历届全国初中数学联赛真题和答案

1991年全国初中数学联赛试题

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了(A)、(B)(C)、(D)四个答案结论，

其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.设等式Ja(x-a)+Ja(y-a)=在实数范围内成立,其中

勺22

a,x,y是两两不同的实数，则的值是

x-xy+y

(A)3；(B)-；(C)2；(D)

33

答()

2.如图，ABIIEFIICD,已知/斤20,6)9=80,60100,那么旗的值是

(A)10；(B)12；

(C)16；(D)18.

答()

3.方程Y-国一1=0的解是

(A)上旦⑻皿；

22

z\1±V5-1+V5小、,~1±y/'5

(rC)-----或-------；(D)±------.

222

答()

4.已知：x=](1991"—1991")(n是自然数).那么(尤-Jl+炉)",的值

是

(A)199T'；(B)-199F1；

(C)(―1)"1991；(D)(―1)"199「.

答()

5.若Ix2x3x…x99xl00=12"M,其中”为自然数，n为使得等式成立的

最大的自然数，则〃

(A)能被2整除，但不能被3整除；

(B)能被3整除，但不能被2整除；

(C)能被4整除，但不能被3整除；

(D)不能被3整除，也不能被2整除.

答()

6.若a,c,d是整数，。是正整数，且满足a+8=c,b+c=d,c+d-a,

a+/?+c+d的最大值是

(A)-1；(B)-5；(C)0；(D)1.

7.如图，正方形如内接于△力6c.已知勿?、△眦和ACRQ的面积分

别是E=l,邑=3和S36那么，正方形OPQR入

(A)V2；(B)V3；(C)2；(D)3.

8.在锐角A47C中，AC=\,AB=c,ZA=60°,的外接圆半径RW

1,则

-<c<2；(B)0<c^-；

22

(C)c>2；

二、填空题

1.E是平行四边形/氏力中比边的中点，力£交对角线加于G,如杲'BEG

的面积是1,则平行四边形4?口的面积是.

2.已知关于x的一元二次方程没有实数解.甲由于看错了

二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项气数的符号，误求得两

根为一1和4,那么，出丑=―/c7'

3.设加，n,p,g为非负数，且对一切x>0,幺止一1=回上1匹恒成立,

Y"V'/

(m2+2〃+p)2''=.

4.四边形4比力中，Z1比=135\/朋=12。，AB=46,BC=5-B

CD=6,贝IAD=.

第二试

x+y,x-p,xy,X

y

四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对(x,y).

二、△49C中，AB<AC<BC,。点在仇;上，£点在阴的延长线上，且

BD=BE=AC,△眦的外接圆与△4?。的外接圆交于尸点(如图).

求证：BF=AF+CF

三、将正方形力分割为川个相等的小方格(〃是自然数)，把相对的顶

点4。染成红色，把6,。染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜

色.证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.

一.选择题

本题共有8个题，每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论，其中只有一

个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.满足,一月+。8=1的非负整数(a,b)的个数是

(A)l；(B)2；(03；(D)4.

2,若公是一元二次方程ax2+bx+c-0(a。0)的根，则判别式△=b?-4ac与

2

平方式A/=(2O.XQ+b)的关系是

(A)A>M(B)A=M(C)A>M；(D)不确定.

3,若一—13%+1=0,则，+尤y的个位数字是

(A)l；(B)3；(C)5；(D)7.

答()

4.在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于后，则这

个多边形的边数必为

(A)7；(B)6；(C)5；(D)4.

答()

5.如图，正比例函数y=x和y=ax(a>0)的图像与反比例函y数

y=K(k>0)的图像分别相交于A点和C点.若用入4。8和ACO。\A

的面积分别为Si和S2,则Si与s2的关系是1g-,

(A)5,>52(B)&=S2T_'

(0S,<52(D)不确定答()

6.在一个由8x8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,

若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S「把圆周经过的所有小

方格的圆内部分的面积之和记为s2,则之•的整数部分是

§2

ZA

8.设工],巧，尤3,…，通均为正整数，且

X]<%2<…<苞，X]+工2--------1•*9=220,则当X1+%2+%3+%4+%5的值最大

时，/-尤1的最小值是

(A)8；(B)9；(C)10；(D)ll.

