流体力学课件不可压缩流体

1第一页，共三十一页，2022年，8月28日从理论力学知道，刚体的运动可以分解为平移和旋转两种基本运动。流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式有平移运动，旋转运动和变形运动等，而变形运动又包括线变形和角变形两种。流体微团的运动形式与微团内各点速度的变化有关。为了便于讨论，先研究二元流动的情况。设方形流体微团中心点M的流速分量为ux和uy(图7-1)，则微团各侧边的中点A、B、C、D的流速分量分别为：第7章不可压缩流体动力学2第二页，共三十一页，2022年，8月28日第7章不可压缩流体动力学3第三页，共三十一页，2022年，8月28日可见，微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。微团上各点公有的分速度ux和uy使它们在dt时间内均沿x方向移动一距离uxdt。沿y方向移动一距离uydt。因此，我们把中心点M的速度ux和uy定义为流体微团的平移运动速度。微团左、右两侧的A点和C点沿x方向的速度差为。当这速度差值为正时，微团沿x方向发生伸长变形；当它为负时，微团沿x方向发生缩短变形。单位时间，单位长度的线变形称为线变形速度。以exx表示流体微团沿x方向的线变形速度，则第7章不可压缩流体动力学4第四页，共三十一页，2022年，8月28日则流体微团的线变形速度为第7章不可压缩流体动力学5第五页，共三十一页，2022年，8月28日类似的研究分析，可以得到流体微团旋转角速度分量为：因而角速度矢量为：角速度大小为：角速度矢量的为沿微团的旋转方向按右手定则确定。6第六页，共三十一页，2022年，8月28日第7章不可压缩流体动力学类似的研究分析，可以得到流体微团角变形速度为：ε的下标表示发生角变形所在的平面。7第七页，共三十一页，2022年，8月28日一般情况下，流体微团的运动是由上述四种基本运动形式复合而成的。M点的速度可以表达为：上列三式中，右边第一项为平移速度，第二、三项是微团的旋转运动所产生的速度增量，第四项和第五、六项分别为线变形运动和角变形运动所引起的速度增量。可见，流体微团的运动可以分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动之和。这就是亥姆霍兹速度分解定理。第7章不可压缩流体动力学8第八页，共三十一页，2022年，8月28日7.2有旋运动流体微团的旋转角速度在流场内不完全为零的流动称为有旋流动。自然界和工程中出现的流动大多数是有旋流动，例如大气中的龙卷风，管道中的流体运动，绕流物体表面的边界层及其尾部后面的流动都是有旋流动。设流体微团的旋转角速度为ω(x，y，z，t)，则涡量在x，y，z坐标上的投影为：第7章不可压缩流体动力学9第九页，共三十一页，2022年，8月28日涡量是空间坐标和时间的矢性函数：所以，它也构成一个向量场，称为涡量场。涡量连续性方程为：第7章不可压缩流体动力学10第十页，共三十一页，2022年，8月28日在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的旋转角速度向量方向的曲线，称为涡线。在给定的瞬时，涡线上各点的角速度向量在该点处与涡线相切。沿涡线取一微小线段ds，由于涡线与角速度向量的方向一致，所以，ds沿三个坐标轴方向的分量dx、dy、dz必然和角速度向量的三个分量ωx、ωy

、ωz

