2018届数学大复习坐标系与参数方程第二节参数方程理4-4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16-学必求其心得，业必贵于专精第二节参数方程☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解参数方程及其参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。2016，全国卷Ⅱ，23，10分(参数方程求最值)2016,江苏卷,21,10分(直线方程的应用)2015,全国卷Ⅱ，23,10分(参数方程化普通方程)1.直线与圆的参数方程是历年高考命题的热点；2.直线与圆的参数方程与位置关系是高考的重点；3。应用参数方程求最值也是高考的重点。微知识小题练自|主|排｜查1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝ft,，y＝gt。)）①并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数,简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2．直线的参数方程过定点P0（x0，y0）且倾斜角为α的直线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))（t为参数），则参数t的几何意义是有向线段eq\o（P0P,\s\up6（→））的数量。3．圆的参数方程圆心为（a，b），半径为r,以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝a＋rcosα，,y＝b＋rsinα）)α∈[0,2π）.4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2，b2)＝1（a＞b＞0)的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，，y＝bsinθ)）θ∈［0,2π）.微点提醒1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t）和g(t）的值域，即x和y的取值范围.2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：｜t｜是直线上任一点M(x，y)到M0（x0，y0）的距离.小｜题｜快｜练1．若直线的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋3t，，y＝2－\r（3)t))(t为参数),则直线的倾斜角为__________。【解析】由直线的参数方程知,斜率k＝eq\f（y－2,x－1）＝eq\f（－\r(3）t,3t）＝－eq\f(\r（3),3)＝tanθ，θ为直线的倾斜角,所以该直线的倾斜角为150°.【答案】150°2．曲线eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝5cosθ，,y＝3sinθ)）(θ为参数）的左焦点的坐标是__________。【解析】化为普通方程为eq\f（x2,25）＋eq\f(y2，9)＝1，故左焦点为(－4，0）.【答案】（－4，0)3．已知直线l1：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1－2t，,y＝2＋kt））(t为参数)与直线l2:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝s，，y＝1－2s))(s为参数）垂直,则k的值是________。【解析】直线l1的方程为y＝－eq\f(k,2）x＋eq\f(4＋k，2)，斜率为－eq\f（k，2）；直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2。∵l1与l2垂直,∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(k,2）)）×(－2)＝－1⇒k＝－1.【答案】－14．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知射线θ＝eq\f（π,4)与曲线eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝t＋1，，y＝t－12））(t为参数）相交于A,B两点，则线段AB的中点的直角坐标为__________。【解析】记A(x1，y1)，B(x2，y2）,将射线θ＝eq\f（π，4）转化为直角坐标方程为y＝x（x≥0)，曲线为y＝(x－2）2，联立上述两个方程得x2－5x＋4＝0，所以x1＋x2＝5，故线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（5，2），\f（5，2)）)。【答案】eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5,2），\f（5，2））)5．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t＋1))（参数t∈R），圆C的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ＋1，，y＝sinθ))（参数θ∈[0,2π))，则圆心C到直线l的距离是__________。【解析】直线方程可化为x－y＋1＝0,圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1。由点到直线的距离公式可得，圆心C（1，0)到直线l的距离为eq\f（｜2｜,\r(12＋－12))＝eq\r（2）.【答案】eq\r(2）微考点大课堂考点一参数方程与普通方程的互化【典例1】将下列参数方程化为普通方程。（1)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(1，t)，,y＝\f（1,t)\r（t2－1）））(t为参数);(2)eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cos2θ)）（θ为参数)。【解析】(1）∵eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,t））)2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,t）\r(t2－1))）2＝1，∴x2＋y2＝1。∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1。又x＝eq\f(1,t），∴x≠0。当t≥1时,0＜x≤1，当t≤－1时，－1≤x＜0,∴所求普通方程为x2＋y2＝1eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x≤1，,0≤y＜1))或\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x＜0，，－1＜y≤0））)）。（2）∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1。∴2≤x≤3。∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)。