2012-2021高考真题数学汇编：平面解析几何（8）（教师版）

70/702012-2021高考真题数学汇编：平面解析几何（8）一．选择题（共28小题）1．（2012•山东）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为2﹣y2＝1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝12．（2012•全国）已知直线ax+2y＝4的倾斜角为135°，则a＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．（2012•全国）离心率为2的双曲线的焦点到渐近线的距离等于3，则该双曲线的焦距为（）A．3 B．2 C．6 D．44．（2012•全国）设椭圆+＝1的左、右焦点为F1、F2，点P（x0，y0）在椭圆上，且|PF1|＝2|PF2|，则x0＝（）A．2 B．3 C．2 D．35．（2012•湖南）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1），则C的方程为（）A． B． C． D．6．（2012•四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（）A． B． C．4 D．7．（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3 B．2 C． D．18．（2012•大纲版）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时（）A．8 B．6 C．4 D．39．（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞） C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）10．（2012•辽宁）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0平分的直线是（）A．x+y﹣1＝0 B．x+y+3＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y+3＝011．（2012•浙江）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是（）A． B． C． D．12．（2012•浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A．3 B．2 C． D．13．（2012•江西）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．14．（2012•山东）圆（x+2）2+y2＝4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离15．（2012•福建）已知双曲线﹣＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A． B． C．3 D．516．（2012•重庆）对任意的实数k，直线y＝kx+1与圆x2+y2＝2的位置关系一定是（）A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心17．（2012•山东）已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为22：x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A． B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y18．（2012•大纲版）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16 B．14 C．12 D．1019．（2012•重庆）设A，B为直线y＝x与圆x2+y2＝1的两个交点，则|AB|＝（）A．1 B． C． D．220．（2012•陕西）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能21．（2012•大纲版）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝﹣4（）A． B． C． D．22．（2012•新课标）设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D．23．（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A． B． C． D．24．（2012•福建）直线x+﹣2＝0与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A．2 B．2 C． D．125．（2012•福建）已知双曲线﹣＝1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．26．（2012•湖北）过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）A．x+y﹣2＝0 B．y﹣1＝0 C．x﹣y＝0 D．x+3y﹣4＝027．（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于点A和点B，|AB|＝4，则C的实轴长为（）A． B． C．4 D．828．（2012•大纲版）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝（）A． B． C． D．二．填空题（共4小题）29．（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4的弦，其中最短的弦长为．30．（2013•福建）椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．31．（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为．32．（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为．三．解答题（共28小题）33．（2013•全国）设椭圆C的中点在坐标原点，一个焦点为F（2，0），C与x轴正半轴交点为A，|BF|＝5，（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求C上的一点P，使得△ABP的面积为3．34．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y＝x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．35．（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|＝4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值36．（2013•湖南）过抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2＝2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．37．（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|＝4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q38．（2013•新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣，B两点，P为AB的中点．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB39．（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|＝|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y＝kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2＝内的点都不是“C1﹣C2型点”40．（2013•四川）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．