直线与圆位置关系必修

直线与圆的位置关系返回结束下一页圆和圆的位置关系外离内切外切内含相交两圆的位置关系图形d与R，r的关系公切线的条数24301d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-r0≤d<R-r公切线长知识点拨第1页/共37页第一页，共38页。直线与圆的位置关系返回结束下一页问题1：你知道直线和圆的位置关系有几种？知识点拨第2页/共37页第二页，共38页。直线与圆的位置关系返回结束下一页知识点拨直线与圆的位置关系的判断方法:

一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为d<rd=rd>rd与r2个1个0个交点个数图形相交相切相离位置rdrdrd则第3页/共37页第三页，共38页。例1如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆，判断直线L与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标。分析：方法一，判断直线L与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系。0xyAB●CL图4.2-2第4页/共37页第四页，共38页。解法一：由直线L与圆的方程，得①

②

消去y，得

因为

⊿=所以，直线L与圆相交，有两个公共点。第5页/共37页第五页，共38页。解法二：圆可化为，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为，点C（0，1）到直线L的距离d＝＝==所以，直线L与圆相交，有两个公共点．由，解得

=2，＝１．把=2代入方程①，得＝０；把＝１代入方程①，得＝３．所以，直线L圆相交，它们的坐标分别是Ａ（２，０），Ｂ（１，３）．

＜第6页/共37页第六页，共38页。巩固练习：①判断直线４x－３y=50与圆的位置关系．如果相交，求出交点坐标．

解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50的距离d==10而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0解方程组，得切点坐标是（８，－６）第7页/共37页第七页，共38页。②判断直线３x＋４y＋２＝０与圆的位置关系．

解：方程经过配方，得圆心坐标是（１，０），半径长r=`1．圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离是因为d=r，所以直线３x＋４y＋２＝０与圆相切．③已知直线L：y＝x+6,圆Ｃ:试判断直线L与圆Ｃ有无公共点，有几个公共点．

解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长r=，圆心到直线y＝x+6的距离

所以直线L与圆Ｃ无公共点．第8页/共37页第八页，共38页。④试解本节引言中的问题．

解：以台风中心为原点，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取１０km为单位长度，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ方程为轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0

问题归结为圆Ｏ与直线L有无公共点。点Ｏ到直线L的距离圆Ｏ的半径长r=3因为３.５＞３，所以，这艘轮船不必改变航线，不会受到台风的影响．xy0AB第9页/共37页第九页，共38页。归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：

①代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即⊿＞０，则相交；若有两组相同的实数解，即⊿＝０，则相切；若无实数解，即⊿＜０，则相离．②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．

第10页/共37页第十页，共38页。直线与圆的位置关系返回结束下一页

将直线方程与圆的方程联立成方程组,利用消元法消去一个元后,得到关于另一个元的一元二次方程,求出其Δ的值，然后比较判别式Δ与0的大小关系,判断直线与圆的位置关系的方法2(代数法):若Δ>0则直线与圆相交若Δ=0

则直线与圆相切若Δ<0

则直线与圆相离反之成立知识点拨第11页/共37页第十一页，共38页。直线与圆的位置关系返回结束下一页直线与圆的位置关系判断方法：一、几何方法。主要步骤：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离作判断:当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径知识点拨第12页/共37页第十二页，共38页。直线与圆的位置关系返回结束下一页把直线方程与圆的方程联立成方程组求出其Δ的值比较Δ与0的大小:当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时,直线与圆相切;当Δ>0时,直线与圆相交。二、代数方法。主要步骤：利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程知识点拨第13页/共37页第十三页，共38页。直线与圆的位置关系返回结束下一页典型例题

已知直线l：kx-y+3=0和圆C:x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与圆C相交？脑筋转一转

问题：你还能用什么方法求解呢?第14页/共37页第十四页，共38页。直线与圆的位置关系返回结束下一页

一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环行，它走到哪个位置时与直线l

：3x+4y-2=0的距离最短，请你帮小老鼠找到这个点并计算这个点到直线l的距离。

请你来帮忙知识反馈第15页/共37页第十五页，共38页。直线与圆的位置关系返回结束下一页典型例题例1：直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0相切,求直线l的方程.第16页/共37页第十六页，共38页。直线与圆的位置关系返回结束下一页典型例题例2:一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，在y=x上截得弦长为，求此圆的方程。解：设该圆的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2，

