（整理版）高中学习资料第1章111知能优化训练

1．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，则()A．B＝45°或135° B．B＝135°C．B＝45° D．以上答案都不对解析：选C.sinB＝eq\f(\r(2),2)，∵a＞b，∴B＝45°.2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，则a等于()A.eq\r(6) B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：选D.由正弦定理eq\f(\r(6),sin120°)＝eq\f(\r(2),sinC)⇒sinC＝eq\f(1,2)，于是C＝30°⇒A＝30°⇒a＝c＝eq\r(2).3．在△ABC中，若tanA＝eq\f(1,3)，C＝150°，BC＝1，则AB＝__________.解析：在△ABC中，若tanA＝eq\f(1,3)，C＝150°，∴A为锐角，sinA＝eq\f(1,\r(10))，BC＝1，则根据正弦定理知AB＝eq\f(BC·sinC,sinA)＝eq\f(\r(10),2).答案：eq\f(\r(10),2)4．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：eq\f(BD,DC)＝eq\f(AB,AC).证明：如图所示，设∠ADB＝θ，则∠ADC＝π－θ.在△ABD中，由正弦定理得：eq\f(BD,sin\f(A,2))＝eq\f(AB,sinθ)，即eq\f(BD,AB)＝eq\f(sin\f(A,2),sinθ)；①在△ACD中，eq\f(CD,sin\f(A,2))＝eq\f(AC,sinπ－θ)，∴eq\f(CD,AC)＝eq\f(sin\f(A,2),sinθ).②由①②得eq\f(BD,AB)＝eq\f(CD,AC)，∴eq\f(BD,DC)＝eq\f(AB,AC).一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA∶sinB的值是()A.eq\f(5,3) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,7) D.eq\f(5,7)解析：选A.根据正弦定理得eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)＝eq\f(5,3).2．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosC,c)，则C的值为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选B.∵eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosC,c)，∴eq\f(sinA,cosC)＝eq\f(a,c)，又由正弦定理eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC).∴cosC＝sinC，即C＝45°，故选B.3．(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(6),3)解析：选D.由正弦定理得eq\f(15,sin60°)＝eq\f(10,sinB)，∴sinB＝eq\f(10·sin60°,15)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),15)＝eq\f(\r(3),3).∵a＞b，A＝60°，∴B为锐角．∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\r(1－\f(\r(3),3)2)＝eq\f(\r(6),3).4．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形解析：选B.由题意有eq\f(a,sinA)＝b＝eq\f(b,sinB)，则sinB＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(3)，b＝1，则c＝()A．1 B．2C.eq\r(3)－1 D.eq\r(3)解析：选B.由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得eq\f(\r(3),sin\f(π,3))＝eq\f(1,sinB)，∴sinB＝eq\f(1,2)，故B＝30°或150°.由a＞b，得A＞B，∴B＝30°.故C＝90°，由勾股定理得c＝2.6．(2011年天津质检)在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝4，则此三角形有()A．两解B．一解C．无解D．无穷多解解析：选B.因csinA＝2eq\r(3)＜4，且a＝c，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC中，已知BC＝eq\r(5)，sinC＝2sinA，则AB＝________.解析：AB＝eq\f(sinC,sinA)BC＝2BC＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)8．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.解析：A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶eq\r(3).答案：1∶1∶eq\r(3)9．(2010年高考北京卷)在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，∠C＝eq\f(2π,3)，则a＝________.解析：由正弦定理，有eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝eq\f(1,sinB)，∴sinB＝eq\f(1,2).∵∠C为钝角，∴∠B必为锐角，∴∠B＝eq\f(π,6)，∴∠A＝eq\f(π,6).∴a＝b＝1.答案：1三、解答题10．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，且a＋b＋c＝30，求a.解：∵sinA∶sinB∶sinC＝eq\f(a,2R)∶eq\f(b,2R)∶eq\f(c,2R)＝a∶b∶c，∴a∶b∶c＝4∶5∶6.∴a＝30×eq\f(4,15)＝8.11．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c.已知a＝5，b＝2，B＝120°，解此三角形．解：法一：根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),2)＝eq\f(5\r(3),4)＞1.所以A不存在，即此三角形无解．法二：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以A＞B＝120°.所以A＋B＞240°，这与A＋B＋C＝180°矛盾．所以此三角形无解．法三：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以asinB＝5sin120°＝eq\f(5\r(3),2)，所以b＜asinB．又因为若三角形存在，则bsinA＝asinB，得b＞asinB，所以此三角形无解．12．在△ABC中，acos(eq\f(π,2)－A)＝bcos(eq\f(π,2)－B)，判断△ABC的形状．解：法一：∵acos(eq\f(π,2)－A)＝bcos(eq\f(π,2)－B)，∴asinA＝bsinB．由正弦定理可得：a·eq\f(a,2R)＝b·