【三维设计】高考数学 第一章第一节集合 A

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合抓基础明考向提能力教你一招我来演练

[备考方向要明了]考

什

么1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述

不同的具体问题.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的

并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集

的补集.7.能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.怎

么

考1.集合部分主要以考查集合的含义、基本关系与基本运算

为主，题目简单、易做，大多都是送分题；2.近几年部分省市也力求创新，创造新情境，尽可能做到

灵活多样，甚至进行一些小综合，比如新定义题目，与

方程、不等式、函数、数列等内容相联系的题目出现；3.题型以选择题为主，大多都是试卷的第1、2题.一、元素与集合1．集合中元素的三个特性：

、

、

．2．集合中元素与集合的关系．元素与集合之间的关系有

和

两种，表示符号为

和

.确定性互异性无序性属于不属于∈∉3．常见集合的符号表示.集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示NN*或N＋ZQR4．集合的表示法：

、

、

．列举法描述法韦恩图二、集合间的基本关系

表示关系定义记法集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同子集A中任意一元素均为B中的元素

或真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有

或A＝BA⊆BB⊇AABBA

表示关系定义记法空集空集是任何集合的子集空集是任何

的真子集非空集合∅⊆B∅B(B≠∅)三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}1．(2011·北京高考)已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁UP＝ (

)A．(－∞，－1)

B．(1，＋∞)

C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：集合P＝[－1,1]，所以∁UP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：D2．(教材习题改编)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁UM)＝(

)A．{1,3} B．{1,5}C．{3,5} D．{4,5}解析：先求出M的补集∁UM＝{2,3,5}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁UM)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．答案：C3．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则(

)A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP解析：集合Q＝{x|－2<x<2}，所以Q⊆P.答案：B4．(教材习题改编)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|－1<x<3}，则M∩N＝________.解析：∵M＝{－1,0,1}，N＝{x|－1<x<3}，∴M∩N＝{0,1}．答案：{0,1}5．(2012·盐城模拟)如图，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩∁UB＝{2,8}．答案：{2,8}1．注意区分几种常见集合研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.集合{x|f(x)＝0}{x|f(x)>0}{x|y＝f(x)}{y|y＝f(x)}{(x，y)|y＝f(x)}集合的意义方程f(x)＝0的解集不等式f(x)>0的解集函数y＝f(x)的定义域函数y＝f(x)的值域函数y＝f(x)图像上的点集2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．[精析考题][例1]

(2010·江苏高考)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．[自主解答]

由于a2＋4>3，故a＋2＝3，即a＝1.经验证，a＝1符合题意．∴a＝1.[答案]

1[自主解答]

由a＝1，b2＝1知，b＝－1，∴c2＝－1，∴c＝i或c＝－i.若c＝i，则d＝－i；若c＝－i，则d＝i.∴b＋c＋d＝－1＋i－i＝－1或b＋c＋d＝－1－i＋i＝－1.[答案]

B[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·杭州模拟)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为(

)A．9 B．8C．7 D．6解析：∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11，∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8个元素．答案：B2．(2012·衢州质检)设集合A＝{－4，a2}，B＝{9,1－a，－2}，若A∩B＝{9}，则实数a＝________.解析：由A∩B＝{9}，得9∈A，所以a2＝9，则a＝3，或a＝－3.当a＝3时，A＝{－4,9}，B＝{9，－2，－2}，不满足集合元素互异性，舍去．当a＝－3时，A＝{－4,9}，B＝{9,4，－2}，符合条件，所以a＝－3.答案：－3[冲关锦囊]解决元素与集合的关系问题，首先要正确理解集合的有关概念，元素属不属于集合，关键就看这个元素是否符合集合中代表元素的特性.[精析考题][例3]

(2011·全国新课标卷)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有(

)A．2个 B．4个C．6个

D．8个[自主解答]

P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集有22＝4个．[答案]

B[例4]

(2011·浙江高考)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则 (

)A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP[自主解答]∵P＝{x|x＜1}，∴∁RP＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴∁RP⊆Q.[答案]

C[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·湖州六校联考)设集合P＝{(x，y)|x＋y<4，x，y∈N*}，则集合P的非空子集个数是(

)A．2 B．3C．7 D．8解析：当x＝1时，y<3，又y∈N*，因此y＝1或y＝2；当x＝2时，y<2，又y∈N*，因此y＝1；当x＝3时，y<1，又y∈N*，因此这样的y不存在，综上所述，集合P中的元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P的非空子集的个数是23－1＝7.答案：C4．(2011·郑州第一次质检)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m＝(

)A．3 B．2C．2或3 D．0或2或3解析：当B为空集时，m＝0；当2∈B时，m＝3；当3∈B时，m＝2.答案：D[冲关锦囊]1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．3．子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.[精析考题][例5]

(2011·江西高考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于(

)A．M∪N B．M∩N

C．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)[自主解答]∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5,6}．[答案]

D将例5中的条件“M＝{2,3}”改为“M∩N＝N”，试求满足条件的集合M的个数．解：由M∩N＝N得M⊇N.含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，含有4个元素的集合M有6个，含有5个元素的集合M有4个，含有6个元素的集合M有1个．因此，满足条件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16个．[答案]

A[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2012·温州模拟)集合A＝{1,3，x}