河南省郑州市第一百零六中学2021-2022学年高二数学文上学期期末试卷含解析

河南省郑州市第一百零六中学2021-2022学年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．[1，） D．（﹣，）参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m．即可．【解答】解：画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=．因此当时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点．故选C．【点评】正确求出直线与切线相切时的m的值及其数形结合等是解题的关键．2.某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（）A．800 B．1000 C．1200 D．1500参考答案：C【考点】分层抽样方法；等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的性质求出a，b，c的关系，结合分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵a、b、c构成等差数列，∴a+c=2b，则第二车间生产的产品数为=1200，故选：C3.P,Q,R为正方体表面上的三点,在正方体三个两两垂直的面上的射影如下图,则下列关于过点P,Q,R三点的截面结论正确的是

(

)

A.这个截面是一个三角形

B.这个截面是四边形C.这个截面是六边形

D.这个截面过正方体的一个顶点参考答案：C4.已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是: （）A． B． C． D．

参考答案：B略5.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（

）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8参考答案：C【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．6.若x+yi=1+2xi（x，y∈R），则x﹣y等于（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：B7.在“”，“”，“”形式的命题中“”为真，“”为假，“”为真，那么p，q的真假情况分别为（） A．真，假

B．假，真

C．真，真

D．假，假参考答案：B8.在△ABC中，A、B、C成等差，且a，b，c也成等差，又ac=6，则b的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.已知i是虚数单位，则=（）A．﹣i B．+i C．+i D．﹣i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．【解答】解：=．故选：B．10.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角面积为（）A.6 B. C.3 D.12参考答案：A【分析】先求导数得切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后求切线与坐标轴交点，计算面积.【详解】的导数为，，可得在点处的切线斜率为：-3，即有切线的方程为.分别令，可得切线在，轴上的截距为6，2．即有围成的三角形的面积为：．故选：A．【点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f（x）=，则f（f（﹣2））=

．参考答案：【考点】函数的值；分段函数的应用．【分析】由函数f（x）=，将x=﹣2代入计算可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（f（﹣2））=f（）=，故答案为：12.已知数列{}的前项和，则其通项_____________；若它的第满足，则_____________

参考答案：2n-10

;:

8略13.双曲线的渐近线方程是

▲

参考答案：14.已知点P（﹣1，1）在曲线y=上，则曲线在点P处的切线方程为．参考答案：y=﹣3x﹣2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】代入P的坐标，求得a=2，再求f（x）的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：点P（﹣1，1）在曲线上，可得a﹣1=1，即a=2，函数f（x）=的导数为f′（x）=，曲线在点P处的切线斜率为k=﹣3，则曲线在点P处的切线方程为y﹣1=﹣3（x+1），即为y=﹣3x﹣2．故答案为：y=﹣3x﹣2．15.已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：16.设集合，，则

▲

.参考答案：（0，3）略17.已知锐角的面积为，，则边的大小为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点．（1）求证：四边形AEC1F为平行四边形；（2）求直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．【专题】转化思想；等体积法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取CC1的中点H，连接BH，EH，运用平行四边形的判定和性质，即可得证；（2）设A1到平面AEC1F的距离为d，运用等积法，可得=，运用三棱锥的体积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）取CC1的中点H，连接BH，EH，在正方形BCC1B1中，BF∥HC1，BF=HC1，可得BFC1H为平行四边形，即有BH∥FC1，BH=FC1，又AB∥EH，AB=EH，可得四边形ABHE为平行四边形，即有AE∥BH，AE=BH，则AE=FC1，AE∥FC1，可得四边形AEC1F为平行四边形；（2）设A1到平面AEC1F的距离为d，直线AA1与平面AEC1F所成角θ的正弦值为，由=，可得d?S△AEF=a?，即为d?=a?a2，即有d==a，即有直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值为．【点评】本题考查空间线线的位置关系的判断和线面角的求法，注意运用平行四边形的判定和性质，以及体积转换法，考查运算能力，属于中档题．19.为响应党的十八大提出的文化强国建设的号召，某县政府计划建立一个文化产业园区，计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S的矩形CDEF文化园展厅，如图点C、D在底边AB上，E、F分别在腰OB、OA上，已知OA=OB=30米，AB=米，OE=x米，.（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若矩形CDEF展厅的每平方米造价为，绿化（图中阴影部分）的每平方米造价为（k为正常数），求总造价W关于S的函数W=f(S)，并求当OE为何值时总造价W最低.参考答案：略20.(本题满分12分)已知函数，问是否存在实数使在上取得最大值3，最小值-29.若存在，求出的值，并指出函数的单调区间；若不存在，请说明理由。参考答案：设存在、满足条件，显然

令

解得或

（舍去）

（1）若时，在上，在上

∴在时，有极大值。

若在[-1，2]上有最大值，则，即

而最小值和中较小者，=，=

显然小

∴=-29

解得

∴，适合条件，此时，函数在单调递增，在单调递减。

（2）若时，在上，在上

∴在时，有极小值

若在上，有最小值-29，则，即

而最大值和中的较大者，=，=

∵显然较大，即=3

∴

∴，适合题目条件，此时，在上单调递减，在上递调递增。综合上述，存在适合条件的、当，时，函数在上单调递增，在单调递减。当，时，在上单调递减，在上递调递增。21.(本小题满分16分)已知函数(Ⅰ)求的单调区间和值域；(Ⅱ)设,函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．参考答案：(I)对函数求导，得令解得

或当x变化时。，的变化情况如下表：x0(0,)()1

_0+

-4

-3所以，当时，是减函数；当时，是增函数。当时，的值域为[-4，-3]。（II）对函数求导，得图表1时，因此当时。为减函数，从而当时有又,即当时有任给，，存在，使得，则即解得，又，所以a的取值范围为22.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．参考答案：解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，CH=，PC=，PH=，由余弦定理得，cos∠PCH=．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM，由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD?cos45°=，∵，∴由DF⊥GC，可得．考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．专题：证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知考查PG，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，由余弦定理即可求得cos∠PCH的值．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，可证FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD?cos45°=，由DF⊥GC，即可求得的值．解答：解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PC