算即可；（2根据有理数的乘法法则、除法法则和减法法则计算即可；（3根据乘法分配律和各个运算法则计算即可；（4根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可．【详解】解）

12===

123023=8（2

(===

3=-44

（3

5116===

61222（4

0.5)

2

===

16

考题七科学记法【题路科记数法的表示形式为10n

的形式，其中n为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位n的对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对时，是正数；当原数的绝对值<1时n是数．典例甘肃兰州市中考真题）据中国电子务研究中心

发

年度中国共享经济发展报告显示，截止2017年月共家共享经济平台获159.56亿投资，数据159.56元用科学记数法可表示为

()A1159.568元B．1.1595611【答案】C

B10元D．8元【详解】

1159.56

亿，以

亿用科学记数法表示为1.15956×11，故选C．变式7-1北京中考真题年6月日北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空月30日成功定点于距离地球36000公的地球同步轨道将用科学记数法表示应