2012年高考试题：理科数学(全国卷)-含答案及解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）I卷（选择题）II卷（非选择题）两部分，第I12II34页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。没小题选出答案后，用2B。I12560分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、 选择题1、复数

1i =A.2i B.2i C.12i D.12i【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C1

(13i)(1i)

2

12i【解析】

1i (1i)(1i) 2 .【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）讲解。m（2、已知集合＝{1.3. ，＝{m}A BA,则m=m30或3

0或3 C. 1或

D. 133【考点】集合3【难度】容易【答案】B【解析】mABABAQA(1,3,m),B(1,m)mmAmm

m0,m1(舍去)m3.1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。4x=﹣4，则该椭圆的方程为x2 y2 x2 y2A. 16+

=1

12+8=1x2 y2 x2 y2C. 8+4=1 D. 12+4=1【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】Cx=﹣4,a2=4cx轴上，∵2c4∴c2，a2

x22∴椭圆的方程为2

y2=18 42【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。在高二数学（理）02（文）强化提高班中有对圆锥曲线相关知识的总结讲解。2ABCD-的距离为

1B1C1D1

中，AB=2，CC=2

E

与平面BED3212 B. C. D. 1321【考点】立体几何【难度】容易【答案】C2【解析】因为底面的边长为2，高为22

AC,BD,O,EO,EO∥AC,则点

到平面1BDECBDECCH⊥OE,OCE中，利用等面积12法，可得CH= .2体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解，其中第114与此题几乎一致。已知等差数列n

n项和为San 5

5,S5

15，则数列{ana

100项和为an1a100 99 99 101A.101【考点】数列【难度】中等【答案】A

B. 101

C.100

D.100【解析】因为已知等差数{ a

}

=5，S

(a

a)515∴

=1∴d=1∴a 1 = 1

n51 1

5 1 5 2 1n an

n1

n(n1) n (n1)∴S100

)(-)...( )1 .=(1-=(1-1 1 1 1 1 1 【点评】本题考查数列的前n项和求解方法。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章《数列》有详细讲解，其中第04讲中，例6属于完全相同类型的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对数列相关知识的总结讲解。rrrr r r ABCAB边的高为C，若CBa,Cb,ab0,a1,b2则AD=1r 1r 2r 2r 3r 3r 4r 4rA.ab B.ab C.ab D.a3 3 3 3 5 5 5 5【考点】向量【难度】容易【答案】D【解析】因为

=0∴AC=9°

52 55,CD52 55

,AD= ∴AD:BD=4:154 55 554 51444445 5 5 5 5 51讲解，其中第01讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（理）识的总结讲解，在百日冲刺班有向量与三角函数综合类型题目的讲解。3已知α为第二象限角33

，则cos2α=

C. D.55553 9 9 35555【考点】三角函数【难度】容易【答案】A【解析】∵sin+cos=

.1+sin2=133 33sin2= 2∴是第二象限角，因此sin＞0，cos＜03(sincos)215∴-(sincos)21535cos2=(--sin+cos)(sin+cos)= .53【点评】本题考查三角函数的计算及二倍角公式，注意各个象限内三角函数值的符号。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第六章《三角函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（理）角函数相关知识的总结讲解。1 2 1 2 1 已知FF为双曲线：x－y22的左、右焦点，点P在C上，PF|=|PF，则coFPF1 2 1 2 1 1 3 3 44

5

4

5【考点】双曲线及解三角形【难度】中等【答案】C2【解析】由题意可知，a=2

=b∴c=2设PF1

=2X, PF =X2∴

-

=x2

∴PF= 4

，PF= 2

，FF =42221 2 1 2 1 2222(4 2)22 2(4 2)22 24222 24 21 2 42，第06讲中例4（理强化提高班、百日冲刺班中均有对圆锥曲线、解三角形相关知识的总结讲解。已知

