河南省许昌市第四高级中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

河南省许昌市第四高级中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知，则方程所有实数根的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D略3.复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z=i（1+i）化简，从而判断即可．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为：（﹣1，1），故选：D．4.已知向量||=10，||=12，且=﹣60，则向量与的夹角为（）A．60° B．120° C．135° D．150°参考答案：B【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的模、夹角形式的数量积公式，列出方程，求出两个向量的夹角余弦，求出夹角．【解答】解：设向量的夹角为θ则有：，所以10×12cosθ=﹣60，解得．∵θ∈[0，180°]所以θ=120°．故选B5.r是相关系数，则结论正确的个数为

①r∈［－1，－0.75］时，两变量负相关很强②r∈［0.75，1］时，两变量正相关很强③r∈（－0.75，－0.3］或［0.3，0.75）时，两变量相关性一般④r=0.1时，两变量相关很弱A.1

B.2

C.3

D.4

参考答案：D6.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A.3

B.5

C.7

D.9参考答案：B7.下列命题中，真命题是A．

B．C．

D．参考答案：D因为，所以A错误。当时有，所以B错误。，所以C错误。当时，有，所以D正确，选D.8.先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A略9.设集合，则=

A.

B.

C.

D.参考答案：B解析：..故选B.10.复数的共轭复数是（）A．-1+

B．-1-

C．1+

D．1-参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线为函数图像的切线，则参考答案：412.一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球?从盒中一次任取3个球，若为黑球则放回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中．此时盒中黑球个数X的均值E（X）=．参考答案：4考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意可得，当取出的3个小球全为白色时，X=5，当取出的小球是2白1黑时，X=4，当取出的小球是1白2黑时X=3，根据等可能事件的概率公式求出概率，进而可求期望值解答：解：由题意可得X可能取值为3，4，5P（X=3）==P（X=4）==P（X=5）==E（X）==4故答案为：4点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望值的求解，解题的关键是随机变量取不同值时所对应的情况要准确求出13.记，对于任意实数，的最大值与最小值的和是

.参考答案：414.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】连结AC、BD，交于点O，当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，从而F∈AA1，进而∠CAF是CF与平面ABCD所成角，由△C1A1F∽△EAO，求出AC，由此能求出CF与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，∴BD⊥平面ACC1A1，则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角，在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，则=，∵A1C1=2AO=AB=2，AE=，∴A1F=，∴AF=，∴tan==．∴CF与平面ABCD所成角的正切值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15.已知实数x，y满足，则点P（x，y）构成的区域的面积为，2x+y的最大值为，其对应的最优解为

．参考答案：8，11，（6，﹣1）．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，从而求出三角形的面积，令z=2x+y，变形为y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过B（6，﹣1）时，z最大，进而求出最大值和最优解．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，∴点P（x，y）构成的区域的面积为：S△ABC=×8×2=8，令z=2x+y，则y=﹣2x+z，当直线y=﹣2x+z过B（6，﹣1）时，z最大，Z最大值=2×6﹣1=11，∴其对应的最优解为（6，﹣1），故答案为：8，11，（6，﹣1）．16.如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且，若DE是圆A中绕圆心A转动的一条直径，则的值是

参考答案：17.已知C是平面ABD上一点，AB⊥AD,CB=CD=1.①若=3，则=

;3

=+，则的最小值为

.参考答案：；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，点P的极坐标是.（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求的面积.参考答案：（1）极坐标方程为.（2）【分析】（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN的长度，从而得出面积.【详解】（1）由消去，得到，则，∴，所以直线的极坐标方程为.点到直线的距离为.（2）由，得，所以，，所以，则的面积为.【点睛】本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键.19.某企业招聘工作人员，设置A、B、C三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙、丁两人各自独立参加B组测试．已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为，丙、丁两人各自通过测试的概率均为．戊参加C组测试，C组共有6道试题，戊会其中4题．戊只能且必须选择4题作答，答对3题则竞聘成功．（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；（Ⅱ）求参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数的概率；（Ⅲ）记A、B组测试通过的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（I）设戊竞聘成功为A事件，则事件的总数为，而事件A竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题有种方法，再利用概率计算公式即可得出．（Ⅱ）设“参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数”为B事件，包括两种情况：第一种是甲乙两人都通过，而丙丁两人都没有通过；第二种情况是甲乙两人都通过，而丙丁两人种只有一人通过，第三种情况是甲乙两人中只有一人都通过，而丙丁两人都没有通过．再利用互相独立事件的计算公式、互斥事件的概率计算公式即可得出．（Ⅲ）ξ可取0，1，2，3，4．ξ=0表示甲乙丙丁四人都没有通过；ξ=1表示四人中只有一人通过；ξ=3表示由3人通过；ξ=4表示四人都通过，利用分类讨论和独立事件的概率计算公式及其互斥事件的概率计算公式及其对立事件的概率计算公式和概率的性质即可得出，P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）﹣P（ξ=4）．【解答】解：（I）设“戊竞聘成功”为A事件，而事件A竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，基本事件的总数为．∴P（A）==（Ⅱ）设“参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数”为B事件，包括三种情况：第一种是甲乙两人都通过，而丙丁两人都没有通过；第二种情况是甲乙两人都通过，而丙丁两人种只有一人通过；第三种情况是甲乙两人中只有一人都通过，而丙丁两人都没有通过．∴P（B）=+=．（Ⅲ）ξ可取0，1，2，3，4．可得P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）=+=，P（ξ=4）==，P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）﹣P（ξ=4）=．列表如下：ξ01234P∴Eξ==．20.已知，函数，，.（Ⅰ）当时,求函数在点的切线方程；（Ⅱ）求函数在的极值;（Ⅲ）若在区间上至少存在一个实数，使成立，求正实数的取值范围．

参考答案：由求导得，.（Ⅰ）当时,,所以在点的切线方程是（Ⅱ）令,(1)当即时(-1,0)0+0-0+↗极大值↘极小值↗故的极大值是;极小值是;(2)当即时在上递增,在上递减,所以的极大值为,无极小值.（Ⅲ）设

.对求导，得，因为，，所以，在区间上为增函数，则.依题意，只需，即，即，解得或（舍去）.所以正实数的取值范围是.

略21.已知{an}是递增的等比数列，，成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设数列{bn}满足，，求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案：(Ⅰ).(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由条件求出等比数列的首项和公比，然后可得通项公式．(Ⅱ)由题意得，再利用累加法得到，进而可求出．【详解】(Ⅰ)设等比数列的公比为，∵，，成等差数列，∴，即，∴，解得或（舍去）又，∴.∴.(Ⅱ)由条件及（Ⅰ）可得．∵，∴，∴，∴．又满足上式，∴∴．【点睛】对于等比数列的计算问题，解题时可转化为基本量（首项和公比）的运算来求解．利用累加法求数列的和时，注意项的下标的限制，即注意公式的使用条件．考查计算能力和变换能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）设g（x）=xf（x），h（x）=2ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1，若x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）当x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，即为xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，讨论x=1和x＞1，由参数分离和构造函数g（x）=xlnx﹣（x﹣1）﹣（x﹣1）2（x＞1），求出导数和单调性，即可判断g（x）的单调性，可得a的范围．【解答】解：（1）a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，f′（x）=﹣1+，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）max=f（1）=﹣1；（2）当x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，即为xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，当x=1时，上式显然成立．当x