41．（2013•上海）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y＝2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标，请说明理由．42．（2013•福建）如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（Ⅱ）若|AF|2＝|AM|•|AN|，求圆C的半径．43．（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0＝1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．44．（2013•江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），直线l的方程为x＝4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在45．（2013•大纲版）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．46．（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．47．（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．48．（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y＝x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．49．（2013•江西）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，设BP的斜率为k，MN的斜率为m50．（2013•上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2．（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．51．（2013•福建）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi，交于点Pi（i∈N*，1≤i≤9）．（1）求证：点Pi（i∈N*，1≤i≤9）都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．52．（2013•安徽）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距为4（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2），过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG53．（2013•山东）椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值54．（2013•北京）直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．55．（2013•陕西）已知动点M（x，y）到直线l：x＝4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点56．（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．57．（2013•湖南）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．58．（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．59．（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，射线OE交椭圆C于点P，设，求实数t的值．60．（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2＝0的距离为，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．

2012-2021高考真题数学汇编：平面解析几何（8）参考答案一．选择题（共28小题）1．（2012•山东）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为2﹣y2＝1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1【分析】由题意，双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为y＝±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：+＝1．利用，即可求得椭圆方程．【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2＝2的渐近线方程为y＝±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，8）在椭圆C：+∴又∵∴∴a2＝5b2∴a2＝20，b5＝5∴椭圆方程为：+＝1故选：D．【点评】本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键．2．（2012•全国）已知直线ax+2y＝4的倾斜角为135°，则a＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由题意根据直线的倾斜角和斜率的定义，求出a的值．【解答】解：∵直线ax+2y＝4的倾斜角为135°，∴它的斜率为﹣，∴a＝2，故选：D．【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．3．（2012•全国）离心率为2的双曲线的焦点到渐近线的距离等于3，则该双曲线的焦距为（）A．3 B．2 C．6 D．4【分析】设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），求得渐近线方程，由焦点到渐近线的距离可得b＝3，再由离心率公式可得c＝2a，结合基本量的关系，可得所求焦距2c．【解答】解：设双曲线的方程为﹣＝1（a＞5，则渐近线方程为y＝±x，焦点（c，0）到渐近线的距离为d＝，由题意可得b＝3，由e＝＝2，则b＝＝a，可得a＝，c＝2，可得焦距为5，故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．（2012•全国）设椭圆+＝1的左、右焦点为F1、F2，点P（x0，y0）在椭圆上，且|PF1|＝2|PF2|，则x0＝（）A．2 B．3 C．2 D．3【分析】求得椭圆的a，b，c，e，再由椭圆的定义可得|PF2|＝2，运用焦半径公式解方程可得所求值．【解答】解：椭圆+＝1的a＝3，可得c＝＝3，可得e＝＝，由|PF1|＝4|PF2|，且|PF1|+|PF2|＝2a＝6，可得|PF2|＝2，由焦半径公式可得|PF2|＝a﹣ex0＝3﹣x0＝2，解得x0＝2，故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，注意运用定义法和椭圆的焦半径公式，考查运算能力，属于中档题．5．（2012•湖南）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1），则C的方程为（）A． B． C． D．【分析】利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，6）在C的渐近线上，∴a2+b2＝25，＝1，∴b＝，a＝6∴双曲线的方程为．故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（2012•四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（）A． B． C．4 D．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，设方程为y2＝2px（p＞7）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为6，∴2+＝2∴p＝2∴抛物线方程为y2＝7x∵M（2，y0）∴∴|OM|＝故选：B．