广西壮族自治区梧州市第七中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析

广西壮族自治区梧州市第七中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，是不同的直线，，，是不同的平面，有以下四个命题：①；②；③；④．其中正确的命题是（）．A．①② B．①③ C．②④ D．③④参考答案：B解：①．由面面平行的性质可知，，，则，故①正确；②．若，，则或与相交，故②错误；③．若，则存在，且，又，得，所以，故③正确；④．若，，则或，故④错误．故选．2.函数的零点所在区间为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C3.下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某只股票经历了10个跌停（下跌10%）后需再经过10个涨停（上涨10%）就可以回到原来的净值；③某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为；④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从l到800进行编号．已知从497～513这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组1～16中随机抽到的学生编号是7．其中真命题的个数是(

)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：C【考点】收集数据的方法．【专题】概率与统计．【分析】根据样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，判断①正确；根据数值为a的股票经历10个跌停（下跌10%）后，再经过10个涨停（上涨10%），其数值为a×（1﹣）（1+）=a，判断②错误；算出这两个级部的数学平均分可判断③错误；求出分段间隔为16，又503=61×31+7，可得第一个抽取的号码为007，判断④正确．【解答】解：对于①，∵样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，反映了样本数据的分散程度的大小，∴①正确；对于②，∵设股票数值为a，股票经历10个跌停（下跌10%）后，再经过10个涨停（上涨10%），其数值为a×（1﹣）（1+）=a．∴②错误；对于③，∵高三一级部和二级部的总分分别为：ma和nb，总人数为m+n，这两个级部的数学平均分为，∴③错误；对于④，∵用系统抽样方法，从全体800名学生中抽50名学生的分段间隔为=16，又从497～513这16个数中取得的学生编号是503，503=16×31+7，∴在第1小组1～l6中随机抽到的学生编号是007号，∴④正确故选C．【点评】本题考查了系统抽样方法，样本的方差的含义及在回归分析模型中残差平方和的含义，考查了学生分析问题的能力，熟练掌握概率统计基础知识是解答本题的关键．4.已知命题的否定是，命题q:双曲线的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A命题的否定是，命题为真，双曲线中，则，即离心率为，命题为假，因此只有为真，故选A.

5.抛物线y2=2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切（O为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3，∴p=4．故选B．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．6.我们把由半椭圆+=1（x＞0）与半椭圆+=1（x＜0）合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是腰长为1的等腰直角三角形，则a，b的值分别为（）A．5，4 B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；新定义；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出|F0F2|==b=1，|F1F2|=2=1，由此利用椭圆的性质能求出结果a，b．【解答】解：∵点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，△F0F1F2是腰长为1的等腰直角三角形，∴F0（c，0），F1（0，﹣），F2（0，），∴|F0F2|==b=1，|F1F2|=2=1，∴c2=，a2=b2+c2=．∴a=，b=1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式、椭圆性质的合理运用．7.已知函数f（x）=x3﹣2ax2﹣3x（a∈R），若函数f（x）的图象上点P（1，m）处的切线方程为3x﹣y+b=0，则m的值为（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义，由已知切线方程建立条件关系，解方程即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）的图象上点P（1，m）处的切线方程为3x﹣y+b=0，∴切线斜率k=3，即f′（1）=3，∵函数f（x）=x3﹣2ax2﹣3x，∴f′（x）=2x2﹣4ax﹣3，则f′（1）=2﹣4a﹣3=3，解得a=﹣1，则f（1）=﹣2a﹣3=﹣2×（﹣1）﹣3=﹣，即m=﹣，故选：A．8.圆在点处的切线方程为（

）

A．

B．参考答案：D9.在△ABC中，若sin2B＞sin2A+sin2C，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定参考答案：C【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知不等式利用正弦定理化简，整理得到a2+c2﹣b2＜0，利用余弦定理表示出cosB，判断出cosB为负数，即可确定出三角形形状．【解答】解：在△ABC中，sin2B＞sin2A+sin2C，利用正弦定理化简得：b2＞a2+c2，即a2+c2﹣b2＜0，∴cosB=＜0，即B为钝角，则△ABC为钝角三角形．故选：C．10.设为等比数列的前项和，，则公比（

）A．

B．

C．1或

D．-1或参考答案：C试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，由，即，所以，解得或，故选C．考点：等比数列的通项公式的应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从中，可得一般规律为

.参考答案：12.若实数x、y满足(x-2)2+y2=3,则的最大值为

.参考答案：

略13.若直线l经过原点和(－1,1)，则直线l的倾斜角大小为

．参考答案：原点的坐标为原点与点的斜率，即为倾斜角），又点在第二象限，，故答案为.