2，5

1，则A.x＜y＜z B.z＜x＜y C.z＜y＜x D.y＜z＜x【考点】对数函数【难度】中等【答案】D【解析】∵ln ＞1∴

2 1 ∴log

2＞2， 5 log5 5 21 1ee∴z= e2 ∴ ＜2∴y＜z＜x.ee【点评】本题考查对数函数的相关性质，即单调性。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第四章《初等函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）02讲中有相同类型题目的讲解。(10)已知函数yx3－3xc的图像与x恰有两个公共点，则c＝A或2 B.﹣9或3 C.﹣1或1 D.﹣3或1【考点】导数的应用【难度】中等【答案】A【解析】因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，说明函数的极大值或极小值为零即可。【点评】本题考查利用导数判断函数单调性，进而判断函数与坐标轴交点。在高二数学（理）上学期，第一章《导数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）解，同时还包含很多导数与数列、与圆锥曲线相结合的题目。将字母aabbcc列方法共有A.12种 B.18种 C.24种 D.36种【考点】排列【难度】中等【答案】A【解析】本题考查排列组合的运用，利用分布计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，接着填写第二行第一列的数，有2种，所以一共有3×2×2=12种。同时包含概率与立体几何相结合的综合题目。7ABCD1EABFBC3.PE出发沿直线F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点PE时，P边碰撞的次数为A.16 B.14 C.12 D.10【考点】轨迹问题【难度】较难【答案】B【解析】结合已知中的点E，F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可。【点评】本题考查在空间几何体中点的轨迹问题。在高二数学（理）量与立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（理）识的总结讲解，同时还包含很多轨迹问题的总结性题目。注意事项：

2012理科数学（）答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。2页，请用直径0.5。1090分。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。（x-y10,若x，y满足约束条件xy-30,则z3x1的最小值.x3y-30,【考点】线性规划【难度】容易【答案】－1【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点（0,1）时最小为－1。1解，其中第06讲，是线性规划的专题讲解，有完全相似的题目讲解。在高考精品班数学（理）中有对线性规划相关知识的总结讲解。当函数ysinx3cosx(0)取得最大值时.【考点】三角函数【难度】容易【答案】6【解析】因为

ysinx－3cosx2sin(x)3 －Qx[0,2] －

]3 3 ,3当，即x,3 2 6函数值最大为2.1解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。1 1若(x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数.x x2【考点】二项式定理【难度】中等【答案】561【解析】C2

C6,n8Qx)8展开式的通项公式为：n n xTr1

Crx8-2r,令8－2r－2，得到r＝58C58

56即为所求.1式定理》有详细讲解，其中第03讲，例2，属于完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对二项式定理、排列、组合相关知识的总结讲解。ABC-ABC=∠CAA=50°ABBC所11 1 1 1 1 1成角的余弦值.【考点】异面直线之间的夹角【难度】较难3 38【答案】3 38383【解析】首先根据已知条件，做AH垂直于底面交BC的高线于H,然后可得到侧棱与底为33

，设出侧棱长a,HA3a（ ,0,0）B(3a

a 6a3a, , ),B(3a

a,

C(

a, 6a，结合向量的夹角公式可以得到余弦值。3a3 1 3 3 3 6 2 1 6 2 33a1中的夹角和距离》有详细讲解，其中例4有完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解，包括空间中的垂直、平行、夹角典型例题的讲解。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（．（17（本小题满分10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos(A－C)＋cosB=1，a=2c，求c.【考点】解三角形综合题【难度】容易2形应用问题》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对解三角形相关知识的总结讲解。（18（本小题满分12分）2P－ABCDABCD点，PE=2EC.2

PC上的一（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；A－PB－C90°PDPBC.【考点】立体几何综合题【难度】中等【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及直线与平面所成角的求解。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第四章《立体几何（理）详细讲解，有完全相似的题目剖析。在高考精品班数学（理）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。（19）.（本小题满分12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在102次后，对方再连续发球2101分的概率0.6.（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；4次发球时乙的得分，求.【考点】概率计算综合题【难度】中等【点评】本题考查概率的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章《概率》有详细讲解，其中第04讲主要讲解“高考中的概率题（理）对概率相关知识的总结讲解。（20（本小题满分12分）设函数f(x)axcosx，x∈[0，π.]（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）设f(x)1sinx，求a的取值范围.【考点】函数性质及导数综合【难度】中等【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质及函数与不等式的综合问题。在高二数学（理）强化提高2等式详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数、导数及不等式综合知识的总结讲解。（21）.（本小题满分12分）已知抛物线C:y(x与圆M:y(x1)2(y1)2r2 (r＞0)有一个公共点且在A处两曲线的切2线为同一直线l.（Ⅰ）求r；m、nlCMnDDl的距离。【考点】抛物线【难度】中等2与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对抛物线的专题讲解。（22（本小题满分