江苏省常州市直溪高级中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

江苏省常州市直溪高级中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=cos2x的周期是T，将f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递增，为奇函数C．在（，）上单点递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=cos2x的周期是T==π，将f（x）的图象向右平移=个单位长度后得到函数g（x）=cos2（x﹣）=sin2x的图象，可得g（x）的最大值为1，当x=时，g（x）=0，不是最值，故它的图象不关于直线x=对称，故排除A．g（x）在（0，）上单调递增，且g（x）为奇函数，故B正确．在（，）上，2x∈（﹣，），sin2x没有单调性，故g（x）没有单调性，故C错误．令x=，求得g（x）=sin2x=，不是最值，故g（x）的图象不关于点（，0）对称，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．2.设全集，集合则集合=（）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为（）．

A．

B.

C．

D.参考答案：C略4.已知全集为R，集合A={}，B={}，=A．[0，2)

B．[0，2]

C．(1，2)

D．(1，2]参考答案：A5.在等比数列中,,前项和为.若数列也成等比数列,则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是(

)A．[，1] B．[0，1] C．[，+∞） D．[1，+∞）参考答案：C【考点】分段函数的应用．【专题】创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t﹣1=2t，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2tln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选C．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．7.执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．S≤？ B．S≤？ C．S≤？ D．S≤？参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件．【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=++=（此时k=6），因此可填：S≤？．故选：B．8.下列说法正确的是（

）A．“若，则”的否命题是“若，则”.

B．“若，则”的逆命题为真命题.C．，使成立.

D．“若，则”是真命题.参考答案：D对于A.“若，则”的否命题是“若，则”,故A错误;对于B.“若,则”的逆命题为“若,则”,当时,,故B错误;对于C.因为,所以C错误;对于D.“若，则”是真命题，故选D.

9.集合，集合，则P与Q的关系是(

)A．P＝Q

B．PQ

C．PQ

D．P∩Q＝参考答案：C10.已知，若函数只有一个零点，则的取值范围是（A） （B）

（C） （D）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据因书写不清，只记得是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于１的概率为___．（残差=真实值-预测值）参考答案：12.双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为

．参考答案：1+考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．解答： 解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2=a2+b2=1，解得a=﹣1，双曲线的离心率e==1+．故答案为：1+．点评：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．13.

某路段检查站监控录象显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有

辆参考答案：答案:π14.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；

②若，，则；③若，，则；

④若，，，则；⑤若//，，//，则．上面命题中，真命题的序号是

（写出所有真命题的序号）．.参考答案：②⑤15.关于实数的不等式的解集是

参考答案：16.若斜的内角成等差数列,则

参考答案：17.已知是双曲线的右焦点的右焦点,点分别在其两条渐进线上，且满足，（为坐标原点），则该双曲线的离心率为____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，xi，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n≥3．?X={x1，x2，…，xi，…，xn}∈Ωn，称xi为X的第i个坐标分量．若S?Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②?X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为Ωn的一个好子集，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣xi，…，1﹣xn），进行判断证明即可．（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）对于X?Ω，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣xi，…，1﹣xn），显然X′∈Ωn，?X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，xi，yi，1﹣xi不可能都为1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定义知道，?X，Y∈Ω，X′=Y′?X=Y…6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n﹣1；…8分（Ⅲ）?X={x1，x2，…，xi，…，xn}，．?Y={y1，y2，…，yi，…，yn}∈Ωn，定义元素X，Y的乘积为：XY={x1y1，x2y2，…，xiyi，…，xnyn}，显然XY∈Ωn，．我们证明：“对任意的X={x1，x2，…，xi，…，xn}∈S，都有XY∈S．”假设存在X，Y∈S，使得XY?S，则由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣xiyi，…1﹣xn﹣1yn﹣1，1﹣xnyn}∈S，此时，对于任意的k∈{1，2，…n}，xk，yk，1﹣xkyk不可能同时为1，矛盾，所以XS∈S．因为S中只有2n﹣1个元素，我们记Z={z1，z2，…，zi，…，zn}为S中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道={z1，z2，…，zi，…，zn}∈S，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设zk=1，根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1…11分下面再证明k的唯一性：若还有zt=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，所以此时集合S中元素个数至多为2n﹣2个，矛盾．所以结论成立…13分19.已知：函数，在区间上有最大值4，最小值1，设函数（1）求的值（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围参考答案：20.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，1），点B在直线l1：y=﹣1上，点M满足，，点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P，且与直线l1：y=﹣1相交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），利用得，代入即可得出；（2）解法1：由曲线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，利用导数的几何意义可得切线的斜率，直线l2的方程为，令y=﹣1得Q点的坐标为，由于点N在以PQ为直径的圆上，可得=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，即可得出．解法2：设点P（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，利用导数的几何意义可得切线斜率，得到直线l2的方程为，令y=﹣1得Q点的坐标为，可得以PQ为直径的圆方程为：，由于在坐标平面内若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），进一步确定即可．解答： 解：（1）设M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），∴，，．由得，即（﹣x，﹣2y）?（x，﹣2）=0?x2=4y，∴曲线C的方程式为x2=4y．（2）解法1：由曲线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，由得，∴，∴直线l2的方程为，令y=﹣1得，∴Q点的坐标为，∴，∵点N在以PQ为直径的圆上，∴=﹣2﹣（1+n）=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，解得n=1，∴在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．解法2：设点P（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，由得，∴，∴直线l2的方程为，令y=﹣1得，∴Q点的坐标为，∴以PQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①分别令x0=2和x0=﹣2，由点P在曲线C上得y0=1，将x0，y0的值分别代入①得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②（y﹣1）（y+1）+（x+2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③②③联立解得或，∴在坐标平面内若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），将（0，1）的坐标代入①式得，①式，左边==2（1﹣y0）+2（y0﹣1）=0=右边，将（0，﹣1）的坐标代入①式得，①式，左边=不恒等于0，∴在坐标平面内是存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、利用导数的几何研究抛物线的切线斜率、圆的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.（本小题满分13分）2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在