14.观察下列等式：①cos2a=2-1;②cos4a=8-8+1;③cos6a=32-48+18-1;④cos8a=128-256+160-32+1;⑤cos10a=m-1280+1120+n+p-1.可以推测，m–n+p=

.。参考答案：962略15.方程（x﹣1）ex=1的解的个数为

．参考答案：1【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由（x﹣1）ex=1得x﹣1=e﹣x，作函数y=x﹣1与y=e﹣x的图象，从而利用数形结合求解即可．【解答】解：∵（x﹣1）ex=1，∴x﹣1=e﹣x，作函数y=x﹣1与y=e﹣x的图象如下，，∵函数的图象的交点有一个，∴方程（x﹣1）ex=1的解的个数为1，故答案为：1．16.光线自点射到直线上的点后又被反射且反射线恰好过点，则点的坐标为

。参考答案：略17.在以为极点的极坐标系中，直线的极坐标方程是，直线与极轴相交于点，则以为直径的圆的极坐标方程是__________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.参考答案：(1)当a≤0，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当，在（0，2）和上单调递增，在（2，）递减；当a=，在（0，+∞）递增；当a＞，在（0，）和（2，+∞）上单调递增，在（，2）递减；(2)

.【分析】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又，取，可证明，有两个零点等价于，得，可证明，当时与当且时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论.【详解】（1）的定义域为，，（i）当时，恒成立，时，在上单调递增；时，在上单调递减.（ii）当时，由得，（舍去），①当，即时，恒成立，在上单调递增；②当，即时，或，恒成立，在上单调递增；时，恒成立，在上单调递减.③当，即时，或时，恒成立，在单调递增，时，恒成立，在上单调递减.综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，无单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又，取，令，则在成立，故单调递增，，，有两个零点等价于，得，，当时，，只有一个零点，不符合题意；当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；当且时，有两个极值，，记，，令，则，当时，在单调递增；当时，在单调递减，故单调递增，时，，故，又，由（1）知，至多只有一个零点，不符合题意，综上，实数的取值范围为.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19.（本小题满分12分）已知p：函数y＝在（－1，＋∞）上单调递增；q：函数y＝4＋4(m－2)x＋1大于零恒成立。若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围.参考答案：若p为真，则m≥2；若q为真，则1<m<3，∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q是“一真一假”，∴，或，解得：m≥3或1<m<2，∴m∈（1，2）∪[3，＋∞）.20.已知在△ABC中，A=450，AB=，BC=2.解此三角形.参考答案：解答：C=120

B=15

AC=………………6分或C=60

B=75，AC=…………………12分

21.已知、是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足为坐标原点)，，若椭圆的离心率等于

(1)求直线AB的方程；

(2)若的面积等于，求椭圆的方程；

(3)在(2)的条件下，椭圆上是否存在点M使得的面积等于？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.参考答案：解：

（Ⅰ）由知直线AB经过原点，又由因为椭圆离心率等于，故椭圆方程写成，设所以，故直线AB的斜率，因此直线AB的方程为

（Ⅱ）连接AF-1、BF1，由椭圆的对称性可知，所以故椭圆方程为

（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得假设在椭圆上存在点M使得的面积等于，设点M到直线AB的距离为d，则应有，所以

设直线,与AB平行且与AB距离为4，则M在直线上，直线方程为与椭圆方程联立消去x得方程即故在椭圆上不存在点M使得的面积等于22.已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆C的方程．（2）直线与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q两点，试问在x轴上是否存在一个定点N使得?若是，求出定点N坐标；若不是，说明理由．参考答案：（1）椭圆C的方程是；（2）线段为直径的圆过轴上的定点．试题分析：（1）由题意结合椭圆所过的点和椭圆的离心率可求得，.则椭圆的方程为.（2）设存在定点使得.联立直线方程与椭