河北省邯郸市柴堡中学2021年高三数学文联考试题含解析

河北省邯郸市柴堡中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数,若在区间上是单调函数,且，则的值为（

）A．

B．或2

C.

D．1或参考答案：B因为在单调，∴，即，而；若，则；若，则是的一条对称轴，是其相邻的对称中心，所以，∴.

2.在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA，则△ABC的形状为（

）

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．等边三角形

D．等腰直角三角形参考答案：C略3.设表示不大于实数x的最大整数，函数，若关于x的方程有且只有5个解，则实数a的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据分段函数的解析式，先讨论当x＞0时，函数零点的个数为三个，再讨论当x≤0时，函数的零点的个数为2个，利用导数结合数形结合分析得解.【详解】首先，确定在x＞0上，方程f(x)=1的解.时，在，，所以由取整意义有[lnx]=-(n+1),又即在上，恒有取n=0,，令此时有一根，当n≥1时，恒有f(x)-1＞1，此时在上无根.在上，，，又所以在上，恒有，.n=1时，在上，有n=2时，在有即所以此时有两根，这样在有三根，在显然有一根所以在有且仅有一根，由“洛必达法则”是先增后减，得或a＞0.单调递增，即故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.4.已知集合M＝{x|x≥－1}，N＝{x|2－x2≥0}，则M∪N＝(

)

A.[－，＋∞) B.[－1，] C.[－1，＋∞) D.(－∞，－]∪[－1，＋∞)参考答案：A略5.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（

）A．11111；B．01110；C．11111；D．00011参考答案：C【答案】6.已知M点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F1，F2，且，点I为的内心，延长MI交线段F1F2于一点N，则的值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案:B7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（

）A.2

B.

C.

D.3参考答案：D由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上底，下底，高分别为1，2，2的直角梯形，一条长为的侧棱垂直于底面，其体积为8.若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【分析】利用不等式的性质判断出“a＜b＜0”则有“a2＞b2”，通过举反例得到“a2＞b2”成立推不出“a＜b＜0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：若“a＜b＜0”则有“a2＞b2”反之则不成立，例如a=﹣2，b=1满足“a2＞b2”但不满足“a＜b＜0”∴“a＜b＜0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选A．9.设为函数的单调递增区间，将图像向右平移个单位得到一个新的的单调减区间的是

A

B.

C.

D.参考答案：D因为函数为偶函数，在当为减函数，图像向右平移个单位，此时单调减区间为，选D.10.设定义在R上的函数，若关于的方程有三个不同实数解，，且，则下列说法中正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知则在方程有实数根的条件下，又满足m≥n的概率为

参考答案：略12.设实数x,y满足，则的取值范围是参考答案：由于表示可行域内的点与原点的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标，，则，可见，令，则在上单调递增，所以．13.在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可【解答】解：由题意可得，在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，对应的区域是边长为2的正方形，如图，面积为4，满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分，面积为2+=2+（x﹣）|=∴满足y≥x2﹣1的概率是．故答案为：；14.函数的定义域是

参考答案：15.在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是

▲

．参考答案：2分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.

16.定义平面向量的一种运算：，则下列命题：

①;②;③;

④若，则．

其中真命题是_________（写出所有真命题的序号）．参考答案：略17.已知函数且关于的方程有且只有一个实根，则实数的范围是___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线：，：，动点分别在直线，上移动，，是线段的中点.（1）求点的轨迹的方程；（2）设不经过坐标原点且斜率为的直线交轨迹于点，点满足，若点在轨迹上，求四边形的面积.参考答案：（I）根据条件可设，，由，得:.

………………2分设，则得将①和②代入中并化简得：.所以点的轨迹的方程为.

………………5分（II）设直线的方程为，，，.将代入，整理得.则，.

………………6分.因为，则有：，.……7分因为在椭圆上，，化简得：.

………………8分所以，，因为.

………………9分又点到的距离为.

………………10分由，可知四边形为平行四边形，.

………………12分拓展:此题结论可推广到更一般情形:第(Ⅰ))题中,直线、只要不垂直,轨迹均为椭圆,、垂直时,轨迹为圆;第(Ⅱ)题中结论可推广到更一般情形:设不经过坐标原点且斜率为的直线交椭圆:于点、，点满足.若点在椭圆上，则四边形OPRQ(或)的面积为定值。19.（本小题满分分）如图，直三棱柱中，，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．（1）若∥平面，求；（2）求直线和平面所成角的余弦值．参考答案：『法一』(1)取中点为，连结，………1分

∵分别为中点

∴∥∥，∴四点共面，

………3分且平面平面又平面，且∥平面∴∥∵为的中点，∴是的中点，

………5分∴．

………6分（2）连结，

………7分因为三棱柱为直三棱柱，∴平面∴，即四边形为矩形，且∵是的中点，∴，又平面，∴，从而平面

………9分∴是在平面内的射影∴与平面所成的角为∠又∥，∴直线和平面所成的角即与平面所成的角…10分设，且三角形是等腰三角形∴，则，∴

∴直线和平面所成的角的余弦值为．

………12分『法二』（1）因为三棱柱为直三棱柱，∴平面，又∴以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系.

………1分设，又三角形是等腰三角形，所以易得，，，所以有，设平面的一个法向量为，则有，即

，令，有

………4分（也可直接证明为平面法向量）设，，又，∴若∥平面，则，所以有，解得，∴

………6分（2）由（1）可知平面的一个法向量是，，，求得设直线和平面所成的角为，，则，

………11分所以∴直线和平面所成的角的余弦值为．

………12分20.设函数f（x）=|x﹣a|+2x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（Ⅱ）若x∈（﹣2，+∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=2时，不等式即|x﹣2|≥1，可得x﹣2≥1，或x﹣2≤﹣1，解得x的范围，可得不等式的解集．（Ⅱ）由于f（x）的解析式及a＞0，可得函数f（x）在它的定义域（﹣2，+∞）上是增函数．再由f（x）＞0在它的定义域（﹣2，+∞）上恒成立，可得f（﹣2）=a﹣2≥0，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1，即|x﹣2|≥1，∴x﹣2≥1，或x﹣2≤﹣1．解得x≤1，或x≥3，故不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}．（Ⅱ）∵f（x）=，a＞0，故函数f（x）在它的定义域（﹣2，+∞）上是增函数．再由f（x）＞0在它的定义域（﹣2，+∞）上恒成立，可得f（﹣2）=a﹣2≥0，解得a≥2．故a的范围是[2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，属于中档题．21.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为.设圆C与直线l交于点，，且.（1）求中点的极坐标；（2）求||＋||的值.参考答案：由，得，即.

…………3分将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得＋＝4，即，，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以,

…………6分（1），，点的极坐标为.

………………8分（2）又直线l过点，故由上式及参数t的几何意义得=＝.

.........10分22.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】