高中数学必修4三角函数知识点归纳总结【经典】

文档鉴赏文档鉴赏《三角函数》【知识网络】1、一、任意角的概念与弧度制将沿1、一、任意角的概念与弧度制将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角同终边的角可表示为占a=p+kg360o}(kgZ)2、x轴上角：{xja=k旦80o}(kgZ)y轴上角:a=90o+kg180。}(kgZy轴上角:3、第一象限角：0+kg360。<a<90。+kg360o}(kgZ)第二象限角:90。+kg360o<a<180。+kg36O」(kgZ)第三象限角:180o+kg360o<a<270。+kg360o}(kgZ)第四象限角：270。+kg360o<a<360。+kg360o}(kgZ)4、区分第一象限角、锐角以及小于90。的角第一象限角:{x|0+kg360o<a<90。+kg360。}(kgZ)锐角:{x|0<a<90。小于90。的角:a5、若a为第二象限角，那么-为第几象限角？兀+2k兀<a<k+2刼2k=l,^<a<k=l,^<a<迺,42k=0,<a<—,42a所以-在第一、三象限6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作lrad.-180°7、角度与弧度的转化：1°=-0.017451=--57.30°=57°18'180兀8、角度与弧度对应表:角度0°30°45°60°90o120°135°150°180°360°弧度0~612兀T3兀T5兀~6兀2兀9、弧长与面积计算公式弧长：l=axR；面积:TOC\o"1-5"\h\zS=21xR=—axR2弧长：l=axR；面积:二、任意角的三角函数.yxy1、正弦：sma=；余弦cosa=一；正切tana=_rrx其中(x,y)为角a终边上任意点坐标，r=\,；X2+y2.2、三角函数值对应表:度0o30o45o60o90o120o135o150o180o270°360o弧度0冗6冗4冗3冗22兀33兀45兀6兀3兀2兀sina012迈221忑2近212010cosa1迺2至21201-22732-101

tana031无-130无03、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.(简记为“'全stc”1+-1-+I1*-1-+11-+,I1'=■111'+■=4=11—•■I1■+sinatanacosa第一象限:第二象限:第三象限:第四象限:.x>0,y>0sina>0,cosa>0,tana>0,第一象限:第二象限:第三象限:第四象限:.x<0,y>0sina>0,cosa<0,tana<0,.x<0,y<0sina<0,cosa<0,tana>0,.x>0,y<0sina<0,cosa>0,tana<0,4、三角函数线设任意角a的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P(x,y),过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角a的终边或其反向延长线交于点T.(III)(W)(III)(W)由四个图看出：当角a的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,MP=y，于是有yysinyysina===y=MP，r1cosa=-=-=x=OM

r1yMPAT“tana=—===AT.xOMOA我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。5、同角三角函数基本关系式sin2a+cos2a=1sina4tana=ntanagota=1cosa(sina+cosa)2=1+2sinacosa(sina-cosa)2=1一2sinacosa(sina+cosa，sina-cosa，sina•cosa，三式之间可以互相表示)6、诱导公式n兀+a口诀：奇变偶不变，符号看象限（所谓奇偶指的是2中整数n的奇偶性，把a看作锐角）sin((-1)2sin((-1)2sina,n为偶数n—1”，(-1)2cosa,n为奇数znK:cos(——2+a)=(-1)2cosa,n为偶数n+1(-1)2sina,n为奇数①.公式（一）：a与a+2k兀,（keZ）sin(a+2k兀)=sina；cos(a+2k兀)=cosa；tan(a+2k兀)=tana②.公式（二）：a与-asincosa.-sinasincosa.-sina.costan(-a)=-tana③.公式（三）：a与兀+asinG+a)sinG+a)=-sina；cosG+a)=-cosatan(兀+a)=tana④.公式(四)：a与兀④.公式(四)：a与兀-asin(兀-a)=sina.cosG-a)=-cosa.tan(兀-a)=-tana兀⑤.公式（五）：a与■-+a.(兀.(兀)sin—+a=cosa.12丿5).cos—+a=-sina.12丿兀⑥.公式(六)：以与—.（兀.（兀）sm—-a=cosa；12丿5）cos—-a=sina；12丿⑦.公式(七):3⑦.公式(七):3兀

a与+a2.（.（3兀）sm——+a二一cosa；I2丿（3兀）.cos——+a=sma；I2丿⑧.公式(八):•（•（3兀）sm——-a二一cosa；I2丿（3兀）.cos——-a二一sma；I2丿三、三角函数的图像与性质1、将函数y二sinx的图象上所有的点，向左(右)平移阀个单位长度，得到函数y二sin(x+p)的图象；再将函数y二sin(x+p)的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的丄倍(纵坐标不变)，得到函数y二sin(ex+p)的图象；再将函数y二sin(ex+p)的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A倍(横坐标不变)，得到函数y=Asin(ex+p)的图象。2、函数y=Asin(ex+p)(A>0,e>0)的性质：2兀”1e、①振幅：A:②周期：T=:③频率：f==:④相位：ex+P:⑤初相：9。eT2兀3、周期函数：一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.TOC\o"1-5"\h\z7兀k兀+——一9兀24、（1）y=Asin（ex+9）对称轴：令ex+9=k兀+—，得x=—2e对称中心：ex+9=，得x=，（,0）（kgZ）；ee,k兀一9⑵y=Acos（ex+9）对称轴：令ex+9=刼，得x=e

