高中数学复习《立体几何度量关系》精讲课件

立体几何中的度量关系目录CONTENTS07立体几何中的探索性问题01空间直角坐标系的建立与点坐标的求法02平面法向量的求法04空间中的线面角06空间中点到面的距离03空间中的异面直线的夹角05空间中的二面角空间直角坐标系的建立与点坐标的求法01定理回顾

图表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.zyxO空间直角坐标系中点的坐标

在空间直角坐标系中,用一个三元有序数组来刻画空间点的位置.空间任意一点P的坐标记为(x,y,z)PQMN(x,y,z)(x,y,0)(x,0,0)(0,y,0)

给定点P的坐标如何在空间直角坐标系中作出该点？Q(0,0,z)定理回顾

第一个是x坐标,称为点的横坐标;第二个是y坐标,称为点的纵坐标;第三个是z坐标,称为点的竖坐标.练习建立空间直角坐标系,求作下列各点坐标xyzOABCED例题解析平面法向量的求法02求平面的法向量时，应建立空间直角坐标系，求平面内两个不共线的向量的坐标，并设平面的一个法向量为。由法向量的定义可知法向量必需与内的向量垂直，进而得两个关于的三元一次方程令其中一个未知数为1，进而可得另两个未知数，即得平面的法向量.例题解析定理回顾理解空间向量、空间点的坐标的意义,掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离公式、夹角公式.利用空间向量的坐标运算可将立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算,如：(1)判断线线平行或三点共线,可以转化为证a∥b(b≠0)⇔a=λb；(2)证明线线垂直,转化为证a⊥b⇔a·b=0,若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则转化为证x1x2+y1y2+z1z2=0;

(3)在立体几何中求线段的长度问题时,转化为a·a=|a|2,或利用空间两点间的距离公式;(4)在计算

异面直线所成的角(或线面角、二面角)时,转化为求向量的夹角,即利用公式cosθ=

即可.规律总结空间中的异面直线的夹角031.求异面直线所成的角常采用“平移法”,平移的方法一般有三种:将图中已有的平行线平

移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三

角形中进行.2.几何法求异面直线所成角的一般步骤:

方法1异面直线所成的角3.向量法求异面直线所成角建立空间直角坐标系后,确定两直线的方向向量a,b,则两直线所成角θ满足cosθ=

.例1如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1,2,AB=4.(1)证明:PQ⊥平面ABCD;(2)求异面直线AQ与PB所成角的余弦值;(3)求点P到面QAD的距离.空间中的线面角041.用向量法证明平行(或垂直)只需证明a∥b(或a·b=0).2.求线面角的常用方法:(1)找:即找出直线与平面所成的角,再通过解三角形求解,具体步骤为:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线,或过斜线上一点作平面的垂线,确定垂足的位置;②连结垂足和斜足得到斜线在平面内的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③将该角归结为某个三角形的内角(一般是直角三角形),通过解三角形(可能需要解多个三角

形)求得该角或其三角函数值.(2)算:①公式法:sinθ=

.其中,θ为线面角,h为点B到平面α的距离,l为斜线段AB的长.(如图所示)②向量法:如图所示,设l为平面α的斜线,l∩α=A,a为l的方向向量,n为平面α的法向量,φ为l与α所成

的角,则sinφ=|cos<a,n>|=

.方法2平行与垂直、直线与平面所成的角例如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1

B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.解析(1)交线围成的正方形EHGF如图:

(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=

=6,所以AH=10.以D为坐标原点,

的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),

=(10,0,0),

=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则

即

所以可取n=(0,4,3).定理回顾定理回顾答案解析定理回顾定理回顾空间中的二面角051.求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角,作二面角的平面角的方法:作法一(定义法):在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如

图(1),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

作法二(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交

线的夹角即为二面角的平面角.如图(2),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.作法三(垂线法):过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线,过垂足作棱的

垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图(3),∠ABO为二面角α-l-β的平面角.方法3二面角2.若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱l垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小

就是向量

与

的夹角,如图(4).平面α与β相交于直线l,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,<n1,n2>=θ,则二面角α-l-β为θ或π-

θ.设二面角的大小为φ,则|cosφ|=|cosθ|=

,如图(5)(6).例3

(2012课标全国,19,12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=

AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.(1)证明:DC1⊥BC;(2)求二面角A1-BD-C1的大小.定理回顾方法二空间中点到面的距离06空间中的距离主要包括点到点、点到线、点到面的距离,基本上只考查点到面的距离,结合

体积问题,考查形式大致有两类:①直接求空间距离;②已知空间距离,求相关的量或参数(如高,

长度等).求空间距离常用的方法:(1)几何法:直接法:利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理,作出空间距离的垂线段,

再通过解三角形求出距离.其中,找垂足是作垂线段的关键,一般可借助线面垂直的判定定理作

面的垂线.因此,要善于挖掘条件中的线线垂直,用以作平面的垂线段.间接法:利用等体积法、特殊值法等转化求解.(2)向量法:空间中的距离

解析(1)连结BD交AC于点O,连结EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,

的方向为x轴的正方向,|

|为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,

,0),E

,

=

.

设B(m,0,0)(m>0),则C(m,

,