成正比，即这就是涡线的微分方程。第7章不可压缩流体动力学11第十一页，共三十一页，2022年，8月28日涡线是和管轴同轴的同心圆。在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为涡管。若曲线无限小，则称为微元涡管。设A为涡量场中一开口曲面，微元面dA的外法线单位向量为，涡量在方向上的投影为n。则面积分称为涡通量。第7章不可压缩流体动力学12第十二页，共三十一页，2022年，8月28日有旋流动的一个重要的运动学性质是：在同一瞬间，通过同一涡管的各截面的涡通量相等。这一性质可表示为微元涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。由于流体的旋转角速度不可能为无穷大，所以涡管截面不可能收缩为零。也就是说，涡管不可能在流体内部开始或终止，而只能在流体中自行封闭成涡环，或者终止于和开始于边界面，例如自然界中的龙卷风开始于地面，终止于云层。第7章不可压缩流体动力学13第十三页，共三十一页，2022年，8月28日对于有旋流动，其流动空间既是速度场，又是涡量场。涡量场中的涡线，涡管，涡通量等概念分别与流速场中的流线，流管，流量等概念相对应，而涡线方程和涡管的涡通量方程则分别与流线方程和元流连续性方程相对应。通常，涡通量是利用速度环量这个概念来计算的。在流场中任取一封闭曲线s，则流速沿曲线s的积分称为曲线s上的速度环量。并规定积分沿s逆时针方向绕行为的正方向。第7章不可压缩流体动力学14第十四页，共三十一页，2022年，8月28日1.斯托克斯定理式中，s为流场中任意封闭曲线；A是曲线s所围成的曲面；；是曲面A的外法线单位向量。上式称为斯托克斯定理。定理给出了速度环量和涡通量之间的关系：沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲线为边界的曲面A的涡通量。即15第十五页，共三十一页，2022年，8月28日2.汤姆逊定理汤姆逊定理指出：在理想流体的涡量场中，如果质量力具有单值的势函数，那么，沿由流体质点所组成的封闭曲线的速度环量不随时间而变：即推论：根据斯托克斯定理，沿曲线s的速度环量等于通过以s为边界的曲面的涡通量，因此，速度环量不随时间变化亦意味着涡通量不随时间而变。所以，质量力具有单值势函数的理想流体的流动，如果在某一时刻是有旋流动，那么，在以前和以后也是有旋流动；如果在某一时刻是无旋流动，那么，在以前和以后也是无旋流动。也就是说，这种流体的涡旋具有不生、不灭的性质。16第十六页，共三十一页，2022年，8月28日

7.3不可压缩流体连续性微分方程和一元流连续性方程相似，三元流连续性微分方程的推导，是在流场中选取边长为dx、dy、dz的正六面体微元控制体，写出流出和流入该空间的质量流量平衡条件。由于流体不可压缩，质量流量平衡条件可用体积流量平衡条件来代替，即在dt时间内流出和流入微元控制体的净流体体积为零。因而，在dt时间内，沿x方向流出和流入微元控制体的净流体体积为第7章不可压缩流体动力学17第十七页，共三十一页，2022年，8月28日同理，在dt时间内沿y,z方向流出和流入微元控制体的净流体体积分别为：根据不可压缩流体连续性条件，dt时间内沿x、y、z方向流出和流入微元控制体的净流体体积之和应为零，即这就是不可压缩流体的连续性微分方程。这个方程对恒定流和非恒定流都适用。第7章不可压缩流体动力学18第十八页，共三十一页，2022年，8月28日第八章绕流运动在自然界和工程实际中，存在着大量的流体绕物体的流动问题，即绕流问题。例如，飞机在空气中的飞行，河水流过桥墩，火力发电厂的高烟囱周围的空气流动，粉尘颗粒在空气中的飞扬或沉降，水处理中固体颗粒污染物在水中的运动，晨雾中水滴在空气中的下落等。流体的绕流运动，可以有多种方式，或者流体绕静止物体运动，或者物体在静止的流体中运动，或者两者兼之，均为物体和流体作相对运动。不管是哪一种方式，我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的运动。因此，所有的绕流运动，都可以看成是同一类型的绕流问题。19第十九页，共三十一页，2022年，8月28日在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远远大于作用在流体上的黏性力，黏性力相对于惯性力可以忽略不计，将流体视为理想流体，由理想流体的流动理论求解流场中的速度分布和压强分布。