河北省廊坊市三河第九中学高三数学理下学期期末试题含解析

河北省廊坊市三河第九中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线C：=1的离心率等于，且点在双曲线C上，则双曲线C的方程为（）A． B． C． D．参考答案： D【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线C：=1的离心率等于，且点在双曲线C上，知，由此能求出双曲线C的标准方程．【解答】解：∵双曲线C：=1的离心率等于，且点在双曲线C上，∴，解得：a2=4，b2=1，∴双曲线C的标准方程为=1．故选D．【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线的简单性质的灵活运用．2.已知M是△ABC内的一点，且?=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MAB、△MCA的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．9 B．16 C．18 D．20参考答案：C【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得?=bccos∠BAC=bc×=2，∴bc=4，故S△ABC=x+y+bcsinA=1，∴x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，当且仅当x=，y=时取等号．故选：C．3.已知，则的值是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A4.已知平面向量共线，则=

A．

B．

C．

D．5参考答案：A略5.若，则是复数是纯虚数的（

） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C略6.

如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，底面ABCDEF过球心，则此正六棱锥的体积为（

）A.2

B.4

C.8

D.12

参考答案：答案：B

7.执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出S=（）

A． B． C．D．参考答案：B【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i值，利用裂项相消法计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵输入n=10，∴跳出循环的i值为12，∴输出S=++…+=++…+=（1﹣）×=．故选：B．8.己知x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，） B．（，） C．（，π） D．（，π）参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【分析】由极值点可求得φ的值，再求2kπ+＜2x﹣＜2kπ+中x的取值范围，可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项求出答案．【解答】解：x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，∴sin[2×（﹣）+φ]=﹣1，∴﹣+φ=2kπ﹣，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，）．故选：A．9.若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为

(

)

A．7

B．8

C．15

D．16参考答案：C10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A．

B．

C.2

D．4参考答案：A几何体如图，体积为选A.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示的算法流程图中,若则的值等于

.参考答案：912.设圆O1，圆O2半径都为1，且相外切，其切点为P．点A，B分别在圆O1，圆O2上，则的最大值为

▲

．参考答案：以为原点，两圆圆心所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系．则，，令，，所以所以，令，则，所以当时，有最大值，填．

13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若且，则△ABC面积的最大值是

．参考答案：由b=acosC+csinA，正弦定理：sinB=sinAcosC+sinCsinA即sin（A+C）=sinAcosC+sinCsinA可得：sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA∴cosAsinC=sinCsinA，∵sinC≠0∴cosA=sinA，即tanA=1．0＜A＜180°，∴A=45°在三角形ADC中：由余弦定理可得：即2bc=4b2+c2﹣8．∵4b2+c2≥4bc，∴bc≤=那么S=bcsinA=．故答案为：．

14.我们把三个集合中，通过两次连线后能够有关系的两个数字的关系称为”鼠标关系”，如图1，可称a与q，b与q，c与q都为”鼠标关系”集合A={a，b，c，d}，通过集合B={1，2，3}与集合C={m，n}最多能够产生条”鼠标关系”，（只要有一条连线不同则”鼠标关系”不同）参考答案：24【考点】映射．【分析】利用新定义，结合计数原理，可得结论．【解答】解：由题意，集合A={a，b，c，d}，通过集合B={1，2，3}与集合C={m，n}最多能够产生4×3×2=24条”鼠标关系”，故答案为24．15.设函数，若|f（x）+f（x+l）﹣2|+|f（x）﹣f（x+l）≥2（l＞0）对任意实数x都成立，则l的最小值为

．参考答案：2

【分析】令g（x，l）=|f（x）+f（x+l）﹣2|+|f（x）﹣f（x+l）|（l＞0）易知函数f（x）为偶函数，且f（x）≥0，g（x，l）≥2恒成立，所以g（﹣）=2|f（）﹣1|≥2．可得f（）≤0或f（）≥2，即，或．分类讨论即可求解．【解答】解：令g（x，l）=|f（x）+f（x+l）﹣2|+|f（x）﹣f（x+l）|（l＞0）易知函数f（x）为偶函数，且f（x）≥0，g（x，l）≥2恒成立，所以g（﹣）=2|f（）﹣1|≥2．∴f（）≤0或f（）≥2，即，或．①若l=2，由g（﹣）=）=|+﹣2|+||=2＜2，不合题意．②若l≥2，则max{|x|，|x+2|}，故max{f（x），f（x+l）}≥2．从而g（x，l）=|f（x）+f（x+l）﹣2|+|f（x）﹣f（x+l）|≥max{f（x）+f（x+l）﹣2+f（x）﹣f（x+l），f（x）+f（x+l）﹣2﹣|f（x）+f（x+l）}≥max{2f（x）﹣2，2f（x+l）﹣2}≥2，从而．故答案为：2．【点评】本题考查了函数不等式恒成立问题，分类讨论思想，绝对值不等式的性质，属于难题．13.已知．我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2004）内的所有劣数的和为

．参考答案：2026

略17.将函数的图象上所有点的横坐标向

平移

个单位，可得函数y=sin2x的图象．参考答案：左，．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据正弦函数图象的平移法则，即可得出正确的答案．【解答】解：函数=sin2（x﹣），将函数y的图象上所有点的横坐标向左平移个单位，可得函数y=sin2x的图象．故答案为：左，．【点评】本题考查了正弦函数图象平移法则的应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（16分）已知函数，数列满足对于一切有，且．数列满足，设．（Ⅰ）求证：数列为等比数列，并指出公比；（Ⅱ）若，求数列的通项公式；（Ⅲ）若（为常数），求数列从第几项起，后面的项都满足．参考答案：解析：（Ⅰ）

…2分故数列为等比数列，公比为３.

………

4分（Ⅱ）

………

6分所以数列是以为首项,公差为loga3的等差数列.又

………

8分又=1+3,且

………

10分（Ⅲ）

假设第项后有

即第项后，于是原命题等价于

………

15分

故数列从项起满足．

………

16分19.已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）解不等式|2x﹣3|＜x得出x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集，从而可求得m，n；（II）利用基本不等式得出（a+b+c）2的最小值，从而得出a+b+c的最小值．【解答】解：（I）∵|2x﹣3|＜x，∴﹣x＜2x﹣3＜x，解得1＜x＜3，∴x2﹣mx+n＜0的解集为（1，3），∴1，3是x2﹣mx+n=0的两根，即，解得m=4，n=3．∴m﹣n=1．（II）由（1）得ab+bc+ac=1，．∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac=2，∴a2+b2+c2≥1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥1+2=3．∴a+b+c≥．当且仅当a=b=c=时取等号．20.已知A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的6个顶点，在顶点取自A，B，C，D，E，F的所有三角形中，随机（等可能）取一个三角形．设随机变量X为取出三角形的面积．（Ⅰ）求概率P（X=）；（Ⅱ）求数学期望E（X）．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）取出的三角形的面积是的三角形有6种情况，由此可得结论；（Ⅱ）确定X的取值，求出相应的概率，从而可求数学期望．解答：解：（Ⅰ）由题意得取出的三角形的面积是的概率P（X=）==．…（7分）（Ⅱ）随机变量X的分布列为XP所以E（X）=×+×+×=．…（14分）点评：本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识．21.已知函数，其导函数的最大值为0．（1）求实数a的值；（2）若，证明：．参考答案：（1）；（2）见解析．（1）由题意，函数的定义域为，其导函数，记，则．当时，恒成立，所以在上单调递增，且．所以，有，故时不成立