河南省焦作市许衡中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析

河南省焦作市许衡中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知,则的值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略2.是的

（

）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D..既不充分也不必要条件参考答案：B3.等差数列{an}中，a1＞0，S3=S10，则当Sn取最大值时，n的值为(

)A．6 B．7 C．6或7 D．不存在参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和求和公式易得a7=0，进而可得前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，易得答案．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1＞0，S3=S10，∴S10﹣S3=a4+a5+…+a10=7a7=0，即a7=0∴等差数列{an}中前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，∴当Sn取最大值时，n的值为6或7故选：C【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．4.直线4kx﹣4y﹣k=0与抛物线y2=x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x=﹣的距离等于(

) A． B． C．2 D．4参考答案：B考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标与准线方程，确定直线AB为过焦点的直线，根据抛物线的定义求得AB的中点到准线的距离，即可求得结论．解答： 解：直线4kx﹣4y﹣k=0可化为k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（，0）∵抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，∴直线AB为过焦点的直线，∴AB的中点到准线的距离==2，∴弦AB的中点到直线x=﹣的距离等于2+=．故选B．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及抛物线的焦点弦的问题常需用抛物线的定义来解决．5.若如图所示的框图所给程序运行的结果，那么判断框中可以填入的关于实数的判断条件应是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，E1、F1分别在棱A1B1、C1D1上，且B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.观察：52－1＝24，72－1＝48，112－1＝120，132－1＝168，…所得的结果都是24的倍数，由此推测可有A．其中包含等式：152－1＝224

B．一般式是：(2n＋3)2－1＝4(n＋1)(n＋2)C．其中包含等式1012－1＝10200

D．24的倍数加1必是某一质数的完全平方参考答案：C8.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另两个顶点在抛物线上，则这样的等边三角形的个数是（A）4

（B）3

（C）2

（D）1参考答案：C9.已知函数f（x）=cos（3x+），则f′（）等于（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：D【考点】63：导数的运算．【分析】利用复合函数的导数运算法则即可得出．【解答】解：f′（x）=﹣3sin（3x+），∴f′（）=﹣3sin（）=﹣，故选：D．10.关于函数,下列说法正确的是（

）（1）是的极大值点；（2）函数有且只有1个零点；（3）存在正实数，使得恒成立；（4）对任意两个正实数，且，若，则A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(4) C.(2)(3) D.(3)(4)参考答案：B【分析】依次判断各个选项：（1）利用导数与极值的关系可知是的极小值点，则（1）错误；（2）利用导数研究的单调性，结合零点存在定理判断可知（2）正确；（3）采用分离变量的方式，通过求解的单调性和极限，可判断出，则（3）错误；（4）构造函数，通过导数可求得，从而可确定时，，从而证得结论，知（4）正确.【详解】（1）当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增可知是的极小值点，可知（1）错误（2）

，即在上单调递减又；则，使得由函数单调性可知有且只有个零点，可知（2）正确（3）若在上恒成立，则令，则令，则时，；时，

即在上单调递减又时，不存在正实数，使得恒成立，可知（3）错误（4）由（1）可知，在上单调递减；在上单调递增令，则，即在上单调递减

即，令，由，即，可知（4）正确综上所述，说法正确的为：（2）（4）本题正确选项：【点睛】本题考查导数在函数中的应用问题，涉及到求解函数单调性和极值、判断函数零点个数、恒成立问题的求解和零点偏移的问题.关键是能够根据求解内容的不同，构造出不同的函数，通过函数的最值、单调性来进行综合判断.本题对于学生导数运算能力和分析能力要求较高，属于难题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．参考答案：12.若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为_______________

参考答案：1或213.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1））已知他投篮一次得分的期望为2，则的最小值为．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；基本不等式．【分析】根据题意可求得3a+2b的值，然后利用=1把转化为（）×展开后利用基本不等式求得问题的答案．【解答】解：由题意得3a+2b=2，=（）×=当且仅当a=2b=时取等号故答案为：14.由抛物线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3所围成的图形的面积是

．参考答案：【考点】定积分．【分析】求出抛物线和直线的交点，利用积分的几何意义求区域面积即可．【解答】解：由，解得或，∴根据积分的几何意义可知所求面积为===．故答案为：．15.已知函数在R上有两个极值点，则实数的取值范围是

参考答案：16.已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且|PA|=|PB|，则点P的坐标为

.参考答案：（0，0，3）因为A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且|PA|=|PB|，则点P的坐标为（0，0，3）。

17.已知函数对任意的都有，那么不等式的解集为_________。参考答案：【分析】首先构造函数,根据函数的单调性和特殊值解得答案.【详解】构造函数,则在R单调减,【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式的知识,根据等式特点熟练构造出函数是本题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.不等式证明（本小题满分10分）

设a、b、c均为实数，求证：++≥++．

参考答案：2．证明：

∵a、b、c均为实数．∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；………………4分（＋）≥≥，当b=c时等号成立；（＋）≥≥．………………6分三个不等式相加即得++≥++，………………9分当且仅当a=b=c时等号成立.………………10分

19.已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x﹣1，a＞0．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤0在[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由当a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x﹣1，求导：f′（x）=3x2+4x2﹣4=（3x﹣2）（x+2），f′（x）=0，解得：x=，x=﹣2，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，令f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间；（2）由题意可知：f（x）在区间[1，+∞）上的最小值小于等于0，求导f′（x）=3x2+2ax2﹣22=（3x﹣a）（x+a），令f′（x）=0，解得：x1=＞0，x2=﹣a＜0，①当≤1，即a≤3时，由函数的单调性可知：当x=1时取最小值，即f（1）≤0，即可求得a的取值范围；当＞1，即a＞3时，则当x=时，取最小值，f（）=+﹣﹣1≤0，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=x3+2x2﹣4x﹣1，求导：f′（x）=3x2+4x2﹣4=（3x﹣2）（x+2），令f′（x）=0，解得：x=，x=﹣2，由f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣2，由f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜，∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣2，），单调递增区间（﹣∞，﹣2），（，+∞）；（2）要使f（x）≤0在[1，+∞）上有解，只要f（x）在区间[1，+∞）上的最小值小于等于0，由f′（x）=3x2+2ax2﹣22=（3x﹣a）（x+a），令f′（x）=0，解得：x1=＞0，x2=﹣a＜0，①当≤1，即a≤3时，f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1），由f（1）≤0，即1+a﹣a2﹣1≤0，整理得：a2﹣a≥0，解得：a≥1或a≤0，∴1≤a≤3．②当＞1，即a＞3时，f（x）在区间[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴f（x）在[1，+∞）上最小值为f（），由f（）=+﹣﹣1≤0，解得：a≥﹣，∴a＞3．综上可知，实数a的取值范围是[1，+∞）．20.如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G，H分别是棱AB，，，的中点.（1）求证：EF∥平面GHD；（2）求直线EF与所成的角.参考答案：（1）证明：以为原点，建立空间直角坐标系由已知条件可得，，，，，，，又有平面所以平面（其它证法酌情给分，但要注意“平面”）（2）如（1）问建系，，，所以即求直线与所成的角

21.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端