河北省廊坊市固安县柳泉乡中学2021年高三数学文联考试题含解析

河北省廊坊市固安县柳泉乡中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为A.3π B.12π C.18π D.27π参考答案：D【分析】根据三视图还原出几何体，结合几何体的特征求出其外接球的表面积.【详解】根据三视图还原成几何体如图，它是从一个四棱锥截下的部分,四棱锥如图，结合三视图中的数据可知，其外接球半径为,故外接球的表面积为,故选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原几何体时，要注意数据的对号入座.侧重考查直观想象的核心素养.2.函数在区间内可找到个不同数，使得，则的最大值等于（）9

10

11

12命题意图:考查三角函数图像、周期性、数形结合、直线斜率等知识，稍难题.

参考答案：B3.下列四个图中，函数y=的图象可能是（）参考答案：【知识点】函数的图像；函数的性质.B8【答案解析】C

解析：令，则原函数转化为，此函数为奇函数，关于坐标原点对称，可排除A,D;又因为当时，函数值为正值，故排除B,则答案为C.【思路点拨】借助于函数的性质结合排除法即可.4.已知，则a，b，c的大小关系为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】结合指数、对数及三角函数的性质判断大小即可【详解】，，，，故，故选：A【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数、三角函数的性质比大小，熟记基本函数的图象特点是关键，属于基础题5.已知等比数列的公比q=2，且成等差数列，则的前8项和为(

)A.127 B.255 C.511

D.1023参考答案：B6.设，且下列结论中正确的是(

)

A．

B．

C． D．参考答案：答案：A7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CD=10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④.其中所有正确结论的编号是（

）A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③④参考答案：B【分析】利用勾股定理求出的值，可得，再利用二倍角的正切公式求得，利用两角和的正切公式求得的值.【详解】设，则，∵，∴，∴.即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴，由，解得（负根舍去）.∵，∴.故正确结论的编号为①③④.故选：B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.8.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（

）A.4 B.6 C.8 D.12参考答案：试题分析：先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B9.参考答案：B略10.已知，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A因为，所以，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.“”是”的

条件.参考答案：必要不充分略12.设，满足约束条件向量，，且，则的最小值为

．参考答案：由向量平行的充要条件可得：，绘制不等式组表示的可行域区域，结合两点之间距离公式的几何意义可得：目标函数在点处取得最小值13.若函数的单调递增区间是,则.参考答案：-614.已知实数且，函数若数列满足，且是等差数列，则参考答案：2,0试题分析：∵，∴数列中的项分别为，由于是等差数列，∴且，∴.考点：等差数列的定义.15.设椭圆和双曲线的公共集点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则的值为_________参考答案：316.△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4，c=5，B=2C，点D为边BC上一点，且BD=6，则△ADC的面积位．参考答案：10【考点】正弦定理．【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可求cosC，利用二倍角的余弦函数公式可求cosB=cos2C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，由余弦定理可得BC2﹣6BC﹣55=0，解得BC，可求DC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵b=4，c=5，B=2C，∴由正弦定理可得：==，可得：cosC=，∴cosB=cos2C=2cos2C﹣1=，sinC==，∴在△ABC中，由余弦定理可得：（4）2=52+BC2﹣2×，整理可得：BC2﹣6BC﹣55=0，解得：BC=11或﹣5（舍去），∴DC=BC﹣BD=11﹣6=5，∴S△ADC=AC?DC?sinC==10．故答案为：10．17.已知分别是内角的对边，，则