【答案】(1）x2＋y2＝1eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0＜x≤1,,0≤y＜1))或\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x＜0，，－1＜y≤0))）)（2)2x＋y－4＝0（2≤x≤3）反思归纳将参数方程化为普通方程的方法1．将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法。常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等。2．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解.【变式训练】将下列参数方程化为普通方程。(1）eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(3k,1＋k2),,y＝\f（6k2，1＋k2)；）)(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－sin2θ，,y＝sinθ＋cosθ.））【解析】(1)两式相除,得k＝eq\f（y，2x)，将其代入得x＝eq\f(3·\f(y，2x),1＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(y,2x））)2),化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0（y≠6)。(2)由（sinθ＋cosθ）2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ）得y2＝2－x。又x＝1－sin2θ∈[0，2］,得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈［0，2]。【答案】（1)4x2＋y2－6y＝0(y≠6)（2）y2＝2－x,x∈[0,2]考点二直线参数方程的应用【典例2】（2016·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1，2)t,，y＝\f(\r（3）,2）t））（t为参数)，椭圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝cosθ,,y＝2sinθ）)（θ为参数）。设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长。【解析】椭圆C的普通方程为x2＋eq\f（y2,4）＝1。将直线l的参数方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋\f(1，2)t，,y＝\f(\r(3），2）t）)代入x2＋eq\f(y2，4)＝1,得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，2）t））2＋eq\f（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(3），2）t））2,4)＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－eq\f（16，7)。所以|AB｜＝｜t1－t2|＝eq\f(16,7）。【答案】eq\f（16，7)反思归纳经过点P(x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα）)(t为参数)。若A，B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2。线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0。注意以下几个常用的结论：(1)t0＝eq\f(t1＋t2，2）；(2）｜PM｜＝|t0|＝eq\f(|t1＋t2｜,2）；(3）｜AB｜＝｜t2－t1|；(4)｜PA｜·｜PB｜＝|t1t2｜。【变式训练】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝3－\f(\r（2)，2)t，，y＝\r(5)＋\f(\r(2)，2)t）)（t为参数），在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ＝2eq\r(5)sinθ.(1)求圆C的圆心到直线l的距离;(2）设圆C与直线l交于点A、B。若点P的坐标为(3，eq\r（5）)，求｜PA｜＋｜PB｜.【解析】（1)由ρ＝2eq\r（5）sinθ，得x2＋y2－2eq\r(5）y＝0，即圆C的直角坐标方程为x2＋（y－eq\r(5)）2＝5。由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r（2)，2)t，,y＝\r（5)＋\f（\r(2),2）t，))可得直线l的普通方程为x＋y－eq\r（5）－3＝0。所以圆C的圆心（0,eq\r(5)）到直线l的距离为eq\f(｜0＋\r（5)－\r(5）－3｜,\r（2）)＝eq\f（3\r(2)，2)。(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(3－\f（\r（2),2)t))2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(2),2)t))2＝5，即t2－3eq\r（2)t＋4＝0。由于Δ＝（3eq\r(2））2－4×4＝2〉0，故可设t1，t2是上述方程的两个实根,所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（t1＋t2＝3\r(2),，t1·t2＝4。）)又直线l过点P(3，eq\r（5）），故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝｜t1｜＋｜t2|＝t1＋t2＝3eq\r(2）.【答案】(1)eq\f(3\r(2),2)(2）3eq\r(2）考点三圆的参数方程的应用【典例3】已知曲线C1：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－4＋cost，，y＝3＋sint）)(t为参数），曲线C2：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)。(1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t＝eq\f（π,2）,Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝3＋2t,，y＝－2＋t)）（t为参数)的距离的最小值。【解析】（1）曲线C1：(x＋4）2＋(y－3)2＝1，曲线C2：eq\f（x2，64)＋eq\f(y2，9)＝1，曲线C1是以（－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(2）当t＝eq\f(π，2)时,P（－4，4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故Meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－2＋4cosθ，2＋\f(3,2)sinθ)）。曲线C3为直线x－2y－7＝0,M到C3的距离d＝eq\f（\r（5),5）｜4cosθ－3sinθ－13|，从而当cosθ＝eq\f(4，5）,sinθ＝－eq\f（3,5)时，d取最小值eq\f(8\r（5),5）。