河南省安阳市第十中学2022年高三数学理期末试题含解析

河南省安阳市第十中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(sinB+sinC)2-sin2(B+C)＝3sinBsinC，且a＝2，则△ABC的面积的最大值是A．

B．

C．

D．4参考答案：B2.圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切参考答案：B【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选B3.设，是非零向量，若对于任意的，都有成立，则A. B. C. D.参考答案：D【分析】画出，，根据向量的加减法，分别画出的几种情况，由数形结合可得结果.【详解】由题意，得向量是所有向量中模长最小的向量，如图，当，即时，最小，满足，对于任意的，所以本题答案为D.【点睛】本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.

4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.已知为抛物线上不同两点，且直线倾斜角为锐角，为抛物线焦点，若

则直线倾斜角为

A．

B.

C.

D.

参考答案：D略6.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E，则点E为△A1BC1的（

）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心参考答案：D7.若锐角满足，则函数的单调增区间为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.在△ABC中，若，则cosB的值为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D9.下列函数中，与函数定义域相同的函数为A．

B.

C.y=xex

D.参考答案：D【命题立意】本题考查函数的概念和函数的性质定义域。函数的定义域为。的定义域为,的定义域为，函数的定义域为，所以定义域相同的是D,选D.10.设变量满足约束条件，则的取值范围是（）A．

B．

C．

D．

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设和均为定义在R上的偶函数，当时，，若在区间内，关于的方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围是

参考答案：12.某地区3月1日至30日的天气情况及晚间空气湿度统计如下表，比如，根据表中数据可知3月1日无雨，且当日晚间空气相对湿度等级为C．若气象工作者根据某天晚间的相对湿度等级预报第二天有雨的概率，则3月31日有雨的概率为_______．参考答案：13.设、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，且，到直线的距离等于双曲线的实轴长，该双曲线的渐近线方程为

．参考答案：略14.直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点（其中a,b是实数），若△AOB是直角三角形(O是 坐标原点)，则点P(a,b)与点Q(0,1)距离的最大值为

▲

．

参考答案：

略15.设向量满足则参考答案：2因为所以

16.若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标__________________参考答案：（2，2）17.当时，对任意实数都成立，则实数的取值范围是

．参考答案：时成立，当时对任意实数都成立，因为，故当时恒成立.所以三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表：学生序号1234567物理成绩65707581858793化学成绩72688085908691规定85分以上（包括85份）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，则从9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本，抽取的女生为3人，男生为4人．利用组合数的意义即可得出．（II）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，抽取的3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X可能取值为0，1，2，3，可得P（X=k）=，即可得出分布列与数学期望计算公式．【解答】解：（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，则从9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本，抽取的女生为3人，男生为4人．可以得到个不同的样本．（II）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，抽取的3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X可能取值为0，1，2，3，则P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．其X分布列为：X0123P数学期望E（X）=0+1×+2×+3×=．19.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是线段AB中点．（1）证明：D1E⊥CE；（2）求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；（3）求A点到平面CD1E的距离．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算；MT：二面角的平面角及求法．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，证明CE⊥面D1DE即可证明：D1E⊥CE；（2）建立坐标系，利用向量法即可求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；（3）根据点到平面的距离公式，即可求A点到平面CD1E的距离．【解答】解：（1）证明：DD1⊥面ABCD，CE?面ABCD所以，DD1⊥CE，Rt△DAE中，AD=1，AE=1，DE==，同理：CE=，又CD=2，CD2=CE2+DE2，DE⊥CE，DE∩CE=E，所以，CE⊥面D1DE，又D1E?面D1EC，所以，D1E⊥CE．（2）设平面CD1E的法向量为=（x，y，z），由（1）得=（1，1，﹣1），=（1，﹣1，0）?=x+y﹣1=0，?=x﹣y=0解得：x=y=，即=（，，1）；又平面CDE的法向量为=（0，0，1），∴cos＜，＞===，所以，二面角D1﹣EC﹣D的余弦值为，（3））由（1）（2）知=（0，1，0），平面CD1E的法向量为=（，，1）故，A点到平面CD1E的距离为d===．20.（本小题满分12分）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的1。道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得l5分才能入选．（I）分别求甲得0分和乙得0分的概率；（II）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．参考答案：

21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结OE，E为PA的中点，利用三角形中位线的性质，可知OE∥PC，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明PA⊥DE，再证明PA⊥OE，可得PA⊥平面BDE，从而可得平面BDE⊥平面PAB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（4分）因为PC?平面BDE，OE?平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE?平面BDE，DE?平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…（12分）因为PA?平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）【点评】本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知函数.（1）当时，讨论导函数的零点个数；（2）当时，证明：.参考答案：(1)见解析；(2)见证明【分析】（1）对求导，利用导数判断函数的单调性，由，判断的正负，利用零点存在定理可得结果.（3）利用（1）设的极小值点为，得，且，只需判断.将变形，，利用基本不等式可证.【详解】解：（1）函数的定