八年级数学下册平行四边形课件带辅助线

八年级学下册平行四形课件辅助线ThewasinJanuary2021

八年级数学下册特殊平行四边形-教案平行四边形的性质和判定一、知梳理1平行四边形(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形记作，读作平行四边形ABCD．2平行四边形性质：(1)平行四边形的对边平行且相等．(2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。(3)平行四边形的对角线互相平分．(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．3两条平行线的距离(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2)两平行线间的距离处处相等．4平行四边形面积：(1)如图①，．(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图②，

有公共边BC，则．

5平行四边形判别方：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．6平行四边形识的运：(1)接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．（二）行四边形的定组对边别平行四边形为平四边形如图，平行四边形中，M、分别为、BC中点，连结AN、DN、、，且AN、于点，、DN交于点Q.四边形是平行四边形吗为什么组对边别相等四边形为平四边形如图，在ABCD的各边AB、、、DA上，分别取点K、、M、，使AK=、

BL=，则四边形KLMN为平行四边形吗？说明理由.组对边行且相的四边形为行四边如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且明AECF为平行四边形.两组对角分相等的边形为平行边形(2008湖北恩施)如图，在平行四边形ABCD,∠ABC交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试证明四边形行四边形.对角线互相分的四形为平行四形

ABCD，试证的平分线DFBE为平（2010江苏宿迁）如图，在□ABCD中，点、F对角线AC上两点，且AE=．求证：∠EBF=．平行四形中的常用助

线第一类连结对角线把平行边形转化成个全等角形。例1如左下图1，在平行四边形中，点EF对角线上且AE,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF

⑵BFDE

⑶证明：连结DBDF,于点O∵四边形为平行四边形∴AOOC,DOOB∵

∴AOAEOCFCOEOF∴四边EBFD平行四边形∴DE第二类过一边两端作对边垂线，把平四边形化为矩形和角三角问题。例3已知：如左下图3，四边形为平行四边形求证：ACBD2AB2BC22

2证明：过A,D别作于点E，延长线于点F∴AC

2

AE

2

2

AB

2

2

2

AB

2

BC

2

则AC22CD2DABCBC∵四边形为平行四边形∴ABCD且CD,ABC

AEB90BE

0∴AC

2

BD

2

AB

2

BC

2

CD

2

2第三类延长一边中与顶点线，把平行边形转为三角形。

例4：已知：如右上图4，在正方形中，EF别CD的中点BE与于P点，求证：AP证明：延CFBA延长线于点K∵四边形为正方形∴AB且,AD,BAD

0

又DAK

0

,AF

CDF≌∴AK

CE

11CDDFAD2

BCD

0

90

0

0

CPB

0

,KPB90

0∴AP第四类把对角线交与一边点连结，构三角形位线例6已知：如右上图6，在平行四边形中，BN,交BD于F，求BF:解：连结AC交于O,连∵四边形为平行四边形,2

13

BC,NE∵BN

1ON∥ON2

∴

BFON

1BF2BC∴3∴3FO3∴

BF2BO5

:1:综上所，平行四边中常添辅助线是：对角线平移对角线延长一中点与顶点连等，这样可平行四形转化为三形（或殊三角形）矩形（形）等图形，为明解决问题造条件添加辅线解特殊四形题特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线下面介绍一些辅助线的添加方法.一、

和平行边形有关的助线作平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形1．利用一组对平行且相等造平行边形例1如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.分析:因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC明:连结AE、OD，因为是四边形是平行四边形，所以OC

说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形2．利用两组对平行构造平四边形例2如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF证:ED+FG=AC.分析:要证明ED+FG=AC,因为证明:过点E作EH说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题3．利用对角线相平分构造行四边例3如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.分析：要证明BF=AC，一种方法是将和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.证明：延长AD到G，使DG=AD连结BG，CG，因为BD=CD，所以四边形是平行四边形，所以AC=BG，AC说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法图3

图4二、和形有关的辅线的作

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC平分线交BC于点D是AB上一点，且AE=AC，EF分析：要证明四边形是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形根据AD是∠BAC的平分线，，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE.求AD平分CE.证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，得△是等腰三角形，因为AO平分∠CAE，所以⊥CE，且OC=OE，因为EF以四边形CDEF是菱形例5

如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长分析：要证明EF+BF的最小值是的长，可以通过连结菱形的对角线BD借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题证明：连结BD、DF.因为AC、BD是菱形的对角线，所以垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF，当且仅当F运动到DE与的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长.

图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线三、

与矩形辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少例6

如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4求PD的长.分析：要利用已知条件，因为矩形，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题解：过点P分别作两组对边的平行线、GH交AB于E，交CD于F，交BC点H，交AD于G.因为四边形ABCD是矩形，所以PF2

=CH

2

=PC

2

-PH

2

，DF

2

=AE

2

=AP

2

-EP

2

，PH

2

+PE

2

=BP

2

，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18所以PD=3.图7

说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长.四、与方形有关辅线的作正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时