【答案】(1)见解析(2）eq\f(8\r(5），5）反思归纳将参数方程中的参数消去便可得到曲线的普通方程，消去参数时常用的方法是代入法，有时也可根据参数的特征，通过对参数方程的加、减、乘、除、乘方等运算消去参数，消参时要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响。【变式训练】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2))）。(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝eq\r(3）x＋2垂直，根据（1）中你得到的参数方程,确定D的坐标.【解析】(1)C的普通方程为（x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)。可得C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋cost,,y＝sint)）(t为参数,0≤t≤π）。(2）设D(1＋cost，sint）。由（1）知C是以C（1,0)为圆心，1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线CD与l的斜率相同，tant＝eq\r（3），t＝eq\f（π，3)。故点D的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋cos\f(π,3)，sin\f（π,3））），即eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3，2)，\f(\r(3）,2））)。【答案】（1）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cost,,y＝sint))（t为参数，0≤t≤π)(2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3,2），\f(\r（3),2)))考点四椭圆参数方程的应用【典例4】(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\r（3)cosα，，y＝sinα））（α为参数)。以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π,4)））＝2eq\r（2）。(1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2）设点P在C1上,点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标。【解析】(1）C1的普通方程为eq\f（x2，3）＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0。(2)由题意，可设点P的直角坐标为（eq\r（3）cosα，sinα）。因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α）的最小值,d(α)＝eq\f（｜\r（3）cosα＋sinα－4｜,\r（2）)＝eq\r(2)｜sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f(π，3)）)－2|.当且仅当α＝2kπ＋eq\f（π，6）(k∈Z）时，d(α）取得最小值,最小值为eq\r(2),此时P的直角坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3，2)，\f（1,2）））。【答案】(1)C1为eq\f（x2，3)＋y2＝1，C2为x＋y－4＝0（2）最小值为eq\r(2)，Peq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f（1,2））)反思归纳椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.【变式训练】在平面直角坐标系xOy中,动圆x2＋y2－4eq\r（2）xcosθ－4ysinθ＋7cos2θ－8＝0（θ∈R，θ为参数）的圆心轨迹为曲线C，点P在曲线C上运动。以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为2ρcoseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π，3)）)＝3eq\r(5），求点P到直线l的最大距离.【解析】将动圆的方程配方，得(x－2eq\r（2）cosθ)2＋(y－2sinθ）2＝9＋3sin2θ，设圆心(x,y)，则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2\r(2）cosθ,y＝2sinθ））(θ∈R，θ为参数),即曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(2)cosθ,y＝2sinθ))(θ∈R，θ为参数），直线l的直角坐标方程为x－eq\r(3)y－3eq\r(5）＝0，设点P（x1，y1)，则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＝2\r(2）cosθ，y1＝2sinθ))(θ∈R，θ为参数），点P到直线l的距离d＝eq\f（|2\r（2)cosθ－2\r(3)sinθ－3\r（5)｜,\r（12＋\r（3)2）)＝eq\f（｜2\r（5)sinθ＋φ－3\r(5）|,2)，其中tanφ＝－eq\f（\r（6），3）。∴当sin(θ＋φ）＝－1时,点P到直线l的距离d取得最大值eq\f（5\r（5),2）。【答案】eq\f（5\r(5）,2)微考场新提升1．已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a－2t,，y＝－4t)）（t为参数),圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝4cosθ，,y＝4sinθ))（θ为参数）。（1)求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围。解析（1）直线l的普通方程为2x－y－2a圆C的普通方程为x2＋y2＝16。（2）因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝eq\f(|－2a|，\r（5)）≤4，解得－2eq\r（5）≤a≤2eq\r(5)。答案(1)l为2x－y－2a＝0，C为x2＋y2(2)[－2eq\r（5），2eq\r（5）]2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2－\r(2）t,,y＝－1＋\r（2）t))(t为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝eq\f(2,\r(1＋3sin2θ))。(1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）试判断曲线C1与C2是否存在两个交点，若存在,求出两交点间的距离；若不存在，说明理由。解析(1）对于曲线C1有x＋y＝1,对于曲线C2有eq\f（x2,4）＋y2＝1。(2)显然曲线C1：x＋y＝1为直线，则其参数方程可写为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2－\f（\r（2)，2）α,y＝－1＋\f(\r(2），2）α)）（α为参数