7兀7兀k兀+—9+——9兀2T2T对称中心：ex+9=刼+―，得x=，(,O)(keZ)；2⑶周期公式:2兀3、9为常数，且A①函数y=A叫x+申）及y=Acos®x+9）的周期丁3、9为常数，且A工0).②函数y=Atan（©x+©）的周期T=（A、®、9为常数，且AM0）.㈣5、三角函数的图像与性质表格性质函1ff数y=sinxy=cosxy=tanxiJIH］：N片1!|yi|i/：/：1i图像11/:Ji4fXn22:nX1b[缸出/zI;/sf/10r7*..-「「弋0\;/s\\1J4--:-\:/:f■定fTT义RR卜x丰k兀+—,keZ}域IJ值域[-1,1][-1,1]R当x=2k兀+—(keZ)时，2当x=2k兀(keZ)时，最y=1；maxy=1；当x=2k兀+兀既无最大值也无最小值值当x=2k兀(keZ)时，max2(keZ)时，y=—1.y=—1•linnmin周期2兀2兀兀性奇偶奇函数偶函数奇函数性单在兀-.兀在[-兀+2k兀,2k兀](keZ)在调—-■+2k兀，—+2k兀k兀——k兀+=22上是增函数；122丿性

(keZ)上是增函数；L22」(keZ)上是减函数.在［2k兀,2k兀+兀］(keZ)上是减函数.(keZ)上是增函数.对称性对称中心(加,0)(keZ)对称轴x=k兀+—(keZ)^2对称中心fk兀+更,0](keZ)I2丿对称轴x=k兀(keZ)fk兀A/、对称中心——,0(keZ)k2丿无对称轴.兀3兀6.五点法作y=Asin(®x+申)的简图，设t=+P，取0、刁、兀2、2兀来求相应x的值以及对应的y值再描点作图。7.y=Asin(wx+p)的的图像第一种变换:y—sinx第一种变换:y—sinx图象向左(^?>0技或向右(炉<0)平移|串|个单检横坐标伸长(0<^<1)或缩短(血>1)到原来的纵坐标不变y-siii(x十卩)1y=sm(t!K+<p)纵坐标#^(A>1纵坐标#^(A>1)或缩短(0<A<l倒原来的直倍v=目龄

植坐标不变'〉，第二^变换；臀何丄*横坐标伸长(0<血<1)或缩短(®>1)到原来的石倍v_-p叭y=smxJ-5111來横坐标不变纵坐标不变图象向左(^>0｝或.,y二sin(口r+e)向右(qvO)平移回个单位横坐标不变纵坐标伸长(心1)或缩短((XA<1)到原来的A倍$=处hl(血+卩)横坐标不变函数的变换：函数的平移变换①y二f(x)Ty二f(x土a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)②y二f(x)Ty二f(x)土b(b>0)将y=f(x)图像沿y轴向上(下)平移b个单位(上加下减)函数的伸缩变换：y=f(x)Ty=f(wx)(w>0)将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的丄w倍(w>1缩短，0<w<1伸长)y=f(x)ty=Af(x)(A>0)将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的人倍(A>1伸长，0<A<1缩短)函数的对称变换：y=f(x)Ty=f(-x))将y=f(x)图像绕y轴翻折180°(整体翻折)(对三角函数来说：图像关于x轴对称)y=f(x)Ty=-f(x)将y=f(x)图像绕x轴翻折180°(整体翻折)(对三角函数来说：图像关于y轴对称)y=f(x)Ty=f(|x|)将y=f(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧(偶函数局部翻折)y=f(x)Ty=If(x)|保留y=f(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去(局部翻动)四、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(a+P)=sinacosP+sinacosPsin(a-P)=sinacosP-sinacosPcosa+P)=cosacosP-sinasinPcosa-P)=cosacosP+sinasinPtan(a+P)=tana+tanPntana+tanP=tan(a+P)(l-tanatanP)1-tanatanPtan(a-P)=tanatanPntana一tanP=tan(a-P)(1+tanatanP)1+tanatanP⑺asina+bcosa='a2+b2sin(a+p)(其中，辅助角9所在象限由点(a,b)所在的象限决.bab定，sin,cos,tanQ=—a2+b2a2+b2a，该法也叫合一变形）.1+tan91-tan9兀=叫+9)1-tan9=tan(1-9)1+tan942.二倍角公式sin2a二2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=1-2sin2a=2cos2a-1_2tanatan2a=⑶1-tan2a升幂公式升幂公式降幂公式：1+cos2acos2a=(1)24.

.1-cos2a(2)sin2a=2(1)(3)(5)-ca1+cosa=2cos2—2\o"CurrentDocument"aa1土sina=(sin土cos—)222\o"CurrentDocument"aasina=2sincos一22(2)1-cosa=2sin2-2(4)1=sin2a+cos2a95.半角公式（符号的选择由一所在的象限确定）2(2)a(2)a1+cosacos2=±2'.a,,1—cosasin=±.(1)2'a,tan=土(3)2；1一cosa\1+cosasina1一cosa1+cosasina(1)(1)sina=2tana2_"a1+tan2-26.万能公式:1-tan22L(2)cosa=2,,a1+tan2一2(3)tana=2tan-1-tan2-27.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：asin0+bcos0=Ja2+b2sin(0+p)其中cos甲=「a,sin—「bv'a2+b2\a2+b2，比y=sinx+3cosx如：y=sinx+3cosx如：=\■12+(.3)2(1<12+6/3)2sinx+V；12+(间2cosx)=2(isinx+3cosx)=2(sinxcos—+cosxsin—)=2sin(x+)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"22333⑶注意“凑角”运用：a=(a+卩)-卩，a=p-(B-a)，a=2|~(a+p)-(p-a)^3—3—12—例如：已知a、卩W(丁,兀),sin(a+卩)=_二，sin(卩—丁)=，则cosQ+丁)=?\o"CurrentDocument"454134常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“sin2a+cos2a”幕的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幕处理，有时需要升幕例如：V1+cosa常用升幕化为有理式。公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。结构变化：在三角变换中常常对条件、结论