圆心(3b,b)到直线x-y=0的距离是故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9。r=|3b|第17页/共37页第十七页，共38页。

例1：过点P（1，-1）的直线L与圆M:(x-3)2+(y-4)2=4

（1）当直线和圆相切时，求切线方程和切线长;

（2）若直线的斜率为2，求直线被圆截得的弦AB的长;

（3）若圆的方程加上条件x≥3，直线与圆有且只有一个交点，求直线的斜率的取值范围.演示培养学生用数形结合的思想优化解题程序，用运动变化的观点分析解决问题的能力。或x=1第18页/共37页第十八页，共38页。例2:在圆（x+1）2+(y+2)2＝8上到直线ｘ+ｙ+１=０的距离为的点有_____个.2第19页/共37页第十九页，共38页。在（x+1）2+(y-1)2＝R2的圆上是否存在四个点到直线AB：3x-4y-3=0的距离等于１。开放性问题:演示R>3第20页/共37页第二十页，共38页。直线与圆部分练习题1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（）A.4B.C.5D.5.52、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是()A.x+y-3=0B.2x-y-6=0C.x-y-3=0D.2x+y-6=03、直线l:xsina+ycosa=1与圆x2+y2=1的关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定BCB第21页/共37页第二十一页，共38页。5、直线x+y+a=0与y=有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A.[1,)B.[1,]C.[,-1]D(,-1]A第22页/共37页第二十二页，共38页。高考荟萃①（2000年全国理）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．C第23页/共37页第二十三页，共38页。

例2.已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。yxO.200ryyxx=+,22020ryx=+),(0000xxyxyy--=-.1kOM-

所求的切线方程是因为点M在圆上,所以经过点M的切线方程是解:当M不在坐标轴上时，设切线的斜率为k,则k=

y0,0xkOM=.00yxk-=当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.整理得第24页/共37页第二十四页，共38页。

例2.已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。yxO

解法二：①当点M不在坐标轴上时，

②当点M在坐标轴上时，同解法一一样可以验证.设切线方程为y-y0=k(x-x0)

整理成一般式，利用点到直线的距离公式求k,代入所设方程即可.第25页/共37页第二十五页，共38页。

例2已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。P(x,y)由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2解法三：利用平面几何知识，按求曲线方程的一般步骤求解.如图，在Rt△OMP中yxOx0x

+y0y=r2第26页/共37页第二十六页，共38页。小结:1:过圆x2＋y2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为xox+yoy=r2

2:过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为

(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r23:过圆x2＋y2＝r2外一点(xo,yo)的作圆的切线，两切点的连线的直线方程为xox+yoy=r24:过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2外一点(xo,yo)的作圆的切线，两切点的连线的直线方程为(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2第27页/共37页第二十七页，共38页。1.已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上任意一点，求(1)2x+3(2)(x-2)2+(y-3)2(3)y/(x+4)的取值范围2.已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1:x-3=0上，且在直线l2:x-y=0上截得的弦长为,求圆C的方程3.已知圆C:x2+(y+4)2=4，求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程第28页/共37页第二十八页，共38页。与y轴交于A，B两点，与x轴的一个交点为P，求∠APB的大小2.已知圆(x-3)2+(y+4)2=4与直线y=kx相交于P,Q两点，则

|OP|·|OQ|=

.3.已知A(1,2)是圆(x-2)2+(y-4)2=10内的一个点，求过点A

且被A平分的圆的弦所在直线l的方程4.已知圆C满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为，求这个圆的方程30度21X+2y-5=0(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2第29页/共37页第二十九页，共38页。4.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直线使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程第30页/共37页第三十页，共38页。二.例题讲解例1．过点P(-2，-3)作圆C：(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线，切点分别为A、B.求：

(1)经过圆心C，切点A、B这三点的圆的方程；

(2)直线AB的方程；

(3)线段AB的长.第31页/共37页第三十一页，共38页。4.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a＞0)及直线l：x-y+3=0当直线l被C截得的弦长为时，则a=()(A)