正弦函数、余弦函数的性质说课稿教案

正弦函数、余弦函数的性质•三维目标1.知识与技能(1)理解周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义.(2)掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期..过程与方法让学生通过观察正、余弦线以及正、余弦函数图象得出正、余弦函数的周期性，并借助于诱导公式一给予代数论证这一过程，使学生学会由具体形象到抽象概括这一研究问题的方法..情感，态度与价值观让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图象所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣.・重点、难点重点：正弦函数、余弦函数的图象及其主要性质 (包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域 )；深化研究函数性质的思想方法.难点：正弦函数和余弦函数的周期性，以及周期函数、 (最小正)周期的意义.・教学建议对于函数性质的研究，学生已经有些经验.其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用.由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就是完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位.另外，要使学生明白研究三角函数性质就是“要研究这类函数具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导..周期性可引导学生从正、余弦线，正、余弦函数图象以及诱导公式一即形与数两个方面，归纳总结“周而复始”的变化规律，给出“周期性”概念.关于正弦函数、余弦函数的周期与最小正周期，一般只要弄清定义，并根据正弦、余弦曲线观察出结果就可以了.对于学有余力的学生，可以让他们尝试证明正弦、余弦函数的最小正周期是 2兀..其他性质与研究周期性的方法一样，根据正弦函数、余弦函数图象及函数解析式，同样可以直观地看出这两个函数的奇偶性、单调性、最大 （小）值等性质.值得注意的是，对于周期函数性质的讨论，只要认识清楚它在一个周期内的性质，就可以得到它在整个定义域内的性质.（1）正弦函数、余弦函数的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易.所以，这一性质的研究可以交给学生自主完成.（2）正弦函数、余弦函数的单调性，只要求由图象观察，不要求证明.教学中要注意引导学生根据函数图象以及《数学 1»中给出的增（减）函数定义进行描述.具体的，可以先选择一个恰当的区间 （这个区间长为一个周期，且仅有一个单增区间和一个单减区间 ），对正弦函数在这个区间上的单调性进行描述；然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性.对于余弦函数的单调性，可让学生类比正弦函数的单调性自己描述.另外，从一个周期的区间推广到整个定义域上去时，学生会有些不习惯，教学中要留给学生一定的思考时间，由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数的单调区间的一般形式.正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论.由于问题比较简单，所以可以由学生自己去研究.同样的，对于取最大 （小）值时的自变量x的一般形式，也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳.・教学流程课标解读.掌握y=sinx（xCR）,y=cosx（xCR）的周期性、奇偶性、单调性和最值. （重点）.会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题. （难点）.了解周期函数、周期、最小正周期的含义. （易混点）知识点1函数的周期性【问题导思】.观察下列实例:(1)海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次.(2)钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过 1分钟运行一周.上述两种现象，具有怎样的属性？【提示】周而复始，重复出现..观察正弦曲线和余弦曲线，正弦函数和余弦函数具有上述规律吗？哪个公式可以反映这种规律?【提示】 具有.sin(x+2knt尹sinx,cos(x+2knt并cosx..函数的周期性那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数 T,使彳导当x那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期..两种特殊的周期函数⑴正弦函数v=sinx是周期函数，2kTtkCZ且kw0)都是它的周期，最小正周期是 2兀.(2)余弦函数v=cosx是周期函数，2k兀KCZ且kw0)都是它的周期，最小正周期是 2兀.知识点2正、余弦函数的奇偶性【问题导思】对于xCR,sin(—x)=—sinx,cos(—x)=cosx,这说明正、余弦函数具备怎样的性质?【提示】 奇偶性..对于y=sinx,xCR恒有sin(-x)=-sinx,所以正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对:称.