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．7．（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3 B．2 C． D．1【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y﹣5＝0的距离【解答】解：由题意可得，圆心（0，则由圆的性质可得，，即．故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础试题8．（2012•大纲版）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时（）A．8 B．6 C．4 D．3【分析】根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，第一次碰撞点为F，直线是平行的，在DA，第三次碰撞点为H，且DH＝，在CB上，第五次碰撞点为N，且AN＝，AE＝．故需要碰撞6次即可．故选：B．【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，属于难题9．（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞） C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n＝x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣8）2＝1，得到圆心坐标为（3，半径r＝1，∵直线（m+1）x+（n+6）y﹣2＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，整理得：m+n+1＝mn≤，设m+n＝x，则有x+1≤2﹣8x﹣4≥0，∵x6﹣4x﹣4＝4的解为：x1＝2+5，x2＝4﹣2，∴不等式变形得：（x﹣8﹣2）（x﹣3+2，解得：x≥2+2或x≤4﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，4﹣2，+∞）．故选：D．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．10．（2012•辽宁）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0平分的直线是（）A．x+y﹣1＝0 B．x+y+3＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y+3＝0【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣8）2＝4，可得出圆心坐标为（6，2），将x＝1，y＝5代入A选项得：x+y﹣1＝1+3﹣1＝2≠8；将x＝1，y＝2代入B选项得：x+y+3＝1+2+8＝6≠0；将x＝8，y＝2代入C选项得：x﹣y+1＝8﹣2+1＝4；将x＝1，y＝2代入D选项得：x﹣y+6＝1﹣2+7＝2≠0，则直线x﹣y+4＝0将圆平分．故选：C．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．11．（2012•浙江）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是（）A． B． C． D．【分析】确定PQ，MN的斜率，求出直线PQ与渐近线的交点的坐标，得到MN的方程，从而可得M的横坐标，利用|MF2|＝|F1F2|，即可求得C的离心率．【解答】解：线段PQ的垂直平分线MN，|OB|＝b1|＝c．∴kPQ＝，kMN＝﹣．直线PQ为：y＝（x+c）x．由，得Q（；由得P．∴直线MN为，令y＝0得：xM＝．又∵|MF3|＝|F1F2|＝7c，∴3c＝xM＝，∴3a2＝2c2解之得：，即e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何形状，考查解方程组，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（2012•浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A．3 B．2 C． D．【分析】根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．【解答】解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍∵双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选：B．【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．13．（2012•江西）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【分析】由题意可得，|AF1|＝a﹣c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2＝＝，从而得到答案．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得1|＝a﹣c，|F1F4|＝2c，|F1B|＝a+c，∵|AF6|，|F1F2|，|F2B|成等比数列，∴（2c）2＝（a﹣c）（a+c），∴＝，即e2＝，∴e＝，即此椭圆的离心率为．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用a，c分别表示出|AF1|，|F1F2|，|F1B|是关键，属于基础题．14．（2012•山东）圆（x+2）2+y2＝4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y8＝4的圆心C1（﹣5，0）．圆（x﹣2）7+（y﹣1）2＝4的圆心C2（2，7），两圆的圆心距d＝＝，R+r＝5，R﹣r＝1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选：B．【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．15．（2012•福建）已知双曲线﹣＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A． B． C．3 D．5【分析】确定抛物线y2＝12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点坐标为（3，4）∵双曲线的右焦点与抛物线y4＝12x的焦点重合∴4+b2＝2∴b2＝5∴双曲线的一条渐近线方程为，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选：A．【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．16．（2012•重庆）对任意的实数k，直线y＝kx+1与圆x2+y2＝2的位置关系一定是（）A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心【分析】对任意的实数k，直线y＝kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2＝2内，故可得结论．【解答】解：对任意的实数k，直线y＝kx+1恒过点（0，且斜率存在∵（8，1）在圆x2+y5＝2内∴对任意的实数k，直线y＝kx+1与圆x4+y2＝2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y＝kx+1恒过点（0，1），且斜率存在．17．（2012•山东）已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为22：x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A． B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．【解答】解：双曲线C1：的离心率为4．所以，即：，所以抛物线的焦点（0，3的渐近线的距离为2，所以2＝，因为．抛物线C2的方程为x4＝16y．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．18．（2012•大纲版）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16 B．