清新一中导学案．空间向量运算的坐标表

善卓一中走向成功清新一中高二级数学学科导学案（教师版）善卓一中走向成功编号主编人：黄宏柱审稿人：刘志平协编人：定稿日：2022年12月4课题：空间向量与立体几何第1课时空间向量与垂直关系3．空间向量运算的坐标表示[学习目标]1.掌握空间向量的坐标运算，会判定两向量共线或垂直(重点)．2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，能运用这些知识解决相关问题(难点、易错点)．课时安排：1个课时四、学习过程：集体备课定稿内容个人二次备课[知识提炼·梳理]1．空间向量的坐标运算．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．2．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))).温馨提示1．空间向量坐标的本质：a＝(x，y，z)的本质是a＝xi＋yj＋zk，其中(i，j，k)是单位正交基底．2．对空间两向量夹角与距离的四点说明：(1)范围：空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范围不同，当所求两向量夹角为钝角时，两直线夹角是与此钝角互补的锐角．(2)夹角公式的一致性：无论在平面还是空间，两向量的夹角余弦值都是cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，只是坐标运算时空间向量多了一个竖坐标．(3)长度公式的类似性：空间向量的长度公式与平面向量的长度公式形式一致，坐标运算时空间向量多了一个竖坐标．[思考尝试·夯基]1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝()A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)2．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值分别可以为()A．2，eq\f(1,2)B．－eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．－3，2D．2，23．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则eq\o(AC,\s\up14(→))与eq\o(AB,\s\up14(→))的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，M为BC的中点，则|eq\o(AM,\s\up14(→))|＝________．合作探究案类型1空间向量的坐标运算(自主研析)[典例1]已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．归纳升华空间向量的加法、减法、乘法及数乘运算的方法1．将已知向量的坐标，代入空间向量的加减和数乘运算的坐标表示公式进行计算．2．熟练应用有关的乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.3．空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可先求出2a，－b后，再求数量积．[变式训练]设O为坐标原点，向量eq\o(OA,\s\up14(→))＝(1，2，3)，eq\o(OB,\s\up14(→))＝(2，1，2)，eq\o(OP,\s\up14(→))＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当eq\o(QA,\s\up14(→))·eq\o(QB,\s\up14(→))取得最小值时，求点Q的坐标．类型2向量的平行与垂直问题[典例2]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝eq\o(AB,\s\up14(→))，b＝eq\o(AC,\s\up14(→)).(1)设|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up14(→))，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.归纳升华解决空间向量垂直、平行问题的思路1．若有关向量未知时，通常需要设出向量的坐标，例如设向量a＝(x，y，z)．2．在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程求解．3．选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．[变式训练]已知向量a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)，c＝(2，x，－4)．(1)判断a，b的位置关系；(2)若a∥c，求|c|；(3)若b⊥c，求c在a方向上的投影．总结、反思案1．在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况，如典例3.2．运用向量坐标运算解决几何问题的方法：3．若〈eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))〉＝α，两条异面直线AB，CD所成角为θ，则cosθ＝|cosα|，cos