教学设计-5.1 定积分的定义与性质

《高等数学（慕课版）》教案教学内容：定积分的定义与性质完成时间：2025年2月授课信息授课内容授课时长定积分的定义和性质2学时授课形式授课时间理论课授课对象授课地点内容分析定积分是高等数学的重要概念之一，它不仅是微积分的理论基础，同时也是广泛应用于各个领域中的一种数学工具；它在本书中上承微分和不定积分，下接定积分的具体应用，起到承上启下的作用。学情分析1.知识基础：已完成微分和不定积分的学习；基础不够扎实，对要用到的极限思想有些遗忘；2.认知能力：具备基本的数学能力和数学素养；将概念性知识用于实践存在一定困难；3.学习特点：动手能力强，但学习积极性不高；独立思考能力较弱，团队合作意识有待提高。教学目标知识目标：1.理解定积分的定义与基本思想。2.掌握定积分的几何意义。3.掌握定积分常用的运算性质。能力目标：1.培养学生分析问题、解决问题的能力。2.培养学生的逻辑思维能力。素质目标：1.培养学生严谨细致，精益求精的品质。2.培养学生的创新思维。教学重点重点1.定积分的概念；2.用定积分的几何意义求简单的定积分。确立依据定积分概念是高等数学中的重要内容之一，它对于理解微积分的基本思想和方法，以及掌握微积分的应用具有重要的作用。突出重点的策略明确教学目标；针对学生的认知规律，采取适当的教学方法和手段，由浅入深、循序渐进的方式，突出重点内容的教学环节、安排适当的练习等。教学难点难点定积分概念的理解确立依据定积分概念比较抽象，涉及到第一章所讲的极限的思想，理解这一概念需要较强的逻辑思维能力；结合学情分析，确定“定积分概念的理解”是本节课的难点。解决难点的策略借助引例，通过将这些实际案例与定积分概念相结合，来帮助学生更好地理解定积分的概念和应用。教学手段问题导入法、案例教学法、引导探究法、小组讨论法、讲授法、练习法、演示法。参考教材张天德范洪军，《高等数学(慕课版)》，人民邮电出版社，2022年6月.教学理念由具体问题引出定积分的概念，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯，树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。课程思政元素设计通过两个引例引出定积分的概念，在这一过程中培养学生分析问题、探究问题、解决问题的能力，让学生理解有限与无限、量变与质变的辩证思想，“积跬步至千里”，培养学生树立正确的人生观、世界观、价值观。教学设计课前任务→导入新课（5min）→讲授新课（55min）→巩固提高（25min）→归纳总结（3min）→布置作业（2min）→课后拓展教学过程教学过程教师活动学生活动教学方法与意图一.导入新课(5min)导入新课【欣赏与思考】❖欣赏：梯田与瑞士心形湖图片。现实生活中这些不规则的图形总能给我们带来别样的美感。❖思考：如何求不规则图形的面积？以心形湖为例，引导学生分析，化未知为已知，总结问题的关键是求出周围由“三直一曲”所围成的图形的面积。认真听讲，用心体会，将注意力转移到课堂上。【问题导入法】提出问题，引导学生进行问题探索，激发学生学习的积极性，增强学习的趣味性。二.定积分的概念(30min)内容讲授（一）两个引例1.曲边梯形的面积问题【定义介绍】设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续，由曲线y=f(x)和直线x=a，x=b【提出问题】如何计算曲边梯形的面积？【分析问题】引导学生分析问题，探究求解方法。由于直边图形可借助面积公式直接求解，启发学生思考能否借助“以直代曲”的思想来近似求解？“以直代曲”有无条件？怎样才能满足条件？探究得出大体的求解思路：将大曲边梯形进行分割，用小矩形的面积来近似代替对应小曲边梯形的面积，将所有的小矩形面积进行求和得大曲边梯形面积的近似值，无限分割下去，便由近似过渡到精确。【解决问题】分割（“化整为零”）——将大曲边梯形分成n个小曲边梯形近似（“以直代曲”）——用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积求和（“积零为整”）——求n个小矩形的面积和得曲边梯形面积A的近似值：取极限（“求精确值”）——由近似过渡到精确将区间无限分割，分得越细，上面的和式将与曲边梯形的面积越接近．设是个小区间（）中长度最大的一个，记，令，对上面的和式取极限，若上述和式的极限存在，即可求得所求曲边梯形面积的精确值，即．2.变速直线运动的路程问题【提出问题】设有一质点作变速直线运动，其速度随时间变化的规律是v=v(t)，求该质点在[T1,T2]这段时间【分析问题】引导学生分析问题：已知匀速直线运动的路程公式是——路程=速度×时间。现在研究变速直线运动，不能直接运用此公式求解。但是，当时间间隔很小时，可近似地认为速度是不变的，从而这个很小的时间间隔里可运用该公式求解。为此，可采用与引例1相同的思路来解决该问题。【解决问题】(1)分割——将时间间隔任意分成段(2)近似——用子区间内某点的速度代替该子区间内的速度在每个子区间上任取一点，用时刻的速度近似代替质点在子区间上的平均速度，用近似代替质点在子区间内的路程，即．(3)求和——对所有时间段上的近似路程求和将所有子区间的路程累加起来，得到总路程的近似值，即．(4)取极限——由近似值过渡到精确值将时间区间无限细分下去，并使每个子区间的长度都趋于0，即当无限趋于0时，若上述和式的极限存在，则此极限就是路程的精确值，即．