.对于y=cosx,xCR恒有cos(-x)=cosx,所以余弦函数y=cosx是偶函数，余弦曲线关于 y轴对称.知识点3正、余弦函数的定义域、值域和单调性【问题导思】观察正弦函数、余弦函数的图象:.正弦函数、余弦函数的定义域各是什么?【提示】 R.正弦函数、余弦函数的值域各是什么？【提示】 [-1,1]..正弦函数在［―2，321上函数值的变化有什么特点？余弦函数在 ［0,2nrt2函数值的变化有什么特点？【提示】 y=sinx在［―，，方上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由一1增大到1;在［卷3负上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到一1;y=cosX在［0, nrQt,曲线逐渐下降，是减函数，函数值由 1减小到一1；在［q 2nt止，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由一 1增大到1.函数名称图象与性质性质分类y=sinxy=cosx相同处定义域RR值域[-1,1][—1,1]周期性最小正周期为2兀最小正周期为2_Tt不同图象F117i1一S1/一二一？-1Q__ 一家奇偶性互函数假函数单调性在［2kL2,2kTt+2|(k€Z)上是增函数；在［2卜兀+忘2k兀+兀K£Z)上是减函数在［2k%-tt,2k%］kCZ）上是增函数;在［2k%,2k兀+兀］kCZ）上减函数处对称轴, ，兀 x=ku+2(kCZ)x=kTtkCZ)对称中心(kTT,0),(kCZ)(kjt+j0)(kCZ)最值x=2k7t+2(kCZ)时，ymax=1；兀 rx=2kL2(kCZ)时，ymin=-1x=2k兀时,ymax=1；X=2k兀+兀时,ymin=-1类型1 求三角函数的周期例1求下列函数的最小正周期：兀(1)y=sin(£x+3);(2)y=|cosx|.【思路探究】 解答本题(1)可利用代换z=2x+3,将求原来函数的周期转化为求 y=sinz的周期再求解，或利用公式求解； (2)可通过图象求周期.一，、— 一 / TT【自王斛答】 (1)法一令z=2x+3,且y=sinz的取小正周期为27t.,•/兀一一 -兀一一-sin(/+3+2nt并sin12(x+4)+3],E一..兀 兀因此Sin(2x+3)=sin【2(x+4)+3].•••由周期函数定义，T=4是y=sin(++3)的最小正周期.

一 兀 2兀法二f(x)=sin(2X+3)的周期T=-=4.2(2)作y=|cosx|的图象,如图所示:由图象知y=|cosx|的最小正周期为规律方法1.正弦函数、余弦函数的周期性，实质上是由终边相同角所具有的周期性决定的.2.对于形如y=Asin(cox+机y=Acos(cox+(j))(A,®())为常数，且 0)函数的周期求法常直接利用2TTr,、一一一.，T=一来求解；形如y=|Asin心|械y=|Acoswx|的周期常结合函数的图象，观察求解.互动探究若把例题中两个函数改为:小1 ,c工(i)y=3cos(2x—3);(2)y=cosX],试求函数的最小正周期.

-A 1 兀［斛】 (1)「y=.cos(2x—4)中，3=2,3 3，函数的最小正周期为 T=，兀.y=cos|x|=cosx,y=cosXI的最小正周期T=2兀.病厂2 三角函数的看福性的判断例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=^sin2x;(2)f(x)=sin(3jX+3p;(3)f(x)=小—cosx+Vcosx—1.【思路探究】 首先求出函数定义域，在定义域关于原点对称的前提下，根据f(—x)与f(x)及—f(x)的关系来判断.【自主解答】 (1)显然xCR,f(—x)=*sin(—2x)=—亚sin2x=—f(x),f(x)是奇函数.(2)「xCR,f(x)=sin(-325=—cos号，3xcos-4=f(x)3xcos-4=f(x)1.f(—x)=—cos- f=' ' 4・•・函数f(x)=sin(3^+3p是偶函数.1—cosx>0⑶由S ，得cosx=1,x=2k7tk€Z),cosx—1>0此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.规律方法.判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的前提..要注意诱导公式在判断 f(x)与f(—x)之间关系时的作用.变式训练判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=*sin(2x+2nt)(2)f(x)=lg(sinx+小+sin2x).【解】 ⑴函数的定义域为R,f(x)=V2sin(2x+-2nt>V2sin(2x+2)=V2cos2x,显然有f(-x)=f(x)成立.・•.f(x)=Wsin(2x+2nt为偶函数.(2)函数定义域为R,f(—x)=lg(—sinx+\1+sin2x)=lg 1 .2sinx+N1+sinx=—lg(sinx+y+sin2x)=—f(x).「•函数f(x)=lg(sinx+>/1+sin2x)为奇函数.个3求正、余弦函数的单调区间例3求函数y=sin（：—x）的单调递减区间.【思路探究】 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将 y=sin（6—x）化为y=—sin（x—；）形式，故只需求y=sin（x—j的单调递增区间即可.一.、..，，_ TT TT【自王解答】 y=sin（6-x）=-sin（x-百），令z=x-［,贝Uy=—sinz,要求丫=—sinz的递减区间，只需求sinz的递增区间，一一 TT TTTOC\o"1-5"\h\z即2k兀一尹z<2卜兀+：,kCZ,兀 兀 兀_2kTt—2^x—gw2k计 kCZ.••2kLfwxW2kjt+2兀,kCZ.3 3故函数y=sin（x）的单调递减区间为［2kL本2ktt+2兀］k€Z.6 3 3规律方法.求形如y=Asin（cox+@+b或形如y=Acos（cox+昉+b（其中Aw0,w>0,b为常数）的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得..具体求解时注意两点：①要把3X+4看作一个整体，若 3<0,先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0,3>0时，将“3X+?代入正弦（或余弦）函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0,3>0时同样方法可以求得与正弦 （余弦）函数单调性相反的单调区间.变式训练

