广东省湛江市吴川中山中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省湛江市吴川中山中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在方向上的投影为（

）A

B

C

D）参考答案：A2.曲线y=sinx+cosx在x=处切线倾斜角的大小是（）A．0 B． C．﹣ D．参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出导数值，然后求解切线的倾斜角．【解答】解：曲线y=sinx+cosx，可得y′=﹣sinx+cosx，曲线y=sinx+cosx在x=处切线的斜率为：0．曲线y=sinx+cosx在x=处切线倾斜角的大小是：0．故选：A．3.设集合则个数为（A）3

（B）4

（C）5

（D）6参考答案：B略4.下列函数中,定义域为的函数是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A5.若定义在R上的偶函数满足,且时则方程根的个数是

（A）

2个

（B）

3个

（C）4个

（D）6个参考答案：C6.函数的最小正周期是（）A．

B．π

C．2π

D．4π参考答案：B考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据诱导公式得，再用二倍角的余弦公式化简得f（x）=（1+cos2x），结合三角函数的周期公式即可算出本题答案．解答：解：∵，∴=cos2x=（1+cos2x）因此，函数的最小正周期为T==π故选：B点评：本题给出三角函数式，求函数的最小正周期，着重考查了三角恒等变换公式和三角函数的周期求法等知识，属于基础题．7.设函数，则下列结论正确的是(

)A．函数在上单调递增B．函数在上单调递减C.若，则函数的图像在点处的切线方程为D．若，则函数的图像与直线只有一个公共点参考答案：C8.已知P(x，y)为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2X—y的最大值是

A．0

B．2

C．2

D．6参考答案：D【知识点】简单的线性规划问题E5由作出可行域如图，

由图可得A（a，-a），B（a，a），由S△OAB=?2a?a=4，得a=2．

∴A（2，-2），化目标函数z=2x-y为y=2x-z，

∴当y=2x-z过A点时，z最大，等于2×2-（-2）=6．【思路点拨】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．9.已知函数的两个零点是2和3,则函数的零点是（）A．和

B．和

C．和

D．和参考答案：D略10.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中,有以下5个命题：①与垂直；②与平行；③与是异面直线；④与成角；⑤异面直线。其中正确的个数为（

）A．1 B．2

C．3 D．4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列命题中：①函数的最小值是；②在中，若，则是等腰或直角三角形；③如果正实数满足，则；④如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是_____________参考答案：②③④12.设函数是定义在R上周期为3的奇函数，且，则

_．参考答案：0因为是定义在R上周期为3的奇函数，所以。所以。所以，，所以。13.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=．参考答案：ln2【考点】变化的快慢与变化率．【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+1和y=ln（x+2）的切点分别为（x1，lnx1+1）、（x2，ln（x2+2））；∵y=lnx+1，y=ln（x+2）∴y′=，y′=，∴k==，∴x1﹣x2=2，切线方程分别为y﹣（lnx1+1）=（x﹣x1），即为y=+lnx1，或y﹣ln（x2+2）=（x﹣x2），即为y=++lnx1，∴=0，解得x1=2，∴b=ln2故答案为：ln2【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．14.共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务．现从6辆黄色共享单车和4辆蓝色共享单车中任取4辆进行检查，则至少有两个蓝色共享单车的取法种数是_____________．参考答案：115分三类，两辆蓝色共享单车，有种，三辆蓝色共享单车，有种，四辆蓝色共享单车，有种，根据分类计数原理可得，至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是90+24+1＝115．15.已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是

参考答案：[–1，7）16.在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为_______参考答案：217.已知函数是奇函数，则

．参考答案：试题分析：因为函数是奇函数，所以，令,得，故答案为.考点：1、函数的解析式；2、函数的奇偶性.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率，直线（）过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点．求椭圆的标准方程；已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试证明：点的横坐标为．参考答案：19.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）

（I）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。

（Ⅱ）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？参考答案：解：（I）设，所以，-------3分

即

-------5分（Ⅱ）设投资债券类产品万元，则股票类投资为()万元依题意得：-------7分令则-------9分

所以当，即万元时，收益最大，万元-------10分

略20.（本小题满分10分）如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，，,的平分线与BC和⊙分别交于点D和E．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求的值．参考答案：21.如图,椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C上一点P与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为，

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F2的直线l交椭圆于A、B两点,问在x轴上是否存在定点P,使得为定值？证明你的结论.参考答案：（1）（2）存在定点,使得为定值.【分析】（Ⅰ）根据点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为，结合性质

，列出关于、、的方程组，求出、，即可得结果；（Ⅱ）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去可得关于的一元二次方程，表示为，利用韦达定理化简可得，令可得结果.【详解】（Ⅰ）由题设得,又,解得,∴.故椭圆的方程为.（Ⅱ）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,,则,,可得.设点,那么,若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,此时,,当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得,此时,,,,综上,在轴上存在定点,使得为定值.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法