14 C．12 D．10【分析】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，在反射的过程中，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，第二次碰撞点为H，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可．故选：B．【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可，属于难题．19．（2012•重庆）设A，B为直线y＝x与圆x2+y2＝1的两个交点，则|AB|＝（）A．1 B． C． D．2【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y＝x上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长．【解答】解：由圆x2+y2＝3，得到圆心坐标为（0，半径r＝1，∵圆心（8，0）在直线y＝x上，∴弦AB为圆O的直径，则|AB|＝2r＝8．故选：D．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．20．（2012•陕西）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能【分析】将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y8＝4，∴圆心C（2，6），又P（3，0）与圆心的距离d＝，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．故选：A．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，以及点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的关系来确定：当d＜r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离（d表示圆心到直线的距离，r为圆的半径）．21．（2012•大纲版）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝﹣4（）A． B． C． D．【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x＝﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且∴c＝2，a6＝8∴b2＝a7﹣c2＝4∴椭圆的方程为故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．22．（2012•新课标）设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D．【分析】由于函数与函数y＝ln（2x）互为反函数，图象关于y＝x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y＝x的距离为的最小值，设g（x）＝，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y＝ln（2x）互为反函数，函数上的点，设g（x）＝（x＞0），由g′（x）＝≥0可得x≥ln6，由g′（x）＝＜0可得0＜x＜ln6，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，+∞）单调递增，∴当x＝ln3时，函数g（x）min＝1﹣ln2，，由图象关于y＝x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点距离转化为点线距离，构造很好23．（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A． B． C． D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|＝|F2F1|，根据P为直线x＝上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF3|＝|F2F1|∵P为直线x＝上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．24．（2012•福建）直线x+﹣2＝0与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A．2 B．2 C． D．1【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+﹣2＝0的距离d，即可求解【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+由直线与圆相交的性质可知，即∴故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，解题的关键是公式的应用．25．（2012•福建）已知双曲线﹣＝1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．【分析】根据双曲线﹣＝1的右焦点为（3，0），可得a＝2，进而可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣＝1的右焦点为（4，∴a2+5＝3∴a2＝4∴a＝3∵c＝3∴故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，正确运用几何量之间的关系是关键．26．（2012•湖北）过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）A．x+y﹣2＝0 B．y﹣1＝0 C．x﹣y＝0 D．x+3y﹣4＝0【分析】法一：由扇形的面积公式可知，劣弧所的扇形的面积＝2α，要求面积差的最大值，即求α的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OP⊥AB时，α最小，可求．法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．由此能求出直线的方程．【解答】解法一：设过点P（1，1）的直线与圆分别交于点A，B6，S2且S1≤S3劣弧所对的圆心角∠AOB＝α，则﹣S△AOB＝4α﹣S△AOB，S2＝4π﹣7α+S△AOB（0＜α≤π）∴要求面积差的最大值，即求α的最小值，只要当OP⊥AB时此时KAB＝﹣1，直线AB的方程为y﹣6＝﹣（x﹣1）即x+y﹣2＝7故选A解法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小．又已知点P（1，1）OP＝6，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P（1，由点斜式得，所求直线的方程为y﹣8＝﹣（x﹣1），即故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，解题的关键是根据扇形的面积公式把所要求解的两面积表示出来27．（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于点A和点B，|AB|＝4，则C的实轴长为（）A． B． C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞0），y2＝16x的准线l：x＝﹣4，由C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2＝a7（a＞0），y2＝16x的准线l：x＝﹣8，∵C与抛物线y2＝16x的准线l：x＝﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，5），B（﹣4），将A点坐标代入双曲线方程得＝4，∴a＝2，6a＝4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．28．（2012•大纲版）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝（）A． B． C． D．