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10.2二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分如果积分区域为：［X－型］其中函数、在区间上连续.X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法得如果积分区域为：［Y－型］Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.解积分区域如图例1

改变积分òò-xdyyxfdx1010),(的次序.原式òò-=ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图例2改变积分

òòòò--+xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.解法一积分区域是X－型的解法二积分区域是Y－型的例3计算其中是由直线

，及所围成的闭区域。解是X-型的，例4计算其中是由直线所围成的闭区域。，，及是Y－型的（计算比较麻烦）例5计算其中是抛物线及直线所围成的区域。，为X－型解：为Y－型例6求两个底圆半径都是的直交圆柱面所围成的立体的体积。由对称性算第一卦限部分从而所得立体体积解：设这两个圆柱面的方程分别为及利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算注意：要同时兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域D的对称性两方面常用结论如下:（1）如果区域D关于y轴对称,则有当时,其中当时,（2）如果区域D关于x轴对称,则有当时,其中当时,(3)如果D关于对称,二、利用极坐标计算二重积分二重积分化为二次积分的公式(1)区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图极坐标系下区域的面积解例1

写出积分òòDdxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD-££-=

}10££x.在极坐标系下所以圆方程为

1=r,直线方程为qqcossin1+=r,解在极坐标系下例2

计算dxdyeDyxòò--22，其中D

是由中

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