但是在靠近物体的一薄层内，由于存在着强烈的剪切流动，黏性力却大到约与惯性力相同的数量级，因此，在这一薄层(称为附面层)内，黏性力不能忽略。在附面层内，由于存在着强烈的剪切涡旋运动，黏性对绕流物体的阻力、能量耗损、扩散和传热等问题，起着主要的作用。基于上述缘由，在处理大雷诺数下的绕流问题时，可以用附面层理论处理附面层内的流动，而用理想流体动力学理论求解附面层外流场中的流动，将两者衔接起来，就可以解决整个绕流问题。第八章绕流运动20第二十页，共三十一页，2022年，8月28日8.1无旋流动当流动为无旋时，将使问题的求解简化，因此提出了无旋流动的模型。流场中各点旋转角速度等于零的运动，称为无旋流动。在无旋流动中，有第八章绕流运动21第二十一页，共三十一页，2022年，8月28日第八章绕流运动22第二十二页，共三十一页，2022年，8月28日因此，无旋流动的前提条件是根据全微分理论，上列三等式是某空间位置函数φ(x，y，z)存在的必要和充分条件。它和速度分量ux、uy、uz的关系表为下列全微分的形式：第八章绕流运动23第二十三页，共三十一页，2022年，8月28日函数φ称为速度势函数。存在着速度势函数的流动，称为有势流动，简称势流。无旋流动必然是有势流动。展开势函数的全微分，有比较上两式的对应系数，得出第八章绕流运动24第二十四页，共三十一页，2022年，8月28日即速度在三坐标上的投影，等于速度势函数对于相应坐标的偏导数。事实上，通过速度势这个函数，不仅可以描述x、y、z这三个方向的分速度，而且可以反映任意方向的分速度。根据方向导数的定义，函数φ在任一方向上的方向导数为上式右边是速度的三个分量在上的投影之和，应等于在上的投影us，即速度在某一方向的分量等于速度势函数对该方向上的偏导数。第八章绕流运动25第二十五页，共三十一页，2022年，8月28日存在着势函数的前提是流场内部不存在旋转角速度。根据汤姆逊关于旋涡守恒定理所引伸出的推论，只有内部不存在摩擦力的理想流体，才会既不能创造旋涡，又不能消灭旋涡。摩擦力是产生和消除旋涡的根源，因而一般只有理想流体流场才可能存在无旋流动。而理想流体模型在实际中要根据黏滞力是否起显著作用来决定它的采用。工程上所考虑的流体主要是水和空气，它们的黏性很小，如果在流动过程中没有受到边壁摩擦的显著作用，就可以当作理想流体来考虑。水流和气流总是从静止状态过渡到运动状态。当静止时，显然没有旋转角速度。根据汤姆逊定理，对于可按理想流体处理的水和空气的流动，从静止到运动，也应保持无旋状态。第八章绕流运动26第二十六页，共三十一页，2022年，8月28日例如，通风车间用抽风的方法使工作区出现风速，工作区的空气即从原有静止状态过渡到运动状态，流动就是无旋的。所以，一切吸风装置所形成的气流，可以按无旋流动处理。相反，利用风管通过送风口向通风地区送风，空气受风道壁面的摩擦作用，流动在风道内是有旋的，流入通风地区后，又以较高的速度和静止空气发生摩擦，所以只能维持有旋，而不能按无旋处理。飞机在静止空气中飞行时，静止空气原来是无旋的。飞机飞过时，空气受扰动而运动，仍应保持无旋。只有在紧靠机翼的近距离内，流体受固体壁面的阻碍作用，流动才有旋。此外，即使流动是有旋的，当它的流速分布接近于无旋，也可以有条件有范围地按无旋处理。第八章绕流运动27第二十七页，共三十一页，2022年，8月28日现在，我们把速度势函数代入不可压缩流体的连续性方程：其中同理得出第八章绕流运动28第二十八页，共三十一页，2022年，8月28日上述方程称为拉普拉斯方程。满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。因此，不可压缩流体势流的速度势函数，是坐标(x，y，z)的调和函数，而拉普拉斯方程本身，就是不可压缩流体无旋流动的连续性方程。第八章绕流运动29第二十九页，共三十一页，2022年，8月28日第八章绕流运动8.2平面无旋流动在流场中，某一方向(取作z轴方向)流速为零，uz=0，而另两方向