求函数y=2cos(1—x)的单调递增区间.4【解】y=2cos(j—x)=2cos(x—4),由2k兀一庐x—4w2k7tk€Z)得2k兀一(兀忘xW2kjt+4(k€Z).，y=2cos『x)的单调递增区间为［2kL3^2kTt+j(kCZ).HR 有关三角函数的最值问题一,，一 1例4已知函数yi=a—bcosx的取大值是,，取小彳I［是一求函数y=—4asin3bx的取大值.【思路探究】 欲求函数y的最大值，须先求出a,为此可利用函数yi的最大、最小值，结合分类讨论求解.，一. 一,一，，一3一，，，一1【自主解答】 •••函数yi的最大值是:，最小彳1是一2.当b>0时,当b<0当b>0时,当b<0时,3a-b=2TOC\o"1-5"\h\z由题意得《 5 211a—b=-25 (b=1.由题意得 > ■ I、、a+b=—2 心=一1因此y=—2sin3x或y=2sin3x.函数的最大值均为2.规律方法有界性”即可解决.注意当x有具体范.对于求形如有界性”即可解决.注意当x有具体范围限制时，需考虑sinx或cosx的范围..求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解.变式训练,、一s 一 兀兀求函数y=3-2cosx,xC［-4,4］的值域.【解】(1).-4<xwj,应wcosx<1,2一1w一cosxw一，••一2W一2cosxW一"\J2,K3—2cosx<3->/2.故函数y=3-2cosx,xC［—j,4］的值域为［1,3—烟.易错易误辨析忽略弦函数值域的有界性致误典例求函数y=1—2cos2x+5sinx的最大值和最小值.【错解】 y=1-2cos2x+5sinx=2sin2x+5sinx—1

=2(sinx+5)=2(sinx+5)2-3333"8,，函数y=1-2cos2x+5sinx的最小值为一338，没有最大值.【错因分析】 根据正弦函数的图象，可以发现 sinx的值介于［—1,1］之间，上述解答错误地将 sinx的范围当成了实数集 R,所以本题中的以sinx为自变量的二次函数的定义域不是 R,而是［—1,1］.【防范措施】 定义域是函数的三要素之一，研究函数的性质一般要先考虑函数的定义域，三角函数也不例外，若忽略定义域这一细节，可能扩大自变量的取值范围而导致错误.【正解】 y=1-2cos2x+5sinx=2sin2x+5sinx—1=2(sinx+4)2—~~.令sinx=t,则tC［—1,1］,则y=2(t+5)2—33.4 8因为函数y在［—1,1］上是增函数，所以当t=sinx=—1时，函数取得最小值一4,当t=sinx=1时，函数取得最大值6.课堂小结.三角函数的最值、单调区间及三角函数值的大小比较等问题，能结合图象时一定要联系图象进行综合思考，将数形有机结合起来..讨论对称问题时一定要注意最值点、平衡点及周期的必然联系，形成思维网络..讨论三角函数的所有性质，都要在其定义域内进行.当堂双基达标1.下列函数中，最小正周期为兀的是( )A.y=sinx B.y=cosx

xC.y=sin2TOC\o"1-5"\h\z【解析】 由T=弃知D中函数的最小正周期为 兀.心|【答案】 D2.下列函数是奇函数的是（ ）A.y=x2 B.y=cosxC.y=sinx【解析】 由奇函数定义知y=sinx为奇函数.【答案】 C3.函数y=cosx（0WxW;的值域是（ ）1A.[-1,1] B.弓1]C.[0,2] D.[-1,0]【解析】y=cosx在[0,寸上单调递减，D.y=cos2xD.y=|sinx|.cos3c<y<cos0,即；WyW1.D.y=cos2xD.y=|sinx|【答案】 B-- 兀.，一 一，,，、，、一.、一4.求函数y=2sin（[—x）在[一兀，nrQt的城区间.