答()

二.填空题

L若一等腰三角形的底边上的高等于18颂,腰上的中线等15c创则这个等腰

三角形的面积等于.

2.若x#0,则Vl+x2+x4-717g的最大值是.

X

3.在AABC中，NC=90°,NA和NB的平分线相交于P点，又PEL4B于E点，

若6C=2,AC=3,贝=

4.若。方都是正实数，且,一!一一二=0,贝|(2)3+G)3=

aba+b

第二试

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程一一6%+。=0的两根，当

这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.

二、如图，在A43C中，A8=AC,。是底边8C上一点，E是线段AD上一

A

点，且ZBED=2ZCED=ZA.尔

求证：BD=2CD./\\

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0,1,2,3,5,6这六个不同

数字组成，现有四个编码如下：

A：320651B：105263

C：612305D：316250

已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字

的位置与M和N相同.试求：M和N.

第一试

一.选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论，其中只有

一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式"2一%6+1除以丁一1的余式是

(A)l；(C)x-l；(D)x+1；

2.对于命题

I.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

n.内角相等的圆内接四边形是正四边形，以下四个结论中正确的是

(A)I,H都对(B)I对，11错(C)I错，11对.(D)1,11都错.

3.设尤是实数，y=|x—1|+卜+1|.下列四个结论:

I.y没有最小值；

II.只有一个x使y取到最小值；

III.有有限多个x(不止一个)使)'取到最大值；

IV.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是

(A)I(B)II(0111(D)IV

4.实数内,为2，尢3，t4，毛满足方程组

/+x2+x3=a,;

无2+*3+乙=。2；

<x3+x4+x5=tz3;

X4+x5+xt=%;

x5+%,+x2=a5.

>a>a

其中/,a2M3M4M5是实常数，且q>。2>。345»则内,%2，*3，尤4，工5的

大小顺序是

(A)%>々>/>%4>%5；(B)%>%2>X]>%3>/；

(C)x3>x,>x4>x2>x5；(D)x5>x3>x,>x4>x2.

5.不等式x—l<(x—I)?<3x+7的整数解的个解

(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于5

6.在A4BC中，ZA是钝角O是垂心AO=8C,

则cos(NOBC+NOCB)的值是

(A)-—(B)—

22

(D)-r

答()

7.锐角三角力比的三边是a,Ac,它的外心到三边的距离分4

别为m,n,0,那么m:A：0等于/

(A)—:(B)a:b:c

abcJ--------'却

(C)cosA:cosB:cosC(D)sinA:sinB:sinC.

答()

8-再(楣可以化简成

(A)V3(V2+1)；(B)V3(V2-1)(C)V2-1⑻啦+1

答()

二.填空题

1.当x变化时，分式3i,+6“+5的最小值是__________.

3x~+x+1

2,放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7个小球,

且每四个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有个小球.

3,若方程(/-1)(/-4)=%有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点

等距排列，则k=.

4.锐角三角形/6C中，NA=30。.以比1边为直径作圆，与47,AC

分别交于〃，及连接〃及把三角形4％分成三角形与四边形

BDEC,设它们的面积分别为S,5,则S：W=.

第二试

一.设〃是等腰三角形45。垂心，在底边比保持不变的情况下让顶点A至底

边BC的距离变小，这时乘积SMBLS皿C的值变小，变大，还是不

变？证明你的结论.

二.A4BC中，除5,AC=12,/斤13,在边上分别取

点〃E,使线段应将A/WC分成面积相等的两部分.试求这样的

线段庞的最小长度.

三.已知方程x2+bx+c=0及r+cx+人=0分别各有两个整数根X],%2及

，且X1%2>°，xix2>0.

(1)求证:%]<0,x2<<0,%2<0；

⑵求证：6-1WcWb+1；

(3)求dc所有可能的值.

1994年全国初中数学联赛试题

第一试

（4月3日上午8：30—9：30）

考生注意：本试共两道大题，满分80分.

一、选择题（本题满分48分，每小题6分）

本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论，其中只有一个是

正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写

在圆括号内），一律得0分.