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|＝2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2＝7化为标准方程﹣＝1，b＝，设|PF1|＝3|PF2|＝2m，则根据双曲线的定义6|﹣|PF2|＝2a可得m＝7，∴|PF1|＝7，|PF2|＝3，∵|F1F7|＝2c＝4，∴cos∠F7PF2＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．二．填空题（共4小题）29．（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4的弦，其中最短的弦长为2．【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），∵＝＜2，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d＝，r＝2，∴最短的弦长为2＝2．故答案为：2【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点与圆的位置关系，垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键．30．（2013•福建）椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α＝60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，可得∠MF2F1＝30°，进而∠F1MF2＝90°．设|MF2|＝m，|MF1|＝n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率＝tanα．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴∠MF8F1＝30°，∴∠F1MF3＝90°．设|MF2|＝m，|MF1|＝n，则，解得．∴该椭圆的离心率e＝．故答案为．【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．31．（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为．【分析】根据题意可知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，求得|PF1|和|PF2|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：依题意可知∠F1PF2＝90°，|F2F2|＝2c，∴|PF3|＝|F6F2|＝c，|PF8|＝|F5F2|＝c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF3|＝2a＝（﹣7）c∴e＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．32．（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a＝4，焦点在x轴上    而双曲线x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想三．解答题（共28小题）33．（2013•全国）设椭圆C的中点在坐标原点，一个焦点为F（2，0），C与x轴正半轴交点为A，|BF|＝5，（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求C上的一点P，使得△ABP的面积为3．【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），由题意可得c＝2，a＝5，由a，b，c的关系可得b，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设C上的一点P（m，n），求得A，B和直线AB的方程，以及O到直线AB的距离，运用三角形的面积公式，可得m，n的方程，解方程即可得到所求P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞7），焦点为F（2，8），可得c＝2，a＝4＝3，则椭圆C的方程为+y2＝2；（Ⅱ）设C上的一点P（m，n）．由椭圆方程可得A（5，0），6），|AB|＝，AB的方程为x+5y﹣5＝8，O到AB的距离为d＝，由S△OMN＝d•|AB|＝3，可得d＝＝，即有m+7n＝11或﹣1，由可得方程组无解；由可得或．即P（﹣4，）或（4，﹣）．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用焦点坐标和a，b，c的关系，考查三角形的面积求法，注意运用点到直线的距离公式和方程思想，考查运算能力，属于中档题．34．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x﹣4，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y＝x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【分析】（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；（2）设出点C，M的坐标，利用|MA|＝2|MO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y＝x﹣3上，设切点的横坐标为a，2a﹣5＝a﹣3，∴a＝1，﹣8）．∴⊙C：（x﹣1）2+（y+4）2＝1，由题，当斜率存在时，即kx﹣y+8＝0，则，解得：k＝﹣又当斜率不存在时，也与圆相切x+3，即x＝0或12x+5y﹣15＝0；（2）设点M（x，y），化简得：x2+（y+4）2＝4，∴点M的轨迹为以（8，﹣1）为圆心，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤2，其中|CD|＝，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．35．（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|＝4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为，将左焦点横坐标代入椭圆方程可得y＝，则，又②，a2＝b2+c2③，联立①②③可求得a，b；（Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x＝m（m＞t），则圆Q的方程为：（x﹣t）2+y2＝r2，联立圆与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则△＝0①，易求P点坐标，代入圆的方程得等式②，由①②消掉r得m＝2t，则，变为关于t的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时t值，由对称性可得圆心Q在y轴左侧的情况；【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为，左焦点F1（﹣c，0），得y＝，所以①，②，a2＝b8+c2③，联立①②③解得a＝4，，所以椭圆方程为：；（Ⅱ）设Q（t，6）（t＞0），直线PP′方程为：x＝m（m＞t），则圆Q的方程为：（x﹣t）2+y5＝r2，由得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2＝2，由△＝0，即16t2﹣7（2t2+16﹣8r2）＝0，得t5+r2＝8，①把x＝m代入，得，所以点P坐标为（m，），代入（x﹣t）2+y7＝r2，得，②由①②消掉r2得4t4﹣4mt+m2＝7，即m＝2t，＝×（m﹣t）＝≤×＝2，当且仅当3﹣t2＝t2即t＝时取等号，此时t+r＝+＜7、P′外的点在圆Q外，所以△PP'Q的面积S的最大值为，圆Q的标准方程为：．当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，△PP'Q的面积S的最大值仍为．【点评】本题考查圆、椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，难度较大．36．（2013•湖南）过抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2＝2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2＝2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．