_- TT TT【解】y=2sin(1—x)=—2sin(x—4).令z=x—j,只需求y=—2sinz的减区间，即求sinz的增区间.由2k兀一2^cx-4&2k兀+2,kCZ,••2kL%xW2kjt+3兀kCZ.4 4'又一rWxw兀), …TT3令k=0,则一4<x<4tt,课后知能检测・•・所求函数在［―兀，nt止的减区间是［―j,3兀］.课后知能检测一、选择题TOC\o"1-5"\h\z.正弦函数y=sinx,xCR的图象的一条对称轴是( )A.y轴 B.x轴,一 兀 ,一C.直线x=2D.直线x=兀【解析】 当x=2H,y取最大值，，x=2是一条对称轴.【答案】 C.函数y=sin(2x+@(0W产nt是R上的偶函数，则。的值是( )TTTT _A.0 B.4C] D.兀C.【解析】 当4=机寸,y=sin(2x+2)=cos2x,而y=cos2x是偶函数，故选C.【答案】 C.函数y=1-2cos2^的最小值，最大值分别是 ( )A.—1,3B.—1,1C.0,3D.0,1--Fr-■ 兀 兀【解析】 「co笠xC[-1,1],/.-2cos2x€[-2,2],/ -兀••.y=1-2cos2x€[-1,3],-ymin=-1,ymax=3.【答案】 A一，， 兀， 4.函数f(x)=3sin(x+g)在下列区间内递减的是( )兀兀[―2，2]B.[—兀，0]【解析】 令2k计2wx+6<2k兀+3^kCZ可得2ktt+3^x<2ktt+学kCZ,，函数f(x)的递减区间为［2kTt+3，2kTt+,,kCZ.【答案】 D5.下列关系式中正确的是( )A.sin11<Cos10<sin168°sin168<sin11<cos10°sin11<sin168<cos10°sin168<Cos10<sin11°【解析】 ••sin168=sin(180-12)=sin12；cos10=sin(90-10)=sin80:由正弦函数的单调性得 sin11<sin12<sin80°,即sin11<sin168<cos10°.TOC\o"1-5"\h\z【答案】 C二、填空题兀 ，，一।一mi、， …6.函数y=2cosG—④q的取小正周期为4兀，贝U«= 3【解析】 •••4h上里，・•・3=4|一w| 2【答案】±2.函数y=sin2x+sinx—1的值域为.【解析】 y=(sinx+2)2-5,-.1—Ksinx<1,c- 12 9•1•0W(sinx+])<4.一二&yw1.4一.、_ 5【答案】[-5,1].若已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=sin2x+cosx.贝Ux<0时，f(x)=【解析】 当x<0时，—x>0,，f(—x)=sin(—2x)+cos(—x),f(—x)=—sin2x+cosx.•••f(x)为奇函数,.••f(-x)=-f(-x),--f(x)=—[—sin2x+cosx]=sin2x—cosx.【答案】 sin2x-cosx三、解答题9.判断下列函数的奇偶性：3兀(1)f(x)=sin(2x+3);sinx1—sinx(2)f(x)=- 7—sinx【解】(1)函数f(x)的定义域是R,f(x)=sin(2x+—)=—cos2x,，f(—x)=—cos(—2x)=—cos2x=f(x).f(x)是偶函数..一、 一 兀 一. ..(2)由题意，知sinxw1,即f(x)的定义域为{x|xw2kTt+5},kCZ,此函数的定义域不关于原点对称.，f(x)是非奇非偶函数..求函数y=3sin(~~x)的单调递增区间.32【解】y=3sin(3C-：)=—3sin(2-3).由2+2k后2-3&3^+2k%,kCZ,TOC\o"1-5"\h\z解得：芋+4k后x<944k