1.若0<a<l,则/a2+4—2^(1+-)X1

Vaa

可化简为

A.—B.—C.1-a2D.a2-1

14-aa+1(答)()

2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则

x,y,z

A.都不小于0B.都不大于0

C.至少有一个小0于D.至少有一个大于0（答）（）

3.如图1所示，半圆0的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边

BC,CD,DA相切，若BC=2,DA=3,则AB的长

A.等于4B.等于5

C.等于6D.不能确定

（答）（）

图1

4-当x=1+*9吧时,多项式3—1997x—1994)2001

的值为

A.1B,-1C.22001D.-22001

(答)()AVC

5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相A

交成如图2所示的图形，则共得同旁内角E-----\-----

A.4对B.8对/\

C.12对D.16对高—-f-------\—

6.若方程斤？=x有两个不相等的实根，则实

数p的取值范围是

A.p<0B.pV；

D

C.0<p<-P汨

（答）（

7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,

则AH-AD+BH-BE+CH•CF的值是

+b，+c,

—•(ab>+t>c-4-ca)—(aa+b

3、

8.若a*=b>=19942。其中③匕是自然数；.旦

W—4--=-,贝IJ2a+b的一切可育昌的用?值是

xyz

A.1001B.1001,3989

C.1001,1996D.1001,1996,3989（答）（

二、填空题（本题满分32分，每小题8分）

各小题只要求在所给横线上直接填写结果.

中.1二+2为1W方^式,.且■qa4-t>=c,mIJZ

yly.一O

2.当|x+l|<6时，函数y=-2x+1的最大值

3.在AABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6,CA=7,AB=8,

则DE=.

4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两

两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个

大圆形纸片的最小半径等于

第二试

（4月3日上午10：00—11：30）

考生注意：本试共三道大题，满分60分.

一、（本题满分20分）

如图所示，在AABC中，AB=AC.任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ.

求证：

△ABC的外心0与A,P,Q四点共圆。

二、（本题满分20分）

周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证

明；若存在，请证明共有几个？

三、（本题满分20分）

某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n（n=0,共2,……，15）个

题的人数的一个统计.

n0123...12131415

做对n个题的人数781021……15631

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个

题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了

1994年全国初中数学联赛试题

第一试

（4月3日上午8：30—9：30）

考生注意：本试共两道大题，满分80分。

一、选择题（本题满分48分，每小题6分）

本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论，其中只有一个是

正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写

在圆括号内），一律得0分。

1.若则J^+L—z+h+Llx」一可化简为（）

Va\a）1+a

1—aa-1122i

A.----B.----C.1-D.-1

1+。a+1

2

2.设a,b,c是不全相等的任意实数，若％=储一历，y^b-ca,

z=c2-a。，则x,y,z()

A,都不小于0B,都不大于0

C.至少有一个小于0D.至少有一个大于0

3.如图1所示，半圆。的直径在梯形A3CQ的底边

A8上，且与其余三边8C,CD,0A相切，

若BC=2,DA=3,则AB的长（）

A.等于4B.等于5

C.等于6D.不能确定

当％=1+?可时,多项式（4/一1997%—1994户”

4.的值为（)

A.1B.-1C.22001D.-22a),

5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,C。相交

成如图2所示的图形，则共得同旁内角

A.4对B.8对

C.12对D.16对

6.若方程而》=》有两个不相等的实根，则实数

p的取值范围是（）

八1cl1

A.<0B./?<—C.0<p<—D.p>一

444

7.设锐角三角形ABC的三条高AO,BE,CF相交于"。若BC=a,

AC=b,AB=c,则AH-AO+BH-BE+CH-CF的值是()

B.^(a2+b2+c2)

A.++

2222

C.§(〃/?+be+co)D.|(«+^+C)

,11]

8.若a'=〃=19942（其中a,匕）是自然数，且有一+—=上，则2。+匕

xyz

的一切可能的取值是（)

A.1001B.1001,3989

C.1001,1996D.1001,1996,3989

二、填空题（本题满分32分，每小题8分）

各小题只要求在所给横线上直接填写结果。

4Mx+N2cMx+N“a…、

1.若在关于X的怛等t式=-----=-----------中，—--------为最简分

x'+x-2x+ax+bx~+x-2

式，且有a>b,a+b=c,则N=.

2.当时，函数y=x|x|—2x+l的最大值是.