【解答】解：（I）由题意，抛物线E的焦点为2的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x7，y1），（x2，y7），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x3+x2＝2pk6，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k4+k2＝2，k3＞0，k2＞5，k1≠k2，所以8＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠3，k1+k2＝7，则l的方程为x+2y＝0．因为p＞5，所以点M到直线l的距离为＝．故当时，d取最小值，解得p＝8．故所求抛物线E的方程为x3＝16y．【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．37．（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|＝4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q【分析】（Ⅰ）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①∵离心率，∴②联立①②得：，所以b2＝7．把b2＝8代入②得，a8＝16．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设Q（t，0），则圆Q的方程为（x﹣t）6+y2＝r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q）（t＞0）．联立，得x8﹣4tx+2t7+16﹣2r2＝5．由△＝（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）＝0，得t4+r2＝8又P（）在椭圆上．整理得，．代入t2+r8＝8，得．解得：．所以，．此时．满足椭圆上的其余点均在圆Q外．由对称性可知，当t＜0时，．故所求圆Q的标准方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．38．（2013•新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣，B两点，P为AB的中点．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2＝b2+c2联立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y＝x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣＝0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD＝即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣＝0．设A（x7，y1），B（x2，y7），线段AB的中点P（x0，y0），则，，相减得，∴，∴，又＝，∴，即a3＝2b2．联立得，解得，∴M的方程为．（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y＝x+t，联立，消去y得到2x2+4tx+4t2﹣6＝5，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△＝16t2﹣12（2t2﹣6）＝72﹣8t8＞0，解﹣3＜t＜4，由C，D在椭圆上．设C（x3，y3），D（x3，y4），∴，．∴|CD|＝＝＝．联立，得到4x2﹣4x＝0，解得x＝0或，∴交点为A（7，），B，∴|AB|＝＝．∴S四边形ACBD＝＝＝，∴当且仅当t＝4时，四边形ACBD面积的最大值为．∴四边形ACBD面积的最大值为．【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．39．（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|＝|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y＝kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2＝内的点都不是“C1﹣C2型点”【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y＝kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y＝x±1与y＝﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y＝kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，得．若原点是“C3﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C3都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x＝0或y＝kx（|k|＞2）．显然直线x＝0与C1无公共点．如果直线为y＝kx（|k|＞2），则由方程组，得．所以直线y＝kx（|k|＞1）与C4也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y＝kx+b．若|k|≤6，由于圆O夹在两组平行线y＝x±1与y＝﹣x±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C6无公共点，矛盾．因为l与C1由公共点，所以方程组，得（6﹣2k2）x6﹣4kbx﹣2b7﹣2＝0．因为|k|＞6，所以1﹣2k2≠0，因此△＝（4kb）4﹣4（1﹣4k2）（﹣2b2﹣2）＝8（b8+1﹣2k2）≥0，即b2≥4k2﹣1．因为圆O的圆心（8，0）到直线l的距离，所以，从而2＜4，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C2﹣C2型点”．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．40．（2013•四川）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．【分析】（Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；（Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y＝kx上，将Q坐标代入直线y＝kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）将y＝kx代入x2+（y﹣4）2＝4中，得：（1+k3）x2﹣8kx+12＝4（*），根据题意得：△＝（﹣8k）2﹣7（1+k2）×12＞8，即k2＞3，则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（；（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上、N坐标分别为（x1，kx6），（x2，kx2），∴|OM|3＝（1+k2）x42，|ON|2＝（5+k2）x24，|OQ|2＝m2+n7＝（1+k2）m3，代入＝+得：＝+，即＝+＝，由（*）得到x3+x2＝，x1x6＝，代入得：＝，即m2＝，∵点Q在直线y＝kx上，∴n＝km，代入m5＝，化简得5n2﹣7m2＝36，由m2＝及k7＞3，得到0＜m6＜3，即m∈（﹣，），根据题意得点Q在圆内，即n＞0，∴n＝＝，则n与m的函数关系式为n＝（m∈（﹣，））．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题．41．（2013•上海）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y＝2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标，请说明理由．