在老师的引导下，积极思考如何计算曲边梯形的面积。认真聆听，积极思考，体会曲边梯形的面积计算过程中蕴含的数学思想。积极思考，第2个引例与第1个引例的相同之处；思考如何借助与引例1类似的方法求解该引例。【案例教学法】借助案例，将抽象的数学知识与实际问题相结合，提高学生对数学知识的理解和应用能力，也锻炼和培养学生分析问题与解决问题的能力。【引导探究法】教师为主导，学生为主体，创设问题情境，引发学生的思考和探究欲望，循序渐进地探究出问题的求解方法。【演示法】借助动画，向学生们清晰地呈现引例分析与探究的过程，加深学生们对求解过程的理解。内容讲授【追问】上述两个引例的共同特点是什么？【归纳总结】引例1与引例2主要的共同特点：（1）处理方法相同：分割、近似、求和、取极限（2）结果形式相同：和式的极限。并指出：许多其他的实际问题，如求变力做功、旋转体的体积等，都可以借助这种方法求解，这里蕴含着定积分的思想，由此抽象出定积分的定义。学生小组讨论：上述两个引例的共同特点是什么？【小组讨论法】合作探究知识培养学生团队意识。内容讲授（二）定积分的定义定义5.1设函数在区间上有界.(1)在内任意插入个分点，，将区间分成个小区间()，每个小区间的长度记为()；(2)在区间上任取一点，作乘积()；(3)求和，得；(4)记（），当时取上述和式的极限.如果对的任意分法及小区间上点的任意取法，上述极限都存在，则称函数在区间上可积，此极限值为函数在区间上的定积分，记作，即，其中称为被积函数，称为积分变量，称为被积表达式，称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限，称为在上的积分和．【说明】（1）定积分是一个数值，它只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的符号无关，即．按照定积分的定义，记号中的应满足关系，为了研究的方便，我们补充规定：=1\*GB3①当时，；=2\*GB3②当时，.（2）连续必可积。认真聆听老师对定积分的概念的讲解，体会定积分的基本思想及其蕴含的思政价值。【讲授法】在对两个引导分析和探究的基础上，给出规范的定积分的定义；并对定积分的定义进行说明。【思考】两个引例中的结果如何用定积分表示出来？根据定积分的定义，思考如何用定积分表示出引例中所探究出的结果。三.定积分的几何意义(13min)内容讲授【引出】(1)在上，当时，定积分表示由曲线，直线和轴所围成的曲边梯形的面积；(2)在上，当时，由曲线，直线和轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，定积分表示上述曲边梯形面积的相反数；(3)在上既取得正值又取得负值时，定积分表示轴上方图形面积减去轴下方图形面积所得之差（即所围成图形面积的代数和）．.仔细听讲，认真整理笔记，掌握本节课重点内容。【讲授法】在定积分的定义以及引例1的基础上，讲授定积分的几何意义以及应用价值。【思考】结合定积分的几何意义，思考为什么定积分只与被积函数和积分区间有关系？小组讨论为什么定积分只与被积函数和积分区间有关，并选出代表回答问题。【小组讨论法】小组合作讨论，增强学生的合作意识。【讲授法】规范学生们的答案，借助图像讲解清楚为什么定积分只与被积函数和积分区间有关。四.定积分的性质(10min)内容讲授性质1被积函数中的常数因子可以提到积分号外，即a性质2两个函数和(差)的定积分等于定积分的和(差)a性质1和性质2可以推广到有限多个函数的线性运算的定积分．性质3（区间可加性）设a<c<b，则有a上式对a,b,c，的任何顺序都能成立.性质4若在区间上，则.性质5（保序性）若在区间上有，则()．推论1若在区间上有，则()．推论2()．性质6（估值定理）设和分别是函数在区间上的最大值和最小值，则()．性质7（积分中值定理）设函数在区间上连续，则在区间上至少存在一点，使得．仔细听讲，认真整理笔记，掌握本节课重点内容。【讲授法】由定积分的定义和极限的运算法则，介绍定积分常用的（运算）性质。五.巩固提高(27min)巩固提高例1利用定积分的几何意义计算定积分.根据定积分的几何意义，转化所求——即所围成图形的面积。积极动手：画出图形，算出面积，从而求出定积分。【练习法】使学生及时巩固对定积分的几何意义、定积分的性质的掌握，已达到真正内化的效果。练习1利用定积分的几何意义求定积分-1例2不计算定积分的值，比较下列定积分的大小．(1)与；(2)与.例3估计定积分的值．积极思考，学以致用。思考如何求定积分-21认真思考并进行计算。通过计算证实六.归纳总结(3min)归纳总结【总结知识】定积分的思想方法：分割、近似、求和、取极限；定积分的本质：和式的极限；定积分的几何意义：当被积函数在积分区间上非负的时候，定积分表示的是图形的面积。【课程思政】定积分的概念是高等数学中比较抽象的一个概念，在学习定积分时我们要有耐心，要讲究方法——“由未知求已知，由近似求精确”，在这个过程中可以培养学生严谨、精益求精的品质。回顾和总结本堂课学习的知识，掌握本节课学习的定积分的概念、定积分的几何意义。及时总结，突出重点，加强学生对重点知识的掌握。七.布置作业(2min)布置作业【书面作业】课后习题2、4、5题认真记下作业及作业的相关要求。根据“艾宾斯浩遗忘曲线”，及时安排习题巩固知识。教学评价（1）评价构成课程坚持强化过程性评价、探索增值性评价的评价改革要求，着眼于学生长期发展需要的满足，将终结性评价与过程性评价相结合，侧重过程性评价。（2）评价要素过程性评价主要依托学