2023版高考数学大二轮复习第二部分专题5解析几何增分强化练（二十七）理

2020版高考数学大二轮复习第二部分专题5解析几何增分强化练（二十七）理PAGE10-增分强化练(二十七)考点一直线的方程1．直线mx＋y－m＋2＝0恒经过定点()A．(1，－1) B．(1,2)C．(1，－2) D．(1,1)解析：直线mx＋y－m＋2＝0，化为：m(x－1)＋y＋2＝0，可知直线经过定点(1，－2)．应选C.答案：C2．(2022·南昌模拟)唐代诗人李颀的诗?古参军行?开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．〞诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马〞问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，假设将军从点A(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马〞的最短总路程为()A.eq\r(10)－1 B．2eq\r(2)－1C．2eq\r(2) D.eq\r(10)解析：设点A关于直线x＋y＝3的对称点A′(a，b)，AA′的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)，\f(b,2)))，kAA′＝eq\f(b,a－2)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)·－1＝－1,\f(a＋2,2)＋\f(b,2)＝3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝1))，所以A′(3,1)．要使从点A到军营总路程最短，即为点A′到军营最短的距离，“将军饮马〞的最短总路程为eq\r(32＋12)－1＝eq\r(10)－1，应选A.答案：A3．过点(－2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________．解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y＝－2x，即2x＋y＝0；②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数，∴x－y＝a，将A(－2,4)代入得，a＝－6，∴此时所求的直线方程为x－y＋6＝0.答案：2x＋y＝0或x－y＋6＝04．平行线5x＋12y－10＝0和mx＋6y＋2＝0的距离是________解析：由题意，两直线5x＋12y－10＝0和mx＋6y＋2＝0平行，可得eq\f(5,m)＝eq\f(12,6)，解得m＝eq\f(5,2)，即5x＋12y＋4＝0，由两平行直线之间的距离公式，可得d＝eq\f(|－10－4|,\r(52＋122))＝eq\f(14,13).答案：eq\f(14,13)考点二圆的方程1．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，那么m的取值范围是()A．m>－eq\f(1,2) B．m<－eq\f(1,2)C．m≤－eq\f(1,2) D．m≥－eq\f(1,2)解析：因为方程x2＋y2＋x＋y－m＝0要表示一个圆，所以2＋4m>0解得：m>－eq\f(1,2)，应选A.答案：A2．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，那么该圆的半径等于()A．2eq\r(2) B.eq\r(2)C．1 D．3解析：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，－1))，因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，所以－eq\f(k,2)＋1＋1＝0，k＝4.所以圆的方程为：x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，圆的半径为：eq\f(1,2)eq\r(42＋22－4×－4)＝3.应选D.答案：D3．圆C：(x－6)2＋(y＋8)2＝4，O为坐标原点，那么以OC为直径的圆的方程为()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y＋4)2＝25D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：由题意可知：O(0,0)，C(6，－8)，那么圆心坐标为(3，－4)，圆的直径为eq\r(62＋－82)＝10，据此可得圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,2)))2，即(x－3)2＋(y＋4)2＝25.应选C.答案：C4．圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，那么圆C的方程是()A．(x＋1)2＋y2＝2B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝2D．(x－1)2＋y2＝8解析：直线x－y＋1＝0与x轴的交点坐标为(－1,0)，因为圆C与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，那么圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2，应选A.答案：A考点三直线与圆的位置关系1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的公切线条数是()A．4条 B．3条C．2条 D．1条解析：圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心(1,0)半径为1；圆O2：x2＋y2－4y＝0的圆心(0,2)半径为2，O1O2＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∵1＜eq\r(5)＜3，∴两个圆相交，所以圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的公切线条数2.应选C.答案：C2．(2022·南宁模拟)直线l：3x－4y－15＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)相交于A，B两点，假设|AB|＝6，那么圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝25B．(x－1)2＋(y－2)2＝36C．(x－1)2＋(y－2)2＝16D．(x－1)2＋(y－2)2＝49解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，设圆心(1,2)到直线l的距离为d，那么d＝eq\f(|3－8－15|,5)＝4，又|AB|＝6，根据r2＝32＋42＝25，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.应选A.答案：A3．(2022·汕头模拟)直线l与圆x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且线段AB的中点P的坐标为(－1,1)，那么直线l的方程为________．解析：因为圆x2＋y2－4y＝0的圆心坐标为C(0,2)，又点P坐标为(－1,1)，所以直线CP的斜率为kCP＝eq\f(2－1,0＋1)＝1；又因为AB是圆的一条弦，P为AB的中点，所以AB⊥CP，故kAB＝－1，即直线l的斜率为－1，因此，直线l的方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0.答案：x＋y＝04．直线2x＋y－3＝0与圆x2＋y2－2x－2y＝0相交于A，B两点，O为坐标原点，那么|eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(OB,\s\up11(→))|＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M，联立直线方程与圆的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－2y＝0,y＝－2x＋3))，整理可得5x2－10x＋3＝0，故x1＋x2＝2，y1＋y2＝(－2x1＋3)＋(－2x2＋3)＝－2(x1＋x2)