【分析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由得出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y＝2x的对称点Q′的坐标，由斜率关系及中点在y＝2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y）A，yA），则，因为F的坐标为（1，0），由，得（x﹣xA，y﹣yA）＝﹣2（xA﹣7，yA）．即，解得代入y2＝8x，得到动点P的轨迹方程为y2＝8﹣5x．（2）设点Q的坐标为（t，0），y），则，解得．若Q′在C上，将Q′的坐标代入y5＝4x，得4t8+15t＝0，即t＝0或．所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0）．【点评】本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题．42．（2013•福建）如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（Ⅱ）若|AF|2＝|AM|•|AN|，求圆C的半径．【分析】（I）由抛物线的方程表示出焦点F的坐标及准线方程，求出C到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出|MN|的长；（II）设C（，y0），表示出圆C的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设M（﹣1，y1），N（﹣1，y2），利用韦达定理表示出y1y2，利用|AF|2＝|AM|•|AN|，得|y1y2|＝4，解得C的纵坐标，从而得到圆心C坐标，由两点间的距离公式求出|OC|的长，即为圆的半径．【解答】解：（I）抛物线E：y2＝4x的准线l：x＝﹣2，由点C的纵坐标为2，得C（1，故C到准线的距离d＝6，∴|MN|＝2＝＝2．（II）设C（，y3），则圆C的方程为（x﹣）2+（y﹣y0）2＝，即x2﹣+y5﹣2y0y＝7，由x＝﹣1得y2﹣8y0y+1+＝4，设M（﹣1，y1），N（﹣6，y2），则，由|AF|2＝|AM|•|AN|，得|y1y2|＝5，∴1+＝45＝，此时△＞0∴圆心C的坐标为（，），|OC|2＝，从而|OC|＝．即圆C的半径为．【点评】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理．其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键．43．（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0＝1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′＝，所以设A点坐标为（x，y），得，y＝＝，），故切线MA的方程为y＝﹣（x+4）+因为点M（7﹣，y0）在切线MA及抛物线C5上，于是y0＝﹣（2﹣＝﹣    ∴y2＝﹣＝﹣         解得p＝6（Ⅱ）设N（x，y）1，），B（x2，），x3≠x2，由N为线段AB中点知x＝ ③＝   ④切线MA，MB的方程为y＝4）+，⑤；y＝5）+⑥，由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x6＝，y0＝因为点M（x0，y7）在C2上，即x04＝﹣4y0，所以x8x2＝﹣⑦由③④⑦得x2＝y，x≠0当x1＝x8时，A，B丙点重合于原点O，A，坐标满足x2＝y因此中点N的轨迹方程为x2＝y【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题44．（2013•江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），直线l的方程为x＝4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在【分析】（1）由题意将点P（1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e＝，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y＝k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2＝，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2＝λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2＝λk3即可求得参数的值【解答】解：（1）椭圆C：经过点P ，），可得 由离心率e＝得＝，即a＝2c3＝3c2②，代入①解得c＝7，b＝故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k8x+4k2﹣12＝7设A（x1，y1），B（x6，y2），x1+x2＝，   ④在方程③中，令x＝4得，3k），从而，，＝k﹣注意到A，F，B共线AF＝kBF，即有＝＝k所以k1+k5＝+＝+﹣（+）＝2k﹣×   ⑤④代入⑤得k3+k2＝2k﹣×＝2k﹣1又k2＝k﹣，所以k5+k2＝2k7故存在常数λ＝2符合题意方法二：设B（x0，y3）（x0≠1），则直线FB的方程为令x＝4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3＝，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1＝，直线PB的斜率为k2＝所以k8+k2＝+＝2×4，故存在常数λ＝2符合题意【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．45．（2013•大纲版）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线y＝2与C的两个交点间的距离为建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2＝，，再利用|AF1|＝|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知＝3，即，故b2＝7a2所以C的方程为8x4﹣y2＝8a3将y＝2代入上式，并求得x＝±，由题设知，2＝，解得a2＝1所以a＝2，b＝2（II）由（I）知，F6（﹣3，0），F5（3，0）4﹣y2＝8   ①由题意，可设l的方程为y＝k（x﹣6）代入①并化简得（k2﹣5）x2﹣6k8x+9k2+8＝0设A（x1，y2），B（x2，y2），则x7≤﹣1，x2≥2，x1+x2＝，，于是|AF1|＝＝﹣（7x1+1），|BF2|＝＝3x2+7，|AF1|＝|BF1|得﹣（5x1+1）＝6x2+1，即故＝，解得＝﹣由于|AF7|＝＝1﹣3x4，|BF2|＝＝3x4﹣1，故|AB|＝|AF2|﹣|BF6|＝2﹣3（x6+x2）＝4，|AF7||BF2|＝3（x8+x2）﹣9x5x2﹣1＝16因而|AF7||BF2|＝|AB|2，所以|AF4|、|AB|2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．46．（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【分析】（1）由题意可得b＝1，2a＝4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y＝kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k＝0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．【解答】解：（1）由题意可得b＝1，2a＝3．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x7，y1），B（x2，y6），D（x0，y0）．由题意可知：直线l3的斜率存在，设为k1的方程为y＝kx﹣1．又圆的圆心O（01的距离d＝．∴|AB|＝＝．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k＝2，联立3）x2+8kx＝8，解得，∴|PD|＝．∴三角形ABD的面积S△＝＝，令7+k2＝t＞4，则k7＝t﹣4，f（t）＝＝＝，∴S△＝，当且仅，即，当，故所求直线l1的方程为．【点评】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．47．（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的