．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x+y﹣2=0相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）对于直线l：y=x+m和点Q（0，3），椭圆C上是否存在不同的两点A与B关于直线l对称，且3?=32，若存在实数m的值，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率，得b=c，写出以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程，再由点到直线的距离列式求得b，c的值，结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（2）由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y=﹣x+n．联立消y整理可得：3x2﹣4nx+2n2﹣2=0，由△＞0解得n的范围．再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线AB之中点坐标，代入直线AB，再由点P在直线l上求得m的范围，最后由3?=32求得m的值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率，得，得b=c．上顶点为（0，b），右焦点为（b，0），以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为，∴，即|b﹣2|=b，得b=c=1，，∴椭圆的标准方程为；（2）由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y=﹣x+n．联立消y整理可得：3x2﹣4nx+2n2﹣2=0，由△=（﹣4n）2﹣12（2n2﹣2）=24﹣8n2＞0，解得．，，设直线AB之中点为P（x0，y0），则，由点P在直线AB上得：，又点P在直线l上，∴，则…①．又，，∴=，解得：或m=﹣1…②综合①②，知m的值为．19.已知函数f（x）=x2，g（x）=x﹣1．（1）若?x∈R使f（x）＜b?g（x），求实数b的取值范围；（2）设F（x）=f（x）﹣mg（x）+1﹣m﹣m2，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．参考答案：解：（1）由?x∈R，f（x）＜b?g（x），得?x∈R，x2﹣bx+b＜0，∴△=（﹣b）2﹣4b＞0，解得b＜0或b＞4，∴实数b的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）；（2）由题设得F（x）=x2﹣mx+1﹣m2，对称轴方程为，△=m2﹣4（1﹣m2）=5m2﹣4，由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有：①当△≤0即﹣≤m时，有，解得，②当△＞0即或时，设方程F（x）=0的根为x1，x2（x1＜x2），若，则，有即为解得m≥2；若，即，有x1＜0，x2≤0；得F（0）=1﹣m2≥0，有﹣1≤m≤1，∴；综上所述，实数m的取值范围是[﹣1，0]∪[2，+∞）．考点：二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：（1）把?x∈R使f（x）＜b?g（x），转化为?x∈R，x2﹣bx+b＜0，再利用二次函数的性质得△=（﹣b）2﹣4b＞0，解出实数b的取值范围；（2）先求得F（x）=x2﹣mx+1﹣m2，再对其对应方程的判别式分△≤0和当△＞0两种情况，分别找到满足|F（x）|在[0，1]上单调递增的实数m的取值范围，最后综合即可．解答：解：（1）由?x∈R，f（x）＜b?g（x），得?x∈R，x2﹣bx+b＜0，∴△=（﹣b）2﹣4b＞0，解得b＜0或b＞4，∴实数b的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）；（2）由题设得F（x）=x2﹣mx+1﹣m2，对称轴方程为，△=m2﹣4（1﹣m2）=5m2﹣4，由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有：①当△≤0即﹣≤m时，有，解得，②当△＞0即或时，设方程F（x）=0的根为x1，x2（x1＜x2），若，则，有即为解得m≥2；若，即，有x1＜0，x2≤0；得F（0）=1﹣m2≥0，有﹣1≤m≤1，∴；综上所述，实数m的取值范围是[﹣1，0]∪[2，+∞）．点评：本题的（1）考查了存在性问题，存在性问题是只要能找到即可，并不要求所有的都成立．20.已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，离心率为，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．参考答案：（Ⅰ）∵焦距为4，∴c=2

………………1分

又，∴a=，b=2

…………3分

∴标准方程为

………4分

（Ⅱ）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

由得

……5分

∴x1+x2=，x1x2=

由（Ⅰ）知右焦点F坐标为（2，0），

∵右焦点F在圆内部，∴＜0

………………7分

∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0

即x1x2-2（x1+x2）+4+k2x1x2+k（x1+x2）+1＜0

……8分

∴＜0

……………10分

∴k＜经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，

∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）

……………12分21.（本小题满分12分）如图，在矩形中，，,分别为,的中点，且沿,分别将与折起来，使其顶点与重合于点，若所得三棱锥的顶点在底面内的射影恰为的中点。（1）求三棱锥的体积；

（2求折起前的与侧面所成二面角的大小.参考答案：【知识点】棱锥的体积公式；二面角的平面角G4G5G11(1);(2)解析：(1)依题设：面

又依题设：O为EF的中点，且,故是斜边为的等腰，故，且，又为矩形，且,为边的中点，

故。(2)因所求二面角与二面角互补，故先求二面角。作于H，连，则由知：OH为的射影为二面角的平面角，在中，由易求得：，又，故在中，由=，由此即知二面角的大小为。(2)设平面与平面的夹角为，并设其法向量为，则由，，以及取，得平面的一个法向量为：；而平面的一个法向量为：，故由=。而所求二面角为钝二面角，故其大小为。【思路点拨】(1)依题设易得面然后得是斜边为的等腰，故，且，又为矩形，且,为边的中点，再利用体积公式即可；(2)因所求二面角与二面角互补，故先求二面角。作于H，连，则由知：OH为的射影为二面角的平面角，然后在中求之即可。22.（本小题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；（Ⅱ）为调查该地区的年龄与生活习惯是否符合低碳观念有无关系，调查组按40岁以下为青年