3.在ABC中，设AO是高，BE是角平分线，若BC=6,CA=7,A8=8,

则DE-.

4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，

若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片

的最小半径等于.

第二试

（4月3日上午10：00—11：30）

考生注意：本试共三道大题，满分60分。

一、（本题满分20分）

如图所示，在ABC中，AB=AC。任意延长

C4到P,再延长A8到。，使AP=8Q。

求证：A8C的外心。与A,尸，。四点共圆。

二、（本题满分20分）

周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存

在，请证明共有几个？

三、(本题满分20分)

某次数学竞赛共有15个题。下表是对于做对n(n=0,1,2,……，15)个题的人

数的一个统计。

n0123.....1.2131415

做对n个题的人数781021.....1.5631

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题

和10个题以下的学生每人平均做对4个题。问这个表至少统计了多少人？

1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案

一、选择题；

小题号12345678

答案ADBBDCBC

二、填空题：

j2,6弯但

第二试提示及答案。

一、连结OA,0C,OP,OQo证明AOCP丝△OAQ,于是

ZCP0=ZAQ0,所以0,A,P,Q四点共圆。

二.这样的三直角三角形存在，恰有一个.

两条直角边为子与之?，斜边为g

三、这个表至少统计了200人。

1995年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1.已知a=355,b=444,c=533,则有[]

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.方程组[芍+汨=63,的正整数解的组数是

[xz-yz=23

[]

A.1B.2C.3D.4

3.如果方程(x—1)(x2—2x—m)=0的三根可以作为一个三角形的三

边之长，那么实数m的取值范围是[]

3

A.O<mMlB-m三—

4

33

_—vm."^―：1I).—m1

44

4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆

的周长为[]

A.62nB.63nC.64nD.65n

5.设AB是。0的一条弦，CD是。0的直径，且与弦AB相交，记卜1=IS

△CAB—S4ABI>

N=2SAOAB,则［

A.M>NB.M=NC.M<ND.M、N的大小关系不确定

6.设实数a、b满足不等式IIaI-(a+b)I<Ia-|a+bII,

则[]

A.a>0且b>0B.aVO且b>0

C.a>0且b<OD.aVO且b<0

二、填空题

1.在12,22,32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有—

个。

2.已知a是方程一+M—弓=O的根,贝U

力+/的值等于—-

3.设x为正实数，则函数y=xa-x+工的最小值

X

是___.

4.以线段AB为直径作一个半圆，圆心为0,C是半圆周上的点，且0C2

=AC•BC,贝i」NCAB=.

第二试

、已知NACE=NCDE=90°,点B在CE上，CA=CB=CD,经A、C、

D三点的圆交AB于F(如图)求证F为aCDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数

的点称为整点，试在二次函数y='-裔+|

的图象上找出满足y<IxI的所有整点(x,y),并明理由。

三、试证：每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的

自然数之和。

199/全国初中数学联褰试题

第一试

一、选择题

1.已知a=355,b=4M,c=533,则有[]

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.方程组「7+"=63•的正整数解的组数是

[xz-yx=23

（]

A.1B.2C.3D.4

3.如果方程仪-1）伏2—2*—01）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那

么实数m的取值范围是（）

A・OMmMlB.mN?

33

U•--<mM1D・---MtnM1

AA

4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一扇，那么此圆的周长为

[]

A.62兀B.63xC.64兀D.65兀

5.设AB是00的一条弦，CD是00的直径，且与弦ABt目交，记乂=IS/^AB

-SADABI,N==2SAOAB,则[】

A.NANB.M=NC.M<ND.M、N的大小关系不确定

6.设实数a、牖是不等式IIaI-（a+b）I<Ia-a+bII,则[]

A.a>0且b>0B.aVO且b>0

C.2>0且1><0D.2<0且1><0

二、埴空题

1.在I2,2M32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有_个.

2.己知a是方程x'+x-：=0的根，则

3.设x为正实数，则函数y=x'-x+」的最小值

X

是—.

4.以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O,C是半圆周上的点,且OC2=AC・BC,

则NCAB=.

第二试

一、已知NACE=NCDE=90°,点说ECE上，CA=CB=CD,经A、C、D

三点的扇交AB于F(如图)求证F为△CDE的内心.

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数

的点称为整点.试在二次函数y=磊-堤+三

的图象上找出满足y<IXI的所有整点(x,y).并明理由.

三、试证：每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之

和.

199炜全国初中数学联褰参考答案

第一试

一、选择题

1.讲解：这类指数幕的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化

为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有

c=(53)n=125n

<24311=(35)11=a

<25611=(44)11=b.选C.

禾ij用lg2=0.3010,lg3=0.4771计算Iga、Igb、1g他可以，但没有优越性。

2.讲解：这类方程是熟知的.先由第二个方程确定z=l,进而可求出两个解：

(2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程组

产+y=63,①

x+y=23,

直接判断：因为xWy(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照

选择支，选B.

3.讲解：显然，方程的一个根为1,另两根之和为XI+X2=2>1。三根能作为

一个三角形的三边，须且只须Ix1一X2IVI又

IXJ-XJI==4-4m-l,

IaI

有0W4-4mV1.

解得

A

但作为选择题，只须取m记代入.得方程的根

4

为1.不能组成三角形,故包括之的A.B.

224

D均可否定.选C.

4.讲解：四个选择支表明，II的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一.又

W+AD2

=252+602

=52X(52+122)

=52X132

=(32+42)X132

=392+522

=BC2+CD2

故可取BD=65为直径，得周长为65兀，选D.

5.讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由

是错误的.比如有的考生取AB为直径，则M=N=O,于是就选B.其实，这只能排

除A、C,不能排除D.

图2

不失一般性，设CEMED,在CE上取CF=ED,则有OF=OE,且S△AC£-S

△ADE=SAAEF=2SAAOE-同理，SABCE-SABDE=2SABOE-相加，得$也

ABC-SADAB=2SAOAB,即M=N・选B.

若过C、D、8别作AB的垂线(图3),CE_LAB、DF_LAB、OL±AB,垂足分

别为E、F、L.连CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂径分弦定理，知L是EF的中点.根

据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一

半，有

ICE-DFI=20L.

两边乘以gAB,可得

II=

即乂=2选B.

6.讲解：取a=-l、b=2可否定A、C、D,选B.一殷地，对已知不等式平方,

有

IaI(a+b)>aIa+bI.

显然IaII(a+b)I>0(若等于0,则与上式矛盾)，有

a+b〉a

Ia+bIlai,

两边都只能取1或-1，故只有1>-1,即

_d±_=i,-2_=-i,

Ia+bllai

有aVO且a+b>0,从而b>-a>0.选B.

二、填空题

1.讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试脸现察的能力.经计算

24…，102,知十位数字为奇数的只有42=16,62=36.然后，对两位数10a+b,

有

(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.

其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b=4或

6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1,2,95中个位数出现了几次4

或6,有2X9+1=19.

2.讲解：这类问题一般都先化蔺后代值，直接把a

=无代入将导致复杂的计算.

由已知，有a'+a=(,①

原武=年虻抨

a3(a-D(a+1)2

一中中=1^=2。.

(aa+a)a()

学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2+a作为整体

代入.这里关健是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活.比如，由①有

a3+a2=②

4

aS+a，=M③

4

由②一①，得

aJ-a=-(a-1).④

4

由③一②并将④代入，得

a,+a*-a»-a，m—(a,_a)'=-4(a-l).

416

⑤

于是,原式二1-=16(a，+a+1)

=16(1+1)=20.

还可由①得

a2+a+1=?,

4

⑥・⑤即得所求.

3.讲解：这个题目是将二次函数y=x2-x与反比例函数

y=工作叠加.要求学生在掌提二次函数求最值

X

(配方法)的基础上，做综合性与灵活性的运用.

进行两次配方：

1

y=(x-1)2+(^-+1>1,

忑

拗=(x2-l)(x-1)+］》.

因而x=l时，y有最小值1.

4.讲解：此题由笔者提供，原题是求sin

ZCAB,让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°

sinl5°.解法如下：

图5

首先NAGB=90・.进而8=：AB,代入已

2

知条件，有

（1AB）2=AC*BC,①

与AB2=AB2+AC2②

联立，可推出

AC+BC=J|AB.③

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

X2-4ABx+岁=0的两个根,解得

1*14

当BC=声卡:AB时,

4

anNCAB=器=在中区(NCAB=75*)i

当BC=必)、/AB时,

4

anZCAB=震=包卷(NCAB=15。).

AB4

改为求NCAB之后，思路更宽一些.如，由

S^c=jAC-BC=10CJ,

SA“C=2S“C=2・10C3sinZA0C.

得sinNAOC=g.

当NA0C=3(f时.ZCAB=^(180,-30,)

-75,।

当NA8=15(T时.NCAB=g(1800-150,)

»15*

第二试

一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角△

ABC中，斜边BC上的高，过aABD的内心与也人⑺的内心的直线分别交边AB和AC

于廊L,△AB询△AKL的面积分别记为S和T.求证2T.

在这个题目的证明中，要用到AK=AL=AD.

今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK=AL=AD（斜边上的高），再求证

KL通过△ADC的内心（图7）.

其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：具一，连FC、FD、FE,然

后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线

般相等.下面是几个有代表性的证法.

证法1：如图6,连DF,则由已知，有

ZCDF=ZCAB=45*=IZCDE.故DF为

2

NCDE的平分线.

连BD、CF,由CD=CB,知

NFBD=NCBD-45°

=NCDB-450=NFDB,

得FB=FD,即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等

膜三角形CBD的顶角平分线上，CF是NECD的平分线.

由于F是△口）£上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心.

证法2：同证法1,得出NCDF=45°=90°—45°=NFDE之后，由于NABC=

NFDE,故有B、E^D、F四点共扇.连EF,在证得

NFBD=NFDB之后，立即有NFED=NFBD=NFDB=NFEB,即EF是NCED

的平分线.

本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共同把许多

已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂.

由这个证明可知，F是也阻的外心.

ZCDF=ZCAB=45*=g/CDE.知DF是

NCDE的平分线.故F为CDE的内心.

证法4：如图8,只证CF为NDCE的平分线.由NAGC=NGBA+NGAB=45

°+N2,

ZAGC=ZADC=ZCAD=ZCAB-Z1

=450+Z1

得N1=N2.

从而NDCF=NGCF,

得CF为NDCE的平分线.

证法5：首先DF是NCDE的平分线，故

△CDE的外心I在直线DF上.

现以CA为、轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA=CB=CD=d,则直线AB是一次

函数

V=-x+d①

的图象(图9).若记内心I的坐标为(xpyi),则

xi+yi=CH+田

=CH+HB=CB=d

满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点.由交点的唯一性

知I就是F,从而证得F为RtaCDE的内心.

还可延长E眩。O于Pi，而CP为直径来证.

二、讲解：此题的原型由筐者提供.题目是：

坐标平面上纵、横坐标均为整数的点称为格点.

对二次函数y=gx2+gx-1995,请找出其位

于第一冢限内，纵坐标小于横

坐标的格点.

这个题目的实质是解不等式

l<1x3+^x-1995<x,

求正整数解.直接解，数字较繁.但有巧法，由

l+2+”・+x=^»=1995+y

及lWyVx,

知1+2+…+(x-l)V1995Vl+2+…+x.

但1953=1+2+…+62V1995V1+2+…+62+63=2016,得x=63,从而y=

21,所求的格点为(21,63).

经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算.

解法L己知即之二手出(1x1.

有x2—x+18W10Ixl.

当x^O时，有X?—llx+18W0,

得2WxW9,代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(+3),。6),(9,9);

当xVO时，有

x2+9x4-18=50,

得-6WxW-3,代入二次函数，得合乎条件的2个整点:

(-6,6),(-3,3).

解法2,由丫=x(x\：+18为整数,知*关于模］0的

余数只能为2(或-8)、.7(35-3).9(或-1).

对x^O,取x=2,4,7,9,12,14,…顺次代入，得(2,2)、(4,3)、(7,6)、(9,9),

且当x>9时，由

1〃11、249,、11P49,

y-x=—[(x-―>一一]>一[rz(9A—————1=

’10“14」10、24」

0,知y〉-x,再无满足<1x1的解.

对x<0,取x=-1,-3,-6,-8,…顺次代入,得(・3,3)、(66),且当x<-6时，由

y+x=—[(x4--