创新设计（全国通用）2023届高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形训练文

2023届高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形训练文一、选择题1.α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，那么cosα等于()A.－eq\f(\r(2),10)B.eq\f(7\r(2),10)C.－eq\f(\r(2),10)或eq\f(7\r(2),10)D.－eq\f(7\r(2),10)解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，\f(5,4)π)).∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(4,5)，∴cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(\r(2),10).答案A2.钝角三角形ABC的面积是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，那么AC＝()A.5B.eq\r(5)C.2D.1解析S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)sinB＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，假设B＝45°，那么由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2×1×eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝5，∴AC＝eq\r(5).应选B.答案B3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.假设c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，那么△ABC的面积是()A.3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D.3eq\r(3)解析c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.∵C＝eq\f(π,3)，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，应选C.答案C4.(2023·山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，那么A＝()A.eq\f(3π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)解析在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,4)，应选C.答案C5.(2023·全国Ⅲ卷)在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，BC边上的高等于eq\f(1,3)BC，那么sinA＝()A.eq\f(3,10)B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(3\r(10),10)解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝eq\f(π,4)，BD＝eq\f(1,3)BC，DC＝eq\f(2,3)BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝eq\f(1＋2,1－1×2)＝－3，所以sinA＝eq\f(3\r(10),10).答案D二、填空题6.(2023·四川卷)sin750°＝________.解析∵sinθ＝sin(k·360°＋θ)，(k∈Z)，∴sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，那么此山的高度CD＝________m.解析在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，即eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(600,sin45°)，所以BC＝300eq\r(2).在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300eq\r(2)·tan30°＝100eq\r(6).答案100eq\r(6)8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，那么a的值为________.解析∵cosA＝－eq\f(1,4)，0＜A＜π，∴sinA＝eq\f(\r(15),4)，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(\r(15),4)＝3eq\r(15)，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝64，∴a＝8.答案8三、解答题9.(2023·江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cosB＝eq\f(4,5)，C＝eq\f(π,4).(1)求AB的长；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))的值.解(1)由cosB＝eq\f(4,5)，且0<B<π，那么sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(3,5)，又∵C＝eq\f(π,4)，AC＝6，由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin\f(π,4))，即eq\f(6,\f(3,5))＝eq\f(AB,\f(\r(2),2))⇒AB＝5eq\r(2).(2)由(1)得：sinB＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(4,5)，sinC＝cosC＝eq\f(\r(2),2)，那么sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(7\r(2),10)，cosA＝－cos(B＋C)＝－(cosBcosC－sinBsinC)＝－eq\f(\r(2),10)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝cosAcoseq\f(π,6)＋sinAsineq\f(π,6)＝eq\f(7\r(2)－\r(6),20).10.(2023·广西南宁测试)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)假设△ABC的面积S＝5eq\r(3)，b＝5，求sinBsinC的值.解(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝eq\f(1,2)或cosA＝－2(舍去)，因为0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,3).(2)由S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)bc＝5eq\r(3)，得bc＝20，又b＝5，知c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝eq\r(21).又由正弦定理得sinBsinC＝eq\f(b,a)sinA·eq\f(c,a)sinA＝eq\f(bc,a2)sin2A＝eq\f(20,21)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,7).11.(2023·南昌调研)△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)假设b＝2，求△ABC面